Skip to main content

Full text of "Fvndamenta nova investigationis orbitae verae qvam lvna perlvstrat, qvibvs annexa est solvtio problematis qvatvor corporvm breviter exposita"

See other formats


This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project 
to make the world's books discoverable online. 

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject 
to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the pubHc domain may vary country to country. Public domain books 
are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge thafs often difficult to discover. 

Marks, notations and other marginaha present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the 
pubHsher to a Hbrary and finally to you. 

Usage guidelines 

Google is proud to partner with libraries to digitize pubHc domain materials and make them widely accessible. PubHc domain books belong to the 
pubHc and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to 
prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying. 

We also ask that you: 

+ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individuals, and we request that you use these files for 
personal, non-commercial purposes. 

+ Refrainfrom automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine 
translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the 
use of public domain materials for these purposes and may be able to help. 

+ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find 
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it. 

+ Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just 
because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other 
countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of 
any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner 
anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe. 

About Google Book Search 

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers 
discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web 

at http : //books . google . com/| 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Astr«ntmical 
tlisM-vatiry 

391 

. HZ6 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



l>/(^^ 



FVNDAMBNTA NOVA 

INVESTIGATIONIS ORBITAE VERAE 

QVAM r- 

LVNA PERLVSTRAT, 

QVIByS ANNEXA EST 
SOLVTIO PROBLEMATIS QVATVOR CORPORVM 

BREVITER EXPOSITA 






ATCTORE 



PETR/O^ ANDREAS HANSEN, 

PBOFESSORE» 8PECVLAS SEEBSRGENSIS FRAEFECTO, ORDINIS DANNEBROGICI EQVTTE, SOCIETATIS REGIAE 

SCIENTIARVM loKdinensis, SOCIETATIS REGIAE ASTRONOMICAE LONDINBNSIS ET SOCIETATIS REGIAE 

SCIENTIARVM HAFNIENSIS SOCIO, ACADEMIAE REGIAE SCOUmARVM BEBOLINENSI ET ACADEMIAE 

IMFERIAU SCISNTIARVM PBTROPOLITANAE A COBfMERClO LITTERARIO. 



G O T H A E, 

IN COMMISSIS APVD CAROLVM 6LAESER. 

18 3 8. 



TBmtTTft PARISnS Arv» TmEUTTBL BT WrBM, PETROPOLI aptd A. Asiisb, LONDIHil apvd Blace bt Armstroiio, 

AMSTBLODAMI aptb Mubllbb bt Soc 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



3 



\f 



\ PRAEFATIO. 



fjasas daos problematis triam corporam, quod vocatar, quos systema no- 
strum solare nobis offert, alterum puta, ubi massa perturbans revera parvula 
est, alterum, ubi massa perturbans respectu massae corporis primarii per- 
magna est, sed propter distantiam permagnam cum a corpore primario, tum 
a corpore perturbato parvulam efficit yim perturbantera; casus, inquam, hos 
duos unius eiusdemque problematis geometrae ad hoc usque tempus duobus 
modis inter se plane diyersis solverunt, et neque solntionem, quam pro casu 
priori dedere, ad casum alterum, neque solutionem huius casus ad ilium 
applicari licet. Solutionem generaliorem utrumque casum complectentem ad- 
huc nemo dedit, quin etiam sunt, qui talem problematis huius solutionem rei 
naturam non admittere, et semper problema hoc iri his duobus casibus di- 
verso modo tractari debere dixerint. Nihilominas solutio talis generalior 
inveniri potest, et pagellis sequentibus eam, quam assequutus sum, exponam. 
Quae solutio immediate ad casum posteriorem, qui theoriam Lunae consti- 
toit, pertinet, ita autem comparata est, ut factis tribus quantitatibus qui- 
busdam cifrae aequalibus , solutio eliciatur, quam pro casu priori, qui in 
theoria planetarum locum habet, iam publici iuris feci. Theoria igitur pla- 

* 2 



Digitized by 



Google 



IV 

netarum mea casmn specialem theoriae Lnnae hoc yolmnine expositae scse 
praestat. 

Anteqaam methodi haius expositionem aggredior, certam huius proble- 
matis conditionem praemisisse haud ab re est. Integratis formulis, quas ad 
motum corporis coelestis cuiuscunque determinandum dedi, eo modo, quem 
in theoria lovis atque Satumi explicavi, termini oriuntur, qui per sinus 
aut cosinus multiplicium anomaliarum mediarum multiiUicati , tempori aut 
temporis potestatibus proportionales sunt. Qui termini ex integrandi methodo 
oriuntur, et revera originem trahunt e perturbationibus pure periodicis et 
plerumque longissimae periodi , in quarum argumentis tempus ipsum per fim- 
ctiones yis perturbantis multiplicatum existit. Termini igitur illi, qui in pla- 
netarum theoria et per tempus temporisque potestates , et per sinus cosinusve 
multiplicium anomaliarum mediarum multiplicati sunt, non nisi pro terminb 
primis eyolutionis in seriem infinitam illarum functionum vis perturbantis ha~ 
bendi sunt, et semper quoties series hae admodum convergunt sub forma 
hac tutissime in usum vocari possunt. Quoties vero series istae non conver- 
gunt vel etiam paullulum conyergunt, iidem termini ef&ciunt, ut brevi tem- 
poris spatio praeterlapso locus corporis coelestis computatus a vero eius 
loco aberrare incipiat, et magb magisque ab eo discrepaturus sit. 

In planetarum systematis nostri solaris motu termini, de quibus loqm- 
mur, series maxime convergentes constituunt, itaque primis tantum harum se~ 
rierum terminis in calculum vocatis, locus planetae absque errore sensibili 
per longam annorum seriem optime repraesentari potest, imo hoc in casu 
functtones periodicae, e quibus termini iili oriuntur, propter incertitudinem, 
quae massis planetarum semp^ inhaerebit, magna cum praecisione determi* 
nari nequeunt Nam longitud^», latitudinis et radii vectoris pertorbationes 
generaliter formam induunt hanc 



Digitized by 



Google 



abi t tempus, it motiim medinm planetae perturbati, g eius anomaliam me- 
diam, g\ g^j eta anomalias medias planetarum pertorbantiam , a, a, Aj b^ 
Pj Bj etc. constantes et f , f, i% etc. nomeros integros positivos sea negatiyos, 
indosa cifra, denotant. In theoria quidem planetaram a, |3, etc. semper 
minatissimi e massb pertarbantibus pendentes numeri sunt, sed salteminter- 
minis ubi i zzzVzzietc.zizOj ipsae a, 6, etc. yalorem permagnum habent , et 
tum a, |3, etc., quae ex aequati(me algebraica gradus alticMris pendent, propter 
incertitudinem, cui massae planetarum semper subiectae erunt , nunquam accu- 
rate computare nobis licebit. Evolutis vero terminis allatis in seriem infinitam 
hanc 

(a cos -<i -[- 6 cos B 4" etc.) sin (ig -|- ^g^ 4" ^S' 4" ^^0 
'•\^(a9mA-^bsmB'\^eic.')cos(ig'\-fg''{'tg'^eic.') 

— nt(aasinA'\^^bsinB'\^eic.)fAn(ig'\'tg''\'i'g'''\'elc.') 
-|- nf (a a cos-^i -f- P 6 cosB -j- eic.') cosQg -}- tg' -}- i^g' + «^O 
— fnV(a*aco«^+|5'&cosB4.etc.)sin(tg^4.fV+fV+etc.) 
— ^tt^f^ (a^a 8ui^-}-p*6 sinB4-etc.)cos(i^4-tV4.iV + etc.) 

terminos omnes accurate computari licet In casu enim ubi T = T = etc. = o 
eliciuntur ex hac serie primi termini hi 

(a cosji-^-bcosB-^-eic.) sin ig-^- (asinji-^-bsinB-^-eic) cos ig 

quorum quidem coefiBcientes permagni sunt, sed cum terminis, quos el- 
Upsis pura in longitudine etc. profert, sese coniungunt, itaque simul cum ele- 
mentis eliipticis per observationes astronomicas determinantur, neque in ex- 
pressionibus perturbationnm seorsum apponuntnr. Termini vero reliquiseriei 
praecedentis omnes ita comparati sunt, ut accurate comjMiiari possint, quia 
productaaa, |3&, etc. semper minutissimi nameri sont. Propter exiguitatem 
massarom planetarum, et quoniam n in hoc casn est numeros haud magnus, 
series praecedens admodum convergit, et intra temporis interrallum phis quam 



Digitized by 



Google 



VI 

millia aiiHonim ante et post epocham complectens tenmni per altiores temporis 
potestates multiplicati vim non habent. 

In Lunae motu, quatenus a Sole perturbatur, res secus se habet; hoc 
enim in casu a^ ^^ etc. maiores numeri sunt, et coefficientes a, 6, etc. semper 
minores, quam in illo problemate, in terminis etiam ubi i = o. Quum yero ilii 
maiores sint, et n respectu motus Solis sive Terrae raagnus numerus sit, factum 
est, ut termini seriei praecedentis per superiores temporis potestates multiplicati, 
parrulo temporis spatio praeterlapso, tam magni evadant, ut nullo modo negligi 
possint. Quin etiam inde a certo quodam temporis momento ab epocha non 
longe remoto termini per altiores temporis potestates multiplicati reliqub ter- 
minis maiores eyaderent, quo fit, ut loca Lunae hoc modo computata cum veris 
dus locis nequaquam congruere possint. Quamobrem in theoria Lunae ad 
huius seriei functiones originales, hoc est ad terminos huius formae 

asinCig'+iV+«w«-|-^-f6sin(ig--f iY4-l3n«4-JB)-f etc. 

nobis refugiendum est, et aequationum differentialium perturbationes suppedi- 
tantium integrationes ita instituendae sunt, ut perturbationes statim hac forma 
expressae obtineantur. 

Geometrae saeculi praeteriti, qui problema hoc tractabant, theoriam Lunae 
ad hunc usque praecisionis gradum non expolierunt, ut cum observato Lunae 
motu congrueret. Summus Laplace quoque, qui et Lunae theoriam per- 
scrutans multa et gravissima huius theoriae momenta detegebat, computationes 
non eo usque extendit , ut tabulis motum Lunae exhibentibus omnes superstrui 
possent. Observationibus ipsis coefiicientes perturbationum Lunae inveniendi 
fuere, et usque ad tempus recentissimuni tabulis sola theoria gravitatis nitenti- 
bus caruimus. 111. Damoiseau methodum perturbationum computandanun se- 
quutus, cuius fundamenta iU. Laplace quoque adhibuerat , primus tabulas Lu- 
nae sola theoria gravitatis fhndatas dedit. Quae computandarum perturbatio- 



Digitized by 



Google 



VII 

num methodiis praecipae eo consistit, qaod tempus, unitas per radiam yecto- 
rem ad eclipticam proiectom divisa et tangens latitadinis versns eclipticam tan- 
qaam functiones longitudinis verae ad eclipticam proiectae exhibentur. Hinc 
vero factum est, nt coordinatae Solis, quae quidem, quatenus in motuLunae 
vim habent, expressiones quam simplicissimae sunt, per longitudinem iUam 
Lunae exprimendae sint, unde formam admodum implicitam acdpiunt; prae- 
terea, computatione perturbationum peracta, series, quae tempus per longi- 
tudinem illam expressum suppeditat, revertenda /et in seriebus perturbationes 
reliquarum coordinatarum exhibentibus loco iliius longitudinis expressio eius 
per tempus substituenda est. Qnae conditiones perturbationum Lnnae compu- 
tationes secundum hanc methodum satis longas rieddnnt. 111. Damoiseau evo- 
lutiones analyticas ad ultimum finem non prodnxit, sed methodo coefficientium 
indeterminatorum eadem, qna ill. Clairaut et Laplace usi erant, adhibita, 
aequationes mixtas post valores nnmericos quantitatum, quas continent, substi- 
tutos resolyit. Quantum laboris haec problematis hnius solvendi methodus 
poposcerit ex commentatione ill. Damoiseau praemio omata et in libri: Me- 
moires presentes par divers savans etc. intituiati Toiumine 1* typis excusa vides, 
et auctor sane laboris compendium sibi non conciliavisset , si evolutiones analy- 
ticas ad ultimum finem perduxisset. III. Plana in opere suo de theoria Lunae 
nuperrime edito eandem fere methodum adhibuit , evolutiones vero analyticas 
usque ad metam produxit; sed non dubium est, quin hoc computandi modo 
adhuc plus laboris sibi conciliaverit. Fraeter haec de theoria Lunae confecta 
opera, ill. Poisson nec non ill. Lubock formulas notas, quibus perturbationes 
immediate in fimctione temporis exprimnntur, ad perturbationes Lunae compu- 
tandas , et quidem iile formulas variabiiia elementa elliptica suppeditantes , hic 
vero formulas coordinatas polares subministrantes proposuerunt, et uterque 
evolutionum analyticarum tantum, quantum fieri possit, extendendamm consi- 
lium cepisse videtur. 



Digitized by 



Google 



TIII 

Ut opera et labor, qaem hae methodi reqnirant, recte iadicari possit, 
nihil est quod malim , qaam ut hi geometrae integram perturbationum Lunae 
computationem secandum methodos propositas confici curent. Egomet secun- 
dum methodum in hac commentatione explicatam huius computationis maiorem 
partem iam confeci, et reliquam, simul atque occupationes quaedam aliae 
absolutae fuerint , conficere in animo est. 

Formulis modo memoratis adhibitis , computationes breviores quam com- 
putationes ill. Damoiseau et Flana eyadere deberevidentur, quoniam reversio- 
nes serierum, quas methodus ab his adhibitaposcit, opnsnonsunt; evolutio- 
nes vero analyticae aliam ob causam aliquid incerti involyunt. Qui calculus 
postulat, ut quantitates quaedam pro parrulis quantitatibus primi ordinis ha- 
beantur, secundum quas eTolutiones analyticae procedant, sed quum de coeffi- 
dentium numericorum ordine anaiytico sermo esse nequeat, fieri potest, ut 
propter hos coefificientes singuli perturbationum termini in fine calculi valorem 
habeant multo maiorem, quam eum, cui pro ordine suo analytico adnumerandi 
sint. Reyera fit, ut propter coefficientes numericos divergentes in perturba- 
tionum complurium expressionibus analyticis duo termini consequutiyi, qui pro 
indole sua ordinibus analyticis diyersis adnumerandi sunt, eundem fere yalorem 
numericum habeant, uti in opere ill. Plana inspici potest. E. g. coefficientem 
perturbalionis longitudinis Lunae verae, cuius argumentum duplex distantia 
perigaei Lunae a nodo eius est, inyenit ill. Plana = 



Cl ,135 -^ 2 2 



lam quum m, quae in hac expressione rationem motus medii Lunae ad motnm 
medium Solis ropraesentat, in hac computatione pro quantitate primi ordinis 
habeatur, prior expressionis praecedentis terminus, quod attinet ad composi- 
tionem suam analyticam, ordinis finiti,. etposterior ordinisprimi est. Quum 
vero valor numericus ipsius m sit proxime = ^, habetur 



Digitized by 



Google 



IX 






64 832 6,16.. 

Hic igitar tenninps, qai in evolutione «idTtica pro p&rvnla qiiantitaete priaii 
oirfiinb habetnr, re¥^ maior est quani teraiinos prior, qui pro qoantitate fimttt 
habetur. Quae quum ita sint, in eTolutione tali, eliain^ surama ctai indurt 
striaque maxima instituta sit, terminos omnes, quiyimhabeant, receptos esse, 
(fjaia pro certo affirmare potest? nisi evolutiones ionge ultra teinSnos in Hsu^ 
calculi retinendos produxerit. Conditio enim eadem , quam modo ante ocnlos 
posuimils, in terminis quoque ordinum altiorum locum habere potest, quo 
factum erit, ut termini quidam ordinis analytici altissimo in calculis recepto 
ordine altioris et hac ratioAe neglecti propter coefficientes 'numericos svos var> 
lorem nancbcantur numericura, qui revera negligendus non est. 

Quibus cOnsideratioiubus inductas^ iam pridem in computandis planetamm 
perturbationibus saltem evolutiones aaalyticas nsque ad ipiosdam tmilinos ge- 
nerales tantum produxi, quOs upmediate ad calciihun numericum dbs^OlTenditai 
adhibuL Hoc modo effeci, ut terminus quisque secundum ralorem absolutum 
aestimari posset, et onlnes limitem nuH^onra ex lubito praedeterimnatam mr 
perantes termini, paucis adhibitis re^uiis, in calculum yocari po^sent. Eandem 
methodum ad computandas Lunae pertarbationes adhibeo, et hoc modo, nul- 
lum terminum qui vim habeat omitti, pro certo habere possum. Computatio- 
nes brerissiBiae eyadiint, quia series, ad qoas methodus haec perducit, rapidis- 
sime conrerguiit, et termini limite proponto minores statim omitti possunt. 
Integrationes ita institai, ut termini per tempus ipsum multiplicati, quatenus e 
coordinatis Lunae ipsius orirentur,, non adsint, id quod introductis quantitati- 
btts tribus y, a atque ijnominatis effeci^ quarum y — 2i} motum directam peri- 
gad Lunae in orbita, et «4"^ idotuitt retrogradum nodorum orbitae Lunae cura 
oibita teme qtaam pi^xime denotant, aggrc^^atara yevo (tf — ^q)-}'^^"^) ^^^^ 
y^<t — ^ijhorum motuiun aggifegatHra rigjMrose dksigna^- P^rturbatiooes longita- 



Digitized by 



Google 



dinis ita computayi, ut ad long^tudinem mediam addendae sint, quo factnm 
est, ut formulae simpliciores evaderent, et tum series perturbationum ipsarum, 
tum series, quibns quisque coefiiciens computandus est, magis convergentes 
fierent. Formulas ita comparavi, ut is excentricitatis Lnnae valor numericus, 
qni ex obseryato maximo aequationis ceiitri termino ope formuiae pure ellipti- 
cae elicitur, in, perturbationum computatione adhibendus sit, calculo igitur 
indirecto oiim ad eum excentricitatis Lunae yalorem, qui pomputandis perturba* 
tionibus snperstrnendus fuerit, indagandum adhibito opus non sit. 

Praeterea problema ita solvi, ut longitudoad planum respectu situs eius 
in spatio penittis arbitrarium relata et latitudo yersus idem planum obtineatur. 
Solutio igitur hic data hac quoque ex parte solutionibus reliquis, quae longitudi- 
nemLunae latitudinemque versus eclipticam solummodo snppeditant, genmUor 
est 'Quum vero planftm proiectionis in solutione nostra quodlibet sit, aequa- 
torem planum hoc statuere licet, quo factum erit, ut extabulis Lunae motum 
exhibentibus ascensio recta eius et declinatio immediate computari possint. 

Quibus in formulis generalibus y^ a atque )} cifrae aequalibus fi^ctis, 
formulas nanciscimnr, quae immediate perturbationibus planetarum com- 
putandis inserviunt, et cum iis identicae snnt, quas iam pro hac com- 
putatione dedi. Extema vero facie formulae hic datae ab illis paullnlum 
discrepant, quia aequationis pro ^^ integrationem alio modo institui; illic, 
ipsis ^ ei w computatis, ipsam z ex ^, mutata in fine calculi numerici 
t^ in ^, elicni; hic vero S ^^^ computatur, sed statim et ipsa z et ipsa 
fv^ qua formularum transmutatione magnum calculi compendinm assequutns 
sum. 

Quantitates quoque auxiliares in hac dommentatione j^^ q^j P, Q^ K^ p„ 
atque q^^ nominatae resp. cum quantitatibus auxiliaribus, quibus in thecnia 
planetamm usus sum , cnm quantitatibus puta m Astr. Nachr. No. 244. seqq. 
Pi ^9 P9 Q atque (p^ — 9, et cum quantitatibns ibidom No# 293* seqq. t atque 



Digitized by 



Google 



2 deiiotatis , quamqaam eoctema facie ab his ^crepant, faetiB y, aetti cifrae 
aeqaalibus, idmticae snnt. Evolutiones pertiirbatioiimii primi (Hrdinis respeeta 
▼is perturbantis, quatenus hb utor, ita institui potuissent, utimmediate ad pla- 
netas quoque applicari possent : talis enim functionis perturbatricis«iJ2 eyolotio, 
qualis in planetarum theoria adhibenda est, in Lunae quoque theoria in usum 
▼ocari posset In hac vero conunentatione evolutionem hanc ita institui, ut 
quantitatem Si in seriem secundum potestates rationis distantiarum Terrae 
a Luna et a Sole progredientem eyolyerem, quae eyolutio inLunae theona 
propter huius rationis exiguitatem omnibus aliis praeferenda est, in plane- 
tarum yero theoria in usum yocari nequit. 

Causas non omnes, quae motum Lunae perturbant, in hac conunentatione 
tractavi, perturbationum enim earum, quae e \i attractiya Solis oriuntur, compu* 
tationem solummodo explicayi, futuro tempori edendas perturbationum a figura 
sphaeroidica terrae et planetarum perturbationibus pure periodicis orientium 
explicationes relinquens. 
Froblema illud 

Detarminare corporum coelestium systematis nostri Solaris motus 

secundum legem grayitatis Newtonianam 
saepissime problema trium corporum appeliatum est, quamquam reyera inter 
corporum corpus primarium ambientium numerum distinguendum est. Ita 
proprie hoc problema duorum corporum, quoties motus unius, trium corporuniy 
quoties motus duorum, quatuorcorporum, quoties motus trium corporum re- 
spectu corporis primarii, quod iilaambiunt, inyestigandi sunt, dicradum est,etsi<i 
porro, quoties plura corpora adsunt Froblema duorum corponun expressio|nibus 
finitis solyi posse, et haecce corpora sectiones conicas circum commune centrum 
eorum grayitatb describere, aut, si motus relatiyi inyestigantur, utrumque sectio- 
nem conicam eiusdem excentricitatisperiodiquecircum alterum perlustrare, nemo 

nescit. Problemata plurium quam duorum corporum expressionibus finitis solyi 

**2 



Digitized by 



Google 



xu 

ne^emit, sed qtnia ip BystenuEle nogtio Solari corpora onmia in se iQTiceni 
pmTttlam efficiant yiin ceBpectn vis corpeirb primarii, haec probkmata ad seriea 
coQyergeiites perdnoant, quamm eSecfos in eo consistit^ quod motnm in se- 
ctlme codica aUoqii& absolutom haud mnltum perterbant. Qnas perturbationes 
duplici ediibeii posse modo, altero quo termini per terapus ipsum multipli-* 
Cftti erlteirtur, altero quo udem admittantur, iam in praecedentihus explicavi- 
9m9' Problema Lunae ^etenmnandi moti», si perturbationes aplanetispro* 
(tactas non respexeris, proprie quidem problema trium corporum est, sed quiira 
ei ^Mditao insit, ut Terrae a Luna pertnrbatus motus a priori et ab ipsb Lunae 
perturbato motu independenter fere exhSberi possit, itaque in hoc problemate 
propempdum sohis Lunae motns investigandus sit: hoc casum tantum specia- 
lem problematis generaiis trium corporum, in quo utriusque corporis motus 
jreJktiyns respectu tertii corporis inirestigandus est, pomt, licet perturbationes 
Mlo supra explicato modo exhibeantur, ut termini scilicet per tempus ipsnm 
multiplicati non adsint. 

Quamobrem ex Lunae in hoc yolumine exposita theoria sofaitio problema- 
tis genorafis trium corpomm peti non potest, nec, etiamai plura non obsti- 
terint, problematis plurium corporum solutio in ea continetiir. Quum yero 
hniiis problematis solutioni ita sumtae, nt termini per tempus ipsum multipU- 
cati eyitentur, in systemate nostro Solari applicatio pulcherrima pateat, et 
problematis quatuor corpomm solutio ad problematis pkirium corporum solu- 
tionem perfitcile extendatur : eam, quam asseqnutus sum, hoc loco sUentio prae* 
termittere nolui Breyitar igitnr expositam solutionem problematis quatuor 
corporum aim«ui, quam eo usque exposui, ut functiones perturbatrices in 
«eries eyolyendae et in formulis datis substitnendae restent. 



Digitized by 



Google 



I N D E X 

RERVM IN HOC VOLVMINE CONTENTARVM. 



1 



Sectio /. De aequationibus differentialihus motum systematis cuius- 

cunque corporum attractioni reciprocae subiectorum defirden" 

tOma 1 

Axtt. 1 et 2. Aequationes motuum systematis corpasculonim legi gra^itationis ani'- 
versalis Newtonianae sabiectomm investigantur 

Artt. 3. 4. 5. Aequationes motuum tam absolutonim qtiam relativorum, quae io- 
cum babent, si corpuscula in corpora dimensionum finitarum abennt, investi- 
gantur '^ 

Artt. 6 — 9. Aequationes in prioribus inventae ad casum restringuutur , in quo 

corporum dimensiones respectu eorum distantiamm' mutuanim perparvulae sunt 9 

Artt. 10 — 12« Mcthodus nota variationis constantium arbitrAriarum eatenus, qua- 

tenus ad acquationes in praecedentibus inventas adhibenda est, explicatur . . IB 

Artt. 13 et 14. Theorema demonstratur , quo methodo variationis constantium ar^ 

bitrarisunm applicatio generalior patet 21 

Artt. 15 — 19. Methodus generalis baec ad aequationes dUerentiales in praece* 
dentibus inventas applicatur 27 

Sectio 11. Disquisitiones de aequationibua motui Lunae investigan- 

do inservientibus 38 

Art. 1. Aequationes motum Lunae definientes e praecedentibus desumtae exponuntur 38 

Artt. 2 — 6, Methodus peculiaris, qua termini per tempus ipsum multiplicatiy dum- 
modo indinationum non habeatur ratio, ex integralibus aequationum exposita- 
mm tolluntor, exponitur :)9 



Digitized by 



Google 



XIT 

, pag. 
Alrt, 7. Termim quidam e SoHs coordinataram valoribus originem trahentes expli- 

cantur, qul in pota Lunae terminos profemnt tempori ipsi et temporis pote- 

statibus proportionales, Qui termini in Lunae theoria admitti possunt • • 50 

Art. 8. Considerationes nonnullae generales de aequationum nostrarum integratione 

praemittuntur 51 

Artt. 9 — 11. Relationes nonnullae generales, quae locom habent, quomodocon- 

que functiones avbitrariae Af^ atque Sfi dcterminantur , evolvuntur . . • 54 

Art. 12. Fiinctionibus adhuc arbitrariis ^ig atque St vaiores simpHcissimi attribu- 
untur, quo factum est, ut perturbationes longitudinis longitudini verae adden-, 
dae sint. Quae assumtiones non amplius evolvuntnr .61 

Artt. 13 — 15. Functiones eaedem ita determinantur, ut perturbationes longitudi- 
nis ad longitudinem mediam addendae sint. Quaedam ^huc pertinentia, iis quae 
antea de hoc argumento protuli gencraliora, explicantur. Arbitrariae enim quan- 
titatcs tres &, £ atque rj in formulis introducuntur . • • • • • • ^ 

Artt. 16— '19. In methodum aeqnationum differentialium perturbationes longitudinis 

mediae logarithmique radn vectoris suppeditantium integrandarum ulterius inquiritur 68 

Art. 20. Arbitrariae b , ^ atque 7] ita dcterminantur , ut mptus medius anomaliae 
mediae observatus et excentricitas adiumento fbrmulae pure ellipticae ex obser- 
vato maximo aequationis centri termino computata computandis pertarbatlombns 
superstruendi sunt •• • 77 

Artt. 21 — 24^ De pertnrbationlbus ipsarum p et g, Inclinatio mutua et quantl- 
tates duae {p atque ^ ex orbitarum Solis et Lunae nodis reciprocis potissimum 
pendentes in formulis omnibus introducunlur. Ostenditur quomodo termini ex 
inclinatione mutua pendentes et In integralibus per tempus ipsum multiplicati 
tolli possint. Quae methodus incommodi quid habet •••••• 80 

Art. 25^ Novae quantitates P, Q atque JC loco J, tp atque t^ introducuntur • 9t 
Art^ 26. Theorematis cuiusdam noti simpliclssima demonstratio datur . • . 94 
Artt^ 27 et 28. In methodum aequationum , quae ipsas P, Q atque K suppedi- 
tant, integrandarum inquiritur. Quem in finem consideratur problema trium 
corporum generale, cuius casus specialis Lunae theoria ponit . . • • . 95 
Artt^ 29 et 30« ExpUcatur quomodo valores ipsarum p atque 9, e quibys latitudo 
Lunae r^uctioque eius longitudinis in orbita v, ad planum proiectionis seu fun- 
damental^ pendet, ex inventi« ipsarum (fi)», /r, <S, P, Q atque iT valoribus 
computandi sint. . Quantitates p atque g in alias p, atque q, denotatas trans- 
formantur. Methodus nova exponitur, qua aequatlones pro p, atque q, Ita In- 
tegrantur, ut orhitae Lunae inclinatio ad planum proiectionis quaecunque re- 
maneat, et termini per tempus ipsum multiplicati non oriantur • • • • lO^ 

Artt. 31 et 32. Relationes inter constantes arbitrarlas praecedentlbus integratloni- 

bus Introductas exlstentes et harum constantium significationes investigantur • X13 



Digitized by 



Google 



pag. 
Art. 33. Aequationes, qaibns latitudo Ltinae versus plaDnm proiectionis sen funda- 
mentale et reductio longitudinis ad idem planum ex quantitatibus p, atque q, 
et resp. p„ atque q„ computandae sunt , exponuntur 119 

Art. 34. Significationes numerusque constantlum omnium observationibus determi- 
nandarum, tum ad problema trium corporum generale, tum ad Lunae theoriam 
spiectantium repetuntur 123 

Sectio m. Generdlia aequationum in praecedentibu8 exhSbitarum 

evolutio 127 

Artt. 1 — • 5. Formula pertur|)ationes ipsius (n)z exhibens usque ad terminos quarti 

ordinis respectu vis perturbantis terminis generalibus expressa evolvitur . . 127 

Art. 6. Nova formulae differentialis in praecedentibus evolutae integrandae metho- 

dus explicatur 137 

Art, 7. Haec fermula integratur 141 

Artt. 8 — 10. Formula, qua perturbaliones logarithmi radii vectorls computandae 

sunt, usque ad quantitates quarti ordinis evolvitur et Inlegratur . . . . 146 

Art. 11. Aequatio conditionalis calculo numerico confirmando inserviens explicatur 150 
. Art. 12. Formulae perturbationes ipsarum P, Q atque JT* suppeditantes usque ad 
quantitates tertil ordinis evolvuntur et integrantur. FunctTones ft et q)t eyol- 
vuntur . 150 

Sectio IV. Expoaitio calculi^ quo approximatio prima ad vdlores 

veros perturbationum Lunae obtinendos instituenda absolvitur 156 

Artt. 1 et 2. Computatio perturbationum primi ordinis respectu vis perturbantis 

in genere explicatur ^ 156 

Art. 3. Functlo perturbatrix Sl in seriem infinitam secundum cosinus multiplicium 

anomalianun mediarum progredientem evolvitur . . 159 

Artt. 4 et 5. Coefficientes evolutae Sl explicantur, et ad transcendentes duas ea- 

rumque quotientes dlfferentiales respectu excentricitatis reducuntur ... 163 

Art. 6. Quae transcendentes inseries infinitas secundum potestates excentricitatis 

progredientes evolvuntur 171 

Artt. 7 et 8. Formula perturbationes primi ordinis ipsius (n)z suppedilans evol- 

vitur 179 

Art. 9. Theorema compntationem perturbitiomun maxime sublevans demonstratur 185 
Art. 10. Transcendentes Jr?»* atque jrj'*, quibos ad perturbationes prlmi ordi- 
nis ^sias (lO» computandas opns est^ ia senes secundum potestates excentri- 

cltatis progredientes evolvuntur . , ^ ^ \ 187 

Artl. 11 et 12. Explicatio computaUonis perturbationum primi ordinis ipsius (7i)s 
continuatur et finitur .•....,. 191 



Digitized by 



Google 



pag. 
Art. 13. Computatio perturbatioDum primi ordims ipsarum u> ei S explicatur • 196 

Art. 14. Computatio perturbationum primi ordinis ipsarum P, Q et JT explicator 198 
Art, 15. Perturbatidnes Solts ad formam, quam haec Lunae theoria supponit, redi- 

guntur . 202 

Sectio V. Explicatia computationum approximationi$ secundae ei 

subsequentium 206 

Artt. 1 — 5, Formula perturbationes secundi ordinis ipsius (n)z exhibente ezpo* 
sita , quantitates auxiliares ad perturbationes secundi ordinis computandas re- 
quisitae exponuntur et explicantur 200 

Art. 6. Theoremati in art. 9. Sect. IV. demonstrato quantitatem demonstratur Z 

quoque subiectam esse • • . • • 212 

Art. 7. Computatio' producforuth , quibus formiilae perturbationes suppedltantes 

constant, explicatur •* •* • 4 215 

Art. 8. Aptissimus perturbationum argumentorum ordo explicatur, et series argu- 

mentorum apponitur 219 

Art. 9. Agitur de divisoribus parvulis, quos aliquot perturbationes in integrationi- 

bus obtinent . . • . 222 

Artt. 10 et 11. Perturbationum secundi ordinis computationis explicatio continuatur 224 

Arti. 12 et 13. Calculus perturbationum secundi ordinis ipsarum w atque iS expU- 

catur • • . , 229 

Art. 14. Calculus perturbationum secundi ordinis ipsanmi P, Q atqne JT expli- 

catur . . . . . . • . . . . ... . . , . 233 

Art. 15. Perturbationes tertii ordrnis eodem modo quo perturbationes secundi or- 

dinis computandae sunt. Singulae quaedam huius calculi conditiones explicantur 237 

Sectio VL ExpliccUio c&mputationum ad ipsas p^ atque q^^ latitu- 

dinem et reductionem longitudinis ohtinendas inatituendarum 242 

Art. 1. Evolntio ips^rum ft atque (pt explicatur . ?42 

Art. 2. Approximatio prima ad veros ipsarum p, atque q, valores obtinendos in- 

stituenda explicatur • . 243 

Art. 3« Approximationes subsequentes explicantur . . . . . • . • 245 
Art. 4. Computatio sinus latitudinis versus planum proiectionis adiumento ipsamm 
Pf atque q, perficieada explicatur '••.... 247 

Art. 5. Formula reductionem longitndinb ad pUnum proiectioins exhibens et in 
art. 33. Sect. II. data evojvitur atque integratur, et hnius rednctionis compiita« 
tio explieatur 250 



Digitized by 



Google 



pag. 
Sectio VIL Solutio probhmitth qiuxHicT corpomil^ bre^er ejtposUa^l 

Art. 1. Introductia . . • . . *. . ." . .:•;'. .' .. . ,' t67 
§• I. Expositio aequationnni differentialium finUaritiii, equariite 

XAtegr^tfone probl^matifi solutio pendet . . • • • • .; 259 
ktL 2. . Quantitates (t£)6%^ w atque -^ in Sectione tertia u^que ftd quantitatet 

quarti ordli^is evolutae rjgorose. exhibentur .• .. . • »•• 259 
Art, 8. Quantitas W in tr^s q^antitales. T, V atqup S JistfibuitQr * . , 2B4 
Artt. 4 et 5, Inclinatioi^es nratnae nodique hia ^spondeotes nec noo qiUtntitatea 

Pff Qf, JCfi P,/ 9 etc ex illis pendentes introducuntur » « • . • .2^ 
Art. 6. Aequationes conditionales inter qnantitates P,, Qf, J^, JP^/, etc, locom. > 

habentes evolvuntur , » r ^^ 

Art. 7. Aequafiones pro ^', ^', ^', e^c. ejpoi^untur • • , , . .271 
Art. 8. QuantiUles p, ^, etc in alias p,, y^, ti, etc. p^* y^^, HfetC ji,^^ 

?ooo» tf) etc. transformantnr, qturum aeguationes differentiales lineares ^xpp* 

nuntur ••.,.•..••..,•..• 278 

S. II* Praemissa aequationum prioris paragraphi, qua termini 

primi ordinis eliciuntur, integratio , . 276 

Artt. 9 — 11. Termini aequationum differentialium pro T atque y , qui post in- 
tegrationes peractas terminos priaii .ordiiii&.«uppeditabnnt, evolvuntur et a reli- 
quis terminis discemuntur, Quantitas S terminos tales non continet . • • 275 

Art. 12. Termini illis analogi in aequationibus differentialibus pro P, atque Q^ 
existentes evolvuntur, et a reliquis terminis discemuntur.x Quantitas JIT, non 
minus quam S terminos tales non continet. Aequationes in hoc et in prioribus 
articulis inventae cum notis ab ill. Lagrange primo datis aequationibns comparantur 284 

Art. 13. Aequationes conditionalcs in art 8. inventae rigorose integrantur . . 285 

Art. 14. Theorema demonstratur, qood ad evolutamm aequationum differentialium 

integrationem perficiendam maximi momenti est V • 291- 

Artt. 15 et 18. Integratio evolutaram aequationum differentialium perfidtur . . 293 

Art. 17. Aequationes conditionales inter constantes arbitrarias integrationibus prae- 

cedentibus introdnclas evolvuntur •.•.•...•.« 300 

$. III. Perfecta aequationum differentialium paragraphi primae 
integratio . • 302 

Artt. 18 et 19. Aequationes differentiales pro T^ V atque S perfecte integrantnr 302 
Art, 20. Ex expressionibus ipsamm T^ W atque S componitur ipsius W expres- 
sio. Methodus ex hac ipsius JF expressione ipsam IF per plures deinceps ap- 

proximationes computandi breviter explicatur . 806 

Art. 21. Termini per tempus ipsum multiplicati in approximatione secunda et ^b- 
sequentibus in expressione ipsius JF orituri rigorose tolluntur .... 311 



Digitized by 



Google ^ 



xvm 

pag. 
Art» 22. Aeqnationes difeentiales pro ipsis P,, ^, JT, perfecte integrantnr • 813 

Art. 23. Termini per tempns ipsnm mnltipUcati toUnntnr •••..• 315 

* Art. 24. Compntatio ipsamm p^ q, etc. ezpUcatnr . 318 

S. IV, De significatione determinationeqne constantinm arbitra- 

riarnm in integralibns praecedentibns introdnctarnm . . . 318 

Artt«2&et26. Constantes arbitrariae P^, P^^, etc. 0^, @^^j'&^^ etc. ad dnas 

r^ atqne ®^ redncnntnr 318 

Art. 27. Signttcatio constantinm F atqne 0^ indagatnr , . . . . 322 

Art« 28. Significatio reUqnamm constantium arbltrariamm investigatnr . . . 324 

Art 29. Determinatio constantiom arbitrariaram adinmento observationnm astro- 

nomicamm expUcatnr .•....• 327 

Art. 30. Ex problematis qnatuor corpomm solntione, qnam praecedentia continent, 
abscissis terminis ad quartum corpns spectantibns , fimnulae theoriae Lnnae 
fundamentales, qnae in Sectionibns praecedentibns datae snnt, elidnntnr . . 329 



Digitized by 



Google 



SECTIO L 



DE AEQVATIOMBVS DIFFERENTIALIBVS MOTVM SYSTEMATIS 

CVIVSCVNQVE CORPORVM ATTRACTIONI RECIFROCAE 

SVBIECTORVM DEFINDSNTIBVa 



1. 

m^onsideremus namenun indefinitiim corpusculonun infinite panmlonun, 
qnonun massae resp. sunt m, wi', n{\ etc. mO*), mO*'), m(^*), etc mW^ 
m^\ fni^')^ etc etc. et quoram coordinatae orthogoniae sunt iyH^^i^y 
V\ r, etc. 10*), 1^0»), fO*), 10*'), TiQO, fO**), etc. etc. SnpponaiilPcor- 
puscula haec Tiribus acceleratricibus X, Y", Z, X*, Y ^ 2i ^ etc. XO*), 
YO*), ZO*), etc. etc. secundum directiones coordinatarum harum sollicitari, 
Tiresque has coordinatas augere tendere. Si conditio adiun^tur, ut inter 
corpusculorum horum loca aequationes conditionales non adsint, principia 
Mechanicae docent, vires acceleratrices easdem per quotientes differentia- 
les coordinatarum secundi ordinis respectu temporis quoque hos 

d^ d^ d^g dPT dv rf^r , , 

exprinu, onde aequationes motum corpusculorum horum definientes nand- 
sdmur has 

1 



Digitized by 



Google 



dt^ — -^' IT' — ^* dT^ — ^ 

W — -^* "dF — ^' di^ — '^ 
etc. etc. 

etc. etc, 

etc. etc. 

a. 

Si nanc ponimus corpascula haec solammodo sollicitari attractioni- 
bus reciprocis, quae in ratione directa massanim et in ratione inyersaqaa- 
drs^Qmjn distantiaraip reciprocaram argeant, yis, qaam corpascalam m' in 
m exercet, aeqaalis est 

ni 



designante x intensitatem vis haias, quoties et distantia et massa unitati 
aequalis est; vis, quam m" in m exercet, aequalis 
m" 

^t ^lq ,pimo. JPi/itoIptiA jbos yiribus in tres secondum directiones axium 
<oordins|t;uiuii wg^iiit^ yir^^ IjL^beiQijis , quia attractiones distantias demi- 
)Mie^^i(ia4wt^ 

•^-'m^ xW(r--0 , xm^^Cr-D , . 

ft mmk9 (^xpr^s^es nwa9<fimur pro ]r, Z9 JT, etc, etc. Quae ipsius 
J|[. ^xessip lub liac i?9di|^ p^test foima 

et eodem modo obtinetur 

, ntfit tn tn 



Digitized by 



Google 



8 



<fS _ 1 / dX\ 

<pr _ 1 / rfx \ 



et sic poiio. Hinc et qHnm expresnones analogae pro Y, Z, Y^ eic. in- 
Teniri. possint, sequitur, ponendo 

nbi snnunatio ad binas massas mni\ rd ni\ etc. mmO*), rrlmUi), etc. etc 
extendenda est, aequationes art. 1. in has transire aeqnationes 

^-JL(^\ £L^±. (JL\ ..-..(1) 

dt' -~ ~m' \ d4 J ' dt* ~i^ virJ ^ ' 

etc. 
«fe* "mO^^CdflWJ' A* "" mC/*) C<igO«)j 

1 /. <u N d*^'y 1 /- <a \ ^.. 

rft' ~mO'')(.<i{O.V *""'^^ 
■ mW UsWy 



etc. 
<2A N 



d^__l_,JtM_s 

*«* "~mO.)CrfgO)j 
<P|0»') 



1 



>. <a N 



*' ~mO.')USO.')y'' 
etc. 

«fe* ~ mW C</|W/ ' 

£1^— _l_/_^^ 
*' ■"mWUsC"')/' 






O^ 



"mO.')Cd,0.'), 

etc. 

^f^jyC") _ _J_ • <U X 

*' ~'mWUi?W/ 

<tt» 



_ — _1_ /_*L> 
' ~m(»')Uq(0/ 



<tt* 

d^) 
dt^ ' 



etc. 



etc. 



Qnae sunt aequationes di£ferentiales motnum systematis corpnsculomni, 
quae leg^ graTitationis uniTersalis Newtonianae sunt subiecta. 

3. 

Consideremus seorsim et corpuscula m, mCf*), mC*), etc. et m', mOO^ 
mC"'), etc. et m", mO«*), mC**), etc. etc. Formentur primum aggregata ex 
aeqnationibus praecedentibus (1.), (3.)^ (5.)) c^c. postqnam per massas 
respectiTas multiplicatae erunt, deinde aggregata ex aequationibus (2.), (4.), 
(6.), etc. postqnam per massas quoque respectivas multiplicatae erunt, et 
sic poiro. Quibus factis nanciscimur has 

d^i^—y^ /dX\ V. «^9 _ _ V /'^*^ ^ «*'S - /«** 









(7) 



etc. 



etc. 



Digitized by 



Google 



ubi igitor snmmationes in linea prima ad corpascuia m, m(M), m(*0, etc, in 
linea secwida ad corpuscnla m% m(^'), m(0, etc. referendae sunt, et sic 
porro. Perfacile perspicitor esse respectu termincHwn ipsius X per massas 
fnm(t^\ mmf-^y^ m(^)m(*), etc. multiplicatorum 

et respectu tenmnorum per massas m'm(^')^ nim^y)^ m(fi^m(^\ etc. mul- 
tiplicatorum 

et sic porro. Quae quum pro aggregatis reliquis 2\j-)^ 2?^^), UQ^^ 

etc. etiam locum habere debeant, in ipsa A, quatenus in aequationibus (7) 
vim habet, terminos solummodo recipere opus est, qui per binas massas 
mm\ mm(i^'\ etc. m(J^)m\ etc. etc, quae ad diversa aggregata pertinent, 
multiplicati sunt. 

Quibus positis, sumamus in aequationibus (7) numerum corpusculo- 
rum, quae in quoque aggregato continentur, infinite magnum evadere, et 
simul distantias reciprocas inter haec corpuscula infinite parvulas fieri, quo 
factum erit^ ut aggregatum quodque in corpus dimensionum finitarum abeat, 
quae corpora per massas eorum m, m% m'\ etc. designabo. lam nunc, 
quum sit 






ya-ey + (n-nr + u-r )^ 

in qna expressione termini per massarum combinationes mm(i^\ mm(^\ etc. 
m^md*')^ etc. quae ad idem corpus pertinent, multiplicati secundum prae- 
cedentia excludi possunt: haec quantitas X ex numero infinite magno ter- 
minorum constat, quorum quisque per massarum particulas infinite panruias 
mm\ mmd^')^ etc m(i^)m'j etc, quarum utraque ad aliud corpus per- 
tinet, multiplicatus est. Summatio igitur in integrale duplex abit, ita ut 
habeatur 

dtn , dtn 



=4U 



ubi integrationes per massas integras omnes extendendae sunt. Quum vero 
supponatur corpus finitum quodque a reliquis corporibus spatio fiinito di- 



Digitized by 



Google 



5 



stare, et figuras superficienun corporam honun a se invicem independentes 
esse, integratio integra, quam X requirit, in tot integrationes dupiices dis- 
tribuitur, quot binae combinationes corporum adsunt, et ipsa X ex totidem 
terminis constat, in quibus quoque integrationes a se inyicem independentes 
sunt. Habemus igitur deiuque 

ubi signum 2 ad binas corporum m, m\ m\ ^ic. combinationes referen- 
dum est, ita nt ex. gr. signum 27 quantitatem X ex —^ — terminis consta- 
re indicet, quoties numerus corporum est n. Quantitas ^ Cd|/'4^^^P^* 
mae aequationi (7) inest, designat ipsam X respectu coordinatae | puncti 
cuiusque massae m difiFerentiandam esse et post difierentiationem hanc per- 
actam quotientes differentiales omnes addendos esse. Quum vero differen- 

tiationes hae ab integrationibus, qnas X postulat, independentes sint, H \^^ 
etiam obtinetur differentiando ipsam X respectu coordinatae | puncti cuius* 
Tis corporis m sive post integrationes peractas sive sub signo integratio- 

nis. Hinc concludere licet, loco 11 (^ in prima aequatione (7) simpli- 
citer y^ poni posse, dummodo quotiens differentialis hic ex aequatione 

J2fc 

(8) computetur. Denique facile inteliigitur terminum 2 -^ m primae ae- 
quationis (7) in integrale^^ dm per totam massam m extendendum 

abire. Quum aequationes reliquae (7) transmutationes analogas in casu 
quem consideramus patiantur, habemus loco earum 



/f^---^ Cl). f^'"'-- Cl). M^'^^ (f. 



(8) 



(9) 



etc. etc. 

in quibus non minus quam in aequatione (8) 1, i], ^, coordinatas puncti 
cmusvis corporis m, £^, rf^ ^, coordinatas puncti cuiusyis corporis m% et 
sic porro, denotant, quae coordinatae omnes originem eandem arbitrariam 
habent 



Digitized by 



Google 



(10) 



6 

4. 

Aeqaationes (9) una cum aeqaatione (8) eam corporum m, m\ ni\ 
etc. motaom partem, qnae pro omnibus cuiusqne corporis punctis eadem 
est, sive motom absolutum translationis corporum singulomm deterininaat, 
et ex iisdem aequationibus (1) . . • (6) etc. ea motuum corporum m, ni^ 
etc. pars, quae pro diversis corporum punctis diversa est, sive motus ro- 
tationis corporum singulorum determinari potest. Qnem in finem aggre- 

gata 2/ -^ m, etc. 2 jt~ m, etc* etc. formanda sunt, quae 

vero, quum ad scopum nostmm hic persequendum non spectent, hoc loco 

non eYolyam. 

Sint X, y^ z coordinatae centri grayitatis corporis m; x\ y\ :i co- 

ordihatae centri g^avitatis corporis m', etc. ab eadem origine uti |, ij, ^, l', 

etc. numeratae et his resp. parallelae: tum proprietas nota centri gravita- 

ti^ suppeditat aequationes has 

fidm z=z xm ^ ftjdm = ym , f^dm = zm 
f^dm' = ^W , frfdm' = j/m' , ftdm' =: z'm' 
etc. etc. 

ubi mtegrationes per massas totas esctendendae sunt. Quibus aequationi- 

bus bis differentiatis, habetur 

etc. etc. 

unde aequationes (9) abeunt in has 

rf^jr _ 1 / dX \ d^y _ i / dX \ rf^g _ 1 /^ ilA \ 

dt^ m \ d^ J ' dt^ ~ m\ dn J ^ dt^ ~ m\ di J 

dt' ~ ni \ d^ J ' dt^ ^ m KdnJ ' dt^ — ni \ df^ J 
d^x" _± / dX \ JV — l,/^d^\ d^%' _ 1 / rfA \ 
dt^ — m''\dfj ' dt^ —ni' \AifJ ' IF^ — IIKWJ 
etc. etc. 

quae igitur aequationes differentiales motus absoluti systematis corporum 
m, m', m% etc. sunt, et quidem motus absolutos centri g^avitatis cuius- 
que corporis determinant. Quum vero in astronomia motus relativi obser- 
ventur, aequationes differentiales motus relativi investigandae sunt. Quem 
in finem subtrahantur singulae aequationes (10) primae lineae priinum a 



Digitized by 



Google 



singulis aeqnatioiiibiis seciindae lineae, deinde a singalis aeqaationibas ter- 
tiae lineae et sic porro, quo facto emergunt 

dt^ "-"m'W>' m\diJ^ dt^ -^f^KdrjO m\d»?/' dt^ -^nC^dt;) v\dO 

etc. etc. 

qoae motum reLatiTam corporum m% 9ii'% etc. respectu corporis m deter* 
minant Ut yero aequationes concinniores et* ad evolutiones accommoda^ 
tiores nanciscamur, modo sequenti progrediemur. Sumo inter corpora 
m^ m\ m"j etc. corpus Jlf adesse, cuius respectu motus relatiyi inTesti^ 
gandi sint. Sint coordinatae orthogoniae centri gravitatis corporis M ad 
originem quandam indeterminatam sed fixam relatae, ceterum vero coordi- 
natis x^ y^ z^ x\ y\ z\ etc. resp. parallelae, X, F, Z, et coordinatae 
puncti cuiusvis huius corporis ad originem eam, ad quam x^ y^ z^ etc. 
referuntur, relatae et his quoque resp. parallelae iS^, P, Z^: tum ponendo 

A = %2 // . r (U) 

nbi integrationes ad massas integras et summatio ad corpora omnia m, 
m\ m'\ etc. extendendae sunt, habemus secundum praecedentia 

<PJg_ 1 /dA\ d^Y_ 1 /^dA\ <PZ_ 1 /" dA \ ..^. 

dt^— M \dsJ ' dt^ ~ M\dTj ' A^ ~ M W^iy ^ ^ 

quae aequationes motum absotutum centri gravitatis corporis M determi- 
nant. Quum origo coordinatarum x^ y^ z^ x\ etc. |, ti, t^ Sf etc. et 
i3, 2^, Z, arbitraria sit, suppono originem hanc centrum gravitatis corpo- 
ris M esse; hinc concluditur coordinatas absolutas centri gravitatis corpo- 
rum m, m', etc. esse X-j-^, J^+y^ ^ + ^? ^+^^S ^4"^% ^"+"^'> 
etc., coordinatas absolutas puncti cuiusvis horum corporum esse X-f-|, 
y •+ 1^, Z-|*f, X-|*|', y-j-i^', Z-j-J^, etc. et coordinatas absolutas 
puncti cuiusvis corporis M esse X-f^ S, F+ T, Z-^Z^. Aequationes 
igitur (8) et (11) X et A suppeditantes non mutantur, aequationes vero 
(10) abeunt in has 

d^iX+x) _ 2./dX\ . i/d^N d^{Y+y) l^ /£i\ . i. /^N ' d^(Z+%) _ J_ /-div J_/d^\ 
lH* "" m\d{/"*" m\.d{V' dt* ^ m \driJ'^ m Vdiyy' dt^ "~ m VdJ/"*" ibW£/ 

^^a[+£)_ Vdi\ 2./^d^N <^(r+yO _ 1 /rf^ \ I 1 /<f^\ d^(Z+/) _l/d;i\ l/d^\ 
dt^ ""m^Vdr/^^m^W/' <i«^ "■m'W>''*"m'Vd,2'>'' dt* ""m^Vdr/'*"»'^^ 
etc. etc. 



Digitized by 



Google 



8 

Sabdactis aequationibus (12) a praecedeiitibus nanciscimur 

— = 1^ 
(13)J 



d|2 



mVdg^+m k d^J' M<d»/ 9 dt» ""111 \dfjJ "*" m\ dfiJ^MKdvJ ^ di^" m \d£>'"'" m\d£y M^dzJ 
dt^ inrVd^^y+mr W^'"*! W/ ' dt^ '^m'\dti'J^n^\dnJ' MKdrJ ' di^ ""m^VuJtv"*"»^ W^'" M\dzJ 

etc. etc. 

qnae aequationes differentiales motunm relatiTorum corpomm m^ ni ^ etc 
respectn corporis M sunt, et raotnm relativnm centrorum gravitatis horum 
corpomm determinant, quomodocunque dimensiones et figurae corporum 
omnium sunt, dummodo distantiae particuiamm unius corporis a particulis 
reliquorum corpomm inJBnite parrae non evadant. 

5. 

Aequationes praecedentes ad formam simpliciorem redigere licet. Ex 
indole quantitatis A per aequationem (11) datae facile reperitur esse 

r^A\ _ ,, r r n-s) dM.dm 

\dU~ JJ [(6-^)^ ^ iv-T)^ - (g-Zi)"]« 
/"dA^ _ f f Q-^S)dM.dm 

si igitur ponitnr 

^-"'^JJ [(r-5r)^^(i2^-rj^H.(5'-z,r]i '^•''^ 

ubi summatio per If in^cata ita intelUgenda est, ut coordinatae |^, ij^y ^y 
nec non massa dm' ad omnia corpora m\ m'\ etc., excepto corpore fn, 
deinceps referantur, coordinatae vero |, ij, ^ in terminis onmibns immu* 
tatae remaneant, habemus 

itaqne ponendo 

j-r_ JM-j-m ff _ dM . dm , x / T dtn . dm 

~* Mm JJ V(4-^«+(,r T)"+(£-Zl)5 "^ m ^*/ V ({-r)»+(W)H(t-n» 

« « / As-g) (r-^-«-(i?-y) (i?-y)-*-(e-z,) (r-z.) , „ , 

~M^JJ [(r-^)*-*-(V-r)'-H({^-z.)]i ''^**" 

habetur 



Digitized by 



Google 



9 



quae motum n 
insuper 

dtn • dbit 



Mm' dJ V'(4'-fi)«+(i/^)«4.(j'.z,)»'^m JJ V (j-r)' 



«+('j-«i')»+tt-n» 



_ « Tv» / Tcr-g) (r-^-<-(i?'-r) (f-D-Hcr-z,) (r-z.) ^^, , « 

Jf ^i/ [(£"-;y)»H-(V'-r)*H-(r-z.)»]i '^•*" 

obi 2^' indicat coordinatas et massam corporis m" deinceps in coordinatas 
massasqne corporum omninm m, m'\ ni"^ etc., excepto corpore niy nni^ 
tandas esse, coordinatas vero et massam corporis ni in terminis omnibns 
immntatas remanere debere, habetnr 

^_/dir\ d^'_/dW\ d^z _ /dW\ 

dt^—^^dfj' dt^ — \dnJ' dt^ — \deJ 

quae motum relatiirum centri grayitatis corporis m' deflninnt, et similes 
aequationes nanciscimur pro corporibus ommbns reiiqulii 

' 6. 

Quum systematis nostri Solaris corpomm dimensiones respectn distan- 
tiamm eorum reciprocarum minutissimae sint, quantitates W^ Wy etc com- 
mocBssime in partes duas dividuntur, quarum prior a figura corporum in- 
dependens est, altera vero e parametris superficierum corporum pendet, 
quae altera pars illa semper multo minor est. Sint |,, i}j, ^, coordinatae 
puncti cuinsris corporis m ad centrum grayitatis huius corporis relmtae, 
^19 ^'i9 ti coordinatae puncti cuiusvb corporis m' ad centrum gravitatb 
huius corporis relatae, et sic porro. Hinc sequitur ut 

i = ^+it ji?=y+% 9?=«+?! 
e=:af^i, , i=!/ + ii > t^^^^ + tt 

etc. etc. 

Substitutis his valoribus in expressionibus ipsarum Wj W\ etc. art 
praec., quantitates quae sub signis integrationis continentur, in series infini- 
tas maxime couTergentes et secnndum potestates productaque quantitatum 
(&— S'!),^!?!— Vi),(fi— fi) etc. et resp. quantitatum (|,—S) , (1^1 — ^)9 
(S*! — 2)9 etc. progredientes, eyolYi posraht, quarum serierum primi ex his 

2 



Googl^ 



Digitized by V^OOQ 



10 

qnantitatibas independentes ternuni ex jr, y, 2, x', y, s', etc eodem mo- 
do compositi enint, ut expressiones illae ex |, i}, ^y ^, ij\ ^, etc con- 
stant. HabeoHu igitur 



1 



= -^ + « 



»^(j-f )'+ ft-u')» + (£-r)* ^ 

4ibi ^) 17 et V seiies ^nfinitas repraesenjtant secundum potestates producta- 
qne ipsarum (^ — ^i) , (^ — ^, etc etc progredientes, et ubi breyitatis 
cansa posui 

J" = (ar-^)* 4. (y-y') -f(a-«T 

r' = 4?' + y' + z* 

j'» = «" + y" 4- «'• 

ita ut generaliter sH /fy^ siye J^y distantia reciproca coipomm' m(fO et 
m^'), nec non rO>) distantia corporis mO*) a corpore M. Formulae igitur 
art praec ipsas Wf Wy etc suppeditantes abeunt in has 

4- -^sffvdm . dm' — -^ r ffudM . dm' 

w^=V^' + x2? ^ --xirw' ^''*^'^" 4- « ^ffrdM.dni 

4- ^sffvdm . dm' — -^ IT ffudM . dm" 
W" -eic. 

et qnum nunc qnotientes differentiales ipsarum ^, FF', etc respectu ipsa- 
■^■""i I) ^) r» l") *2^ r» ^t<!' i^P* '° quotientes differentiales respectu ipsa- 
rum X, y, 2, x', y, s', etc. transmutare nobis liceat, habemus loco aequa- 
tioniim respectiyarum art. praec has 

dt' -~ K.irJ * dt* ^K dy J * dt' ^\ d* J 

££. - r^\ £L - {^\ -^- (^\ 
<fc' — \d7j ' *» ~\J^J ' dt^ -~\ di'J 

etc etc 



Digitized by 



Google 



11 

qnae aeqaationes differentitaes motlii lelatiTO co^wa m, m', etc. inyesti- 
gando insenriunt 



Restat not)ia at quantitates F, tj et v defipianior. 8i in qnantitate 
K^— O' + in—ny + (f— 0']-* substituuntur valores ^ + |„ y + i^i, 
« + fx5 ctc. ipsarum |, i^, ?, etc. et si tum quantltas haec per methodos 
notas in seriem eyolyitur, facili opera nanciscunur usque ad quantitates 
tertii ordinls, 

t;=r— (^-*0«i-ri)+(y"3r)(iy,V,)+(Iv)tt,-rt) 



et ec 
F= 

U— 



( 
respe^ 
notani 



et qu 

naben ^uuiiuts pro ouub corporwus 



Digitized by 



Google 



12 

ff^^^^dmdni = o, ffi^rl^dmdm' = o, etc. 
ff^i^idmdm = o, etc. etc. 
ffS^dMdm =0, etc. etc. 

Porro quum quantitates fF, W, etc. ab origine directioneqne coordinata- 
rum independentes sint, directiones has ad lubitum, et in diversis ipsarum 
W^ Wy etc. terminis diversas accipere nobis licet. Electis vero axibus 
coordinatarum axibus principalibns corporis unius e. g. corporis M paral- 
lelis, habemus etiam 

/SrdM = o , fSZ,dM = o , fTZ.dM = 
Quibus aequationibus omnibus adiuvantibus, expressiones praecedentes ipsa- 
rum Vy V et 17, postquam per elementa debita massarum muitipiicatae 
et integratae sunt, subministrant 

^i 1x9 ^n ii axibus principalibus corporis m parallelas esse supposui, porro 
jffrdMdm^^yix^iai^-i^^T^+z^zA^ 

jffudMdm'='4^'J^±^ 2-+ z,^} dM 

~3~yj^(*-K)^+^(HV)^+AH-«^)Zx*|<iAi+^^^ 

— 3 yrf\^Si+}fn\+^t!i^'Si + f n^x + «{TiH 

ubi S, P, Zj axibus principalibus corporis M parallelas supposui. Quae 
expressiones monstrant quantitates ffVdMdm^ ffvdmdm' et ffUdMdni 
esse quantitates secundi ordinis respectu dimensionum corporum M, m, in", 
etc, itaque quantitates perparvulas, quia corpora respectu distantiarum eo* 
rum reciprocarum parvula sunt. Systema igitur corporum JW, m, m', etc, 
sl a paucis discesseris, movetur ac si massae in corporum centris gravita- 
tis tantum continerentur. Integralia vero praecedentia, si ad corpora sy- 
stematis nostri Solaris adhibentur, alia quoque ratione perparvula sunt 



Digitized by 



Google 



19 

Notam est theorema, secundum quod punctam qaodcnnqae exterias a Sphaera 
ita attrahitar, ac si massa Sphaerae haios in centro eius gravitatis tantum 
contineretnr. Itaque quum corporum systematis nostri Solaris superficies a 
figura Sphaerae paulluium tantum differant: hac sola ratione iam integra* 
lia praecedentia perparvula esse debent. Ceterum quum post integrationea 

peractas terminus -^^JJ VdMdm per M-j-^j et termini — JJvdmdni 

atqne -jrJJUdMdm per ni multiplicati sese praestent, et quum vis at* 

tractiya corporis primarii M Ti attractiva corporum secundariorum seu per- 
turbantium ni, m', etc. semper multo maior sit, primus horum terminorum 
reliqub semper multo maior est 

a 

Expressiones ipsarum ffVdMdm ^ ffvdmdni et ffUdMdni art. 
praec. reductionem adhuc admittunt. Consideremus terminum 

ubi secundum praecedentia coordinatae omnes axibus principalibus corporis 
M resp. parallelae esse debent. Sint a, 6, c coordinatae puncti cuiusyis 
corporis ni ad centrum eius gravitatis relatae et axibus eius principalibus 
resp. parallelae. Hinc habemus 

l^, = aa-|-i}64-yc 
rl^ = aa + /J'6 + /c 
r/=a"« + p"6 + /'c 

ubi quantitatum a, ^, y, a, etc. significatio ex theoria transformationis 
coordinatarum nota est. Substitutis his expressionibus ipsarum l^j, ij',, ^, 
in expressione praecedente, invenitur, postquam termini per a&, oc et 6c 
multipiicati, qui in integralibus evanescent, deleti erunt, 

(j''r,+y''?'.+a'ro (*r.+yi?'.+<J = («*4-«'y4-«"*)t«^'+«'y+«"«')«" 

+ (y^+y^y+y"^) (y^^+yy' +/"»') c» 

£x theoria vero transformationis coordinatarum sequitur, {ax^dyJ^a^z) 
esse expressionem transformatae coordinatae x in aliam axi principali 
ad quem a spectat parallelam; ifi ^ ^ fl y ^^^) esse expressionem 
transformatae coordinatae y in aliam axi principaii ad quem h spe- 



Digitized by 



Google 



14 

otat paraUelam, et (^ ^ 4" /y -f- y''^) esse expressionem traiiBfoi^ 
matae ooordinatae z in aliam axi principali ad quem c spectat paralie^ 
lam; nec non quantitates (aar' -|- a y -j- aV), (^^' -|- ^^' + ^'*') ^^^ 
[^fxJfyy-i^Y^z) respectn ipsarom x\ j/ ^ vi eandem significationem ha* 
bere. Hinc concluditnr coordinatas omnes quae in expressione 

(*'r. + y V. + »T.) (^ r, + y 'i'. + 2 rx) 

continentur statim ad axes principales corporis ni referri posse, unde ex- 
pressio haec, quatenus in integrali nostro yim habet, abit in 

**'r.' + yj^.?'.* + "'rx' 

Quum expressio (^li -t-yi^i "{"^fi)* ^^* ^*^**^ specialis expressionis 
praecedentb, statim concludere licet ioco eius expressionem hanc 

substitui posse, ubi coordinatae omnes axibus principalibus corporis m pa- 
railelae sunt, et eodem modo demonstratur loco quantitatis 

Wx-x') r. + (y-y) i. + (a-*') r.? 

quantitatem 

ix-xy^,^ + in-yyri,^ + {z-^r t^ 

snbstitai posse, ubi coordinatae omnes axibus principalibus corporis ni 
parallelae esse debent. Hinc et quum quantitas ^^ + ij',* + 1^^ semper 
eundem valorem habeat, quaecunque est directio coordinatarum orthogonia- 
rum, sequitur 

jp} dmdm'= ^J^^HT-mi^+di-ifyvi^+i^^ni'^ dm - ^^ /||,«+,,«+f ,^ dm 
jffudMdm'='-lm'^^f^^^S'+^»T-+^'z\'ldM-lve'J^±^^ 

— 3 ^J^(*+^)S*+if(s+^) TH»^(.+a^)Z.«jdAI+^»^+l«+ Z.»JdM 

— i"jyei'+!n^n'x'+^i:i']M 



Digitized by 



Google 



ubi in tenniiiis per dM miiltiplicati« coordinatae omnes axibu» principali- 
bns corporis M^ in terminb per dm muitiplicatis coordinatae omnes axir 
bus principalibus corporis m, et in terminis per dm' multiplicatis coprdi- 
natae omnes axibus principalibus corporis m' parallelae esse debent 

9. 

Statuamus corporum Jlf, m et m' superficies quaslibet, eorum tamen 
dimensiones respectu distantiarum mutuarum parvulas esse, et consideremus 
integralis ffVdMdm primam partem hanc 

Denotemns corporis M momenta inertiae respectu axium principalium Zji 
2^, S[ resp, per A^ B, C, tum erit 

/S^dM=i(^4-B-C); fT^dM=\{CArA—B)i fZldM=i{B^C^A) 
ct, poshis B^A-^-S atque C=A+Ay expressio praeeedens abitinhanc 

quae respectu corporum figfurae non nisi e differentiis A et momentomm 
inertiae pendet; eodem modo reliqua art. praec. integralia non nisi e diflTeren* 
liis ^ et 9, ^ et atque X' et ff momentorum inertiae corporum 3f, m atque tnl 
pendere, confirmatur. Quum yero evolutae longitudinis latitudinisque eorporis 
m perturbationes , quas expressio (l^) ^^ ^^ similes ad reHqua art. praec. in- 
tegralia pertinentes expressiones proferent, non minus quam istae expressiones 
lunctiones harum differentiarum fnturae sint, manifestum est, hasdKfi^ntiis 
ad mininram observationibus astronomicis a posteriori determinari posse, etiamsl 
corporum figurae et iex eorum densitatb ita sint, ut momenta inertiae a priori 
computari non possint. 

Hinc sequitur, perturbationes e corporum figuris provenientes semper ao^ 
cnrate determinari posse, qualiscunque sit eorum lex densitatis et superficiemm 
figura, modo eorum dimensiones respectu eorum distantiarum mutuamm parvu- 
lae sint. Annotandum est pro omnibus superfici^bus revolutionis fieri A= 0^ 
etc. , quare in hoc casn perturbationes pro quoque corpore unam tantum ex eius 
figura et densitate pendentem constantem continent De^otantibus {c sinum an- 



^(15) 



Digitized by 



Google 



1€ 

^uli, quem radius yector r cam plano ipsarmn A|et T, et o angnlnm , quem 
plannm ipsamm S et Z^ cum plano axem ipsanmi Z, et corporis m centmm 
gravitatis transeunti facit, habemus 

^ = r|ri— iu^.cosq; y=:r^i — /uft.sino 

quibus yaloribus expressio (15) abit in 



^j(0f^)((i'-i) + ((9^^)(l-,.Ocos2oj 



3m 
1 



quae notae approximatae in ,,Mechanica coelesti*' ab ill. Laplace inyen- 
tae formulae similis est. 

Haec de indole integralium nostromm explicasse hoc loco sufficiat; evo- 
lutiones eorum ulteriores suscipiam, quando de perturbationibus Lunae a figura 
sphaeroidica Terrae ortis sermo erit 

10. 

Ad aequatlomim (14) integrationes subleTandas conducet methodus Taria- 
y tionis constantium arbitrariamm, quare talem methodum hanc, qualis adhas 
aequationes adhibenda est, expUcabo. 

Suppono Ti«i integram fV^ quae <;orpus m urget, in partes duas tali modo 
diatributam essa, ut recepta priore tantum harum partium aequationes (14} 
U^s primae lineae rigorose integrari ppssint, Tim integram W\ quae corpus m' 
m^et, in partes duas distributam esse, ut recepta priore tantum hamm partium 
a^quatione^ (14) tres secundae lineae rigorose integrari possint, et sic porro. 
Itttegrationes hae 2n constantes arbitrarias in Taloribus ipsarum x^ y, z^ x\ y\ Sy 
0t(v introducent, ^uoties numems corpomm m, m\ etc. est n, et adpartes 
Tiriuiii, fV^ W\ etc in hoc calculo neglectas supponendis constantibus his 
tUrbitrariis Tar|abilibus respicitur. 

Quum formulae ad corpora ni^ ni\ etc. spectantes illis ad corpus m perti^ 
aentibus plaue similes cTadere debeant , in sequentibus aequationes motus cor- 
poris mhas 

solaminoclo considerabo. Dfstribnta quantitate.^ in partes tluas TetJR, ita 
uthabeatur fF=:T-|-B, unde 

<'^ I^=(^)+(S. #=(f)+(^). 5-=(©+(S 



Digitized by 



Google 



17 

snppotio integralia rigorosa aequationum 

<Px _ /dT\ d^y _ / dT\ dH _ / dT\ 
dt^ — \dsJ ' dt^ ~\dyJ' dt^ ~\dsj 

esse haec 

x = X , y=r , z = Z 

ubi igitur X, F, Z functiones notae constantium arbitrariarum sex 

«) *> c, e,/, g 

his integrationibus introductarum et temporis t sunt. In casu, quem pro- 
prie tractamus, X, F, Z functiones finitae harum quantitatum sunt, con- 
clusiones vero sequentes nullo modo laeduntur, si X, F, Z series infinitae 
sint. Quae aequationes (19) bis dificrentiatae , dum tempus, quatenus ex- 
plicite in iis continetur, variabile tantum habetur, aequationibus (18) sa- 
tbfacere debent, iisdem yero bis differentiatis, dum constantes illae arbitra- 
riae variabiles et quidem functiones temporis spectantur, aequationes nan- 
ciscimur, quibus aequationes (16) aequari licet Quum yero hoc modo ad 
constantes sex variabiles factas determinandas non nisi aequationes tres 
nacti simus, tres alias conditiones ad lubitum assumere licet. Ut forrou- 
lae, quibus constantes hae yariabiles factae determinandae sunt, aequatio- 
nes differentiales primi ordinis fiant, geometrae aequationes conditionales 
semper adliibuerunt has 

» = (1-) *- + (!■) <» + «•«• +c^) * 

• = (-i) *- + (4) * + «^- +(^) "^ 

quibus praeterea ef&citur, nt differentialia prima aeqnationum (19) eiusdem 
formae sint, siye constantes arUtrariae yariabiles siye constantes spectantur. 
Aequationibus igitur (19) semel differentiatis, emergunt 

ds _ /dX\ dy _ /dY\ ^ dz^ _ /dZ\ 
dt ~ \dtj' dt — \dtJ' dt ~\dtJ 

quae iterum differentiatae suppeditant "^ 



..(18) 
(19) 



(20) 



Digitized by 



Google 



18 

dt^ —y.dt*j^K.daJdt ^y.db J dt^ ^^^'^^dgJ dt 

'dF—K'di^J + KrdaJ^dt^^y^dbJ 5F+ ^^'^Kl^Jdi 
ubi signorum or^, ^^, js^ introdactoruin haec est significatio 

ds rdX^ dy rdY-^ d% fdZ-^ 

^'= *=C-drJ' y- = i = C-drJ' ^' = dF=l"drJ 

Qumn per hypothesin habeatur 

dt^ J^\.dsJ' V. cfc^ J — VrfyJ' Vift» J — Vda^ 

aequationes praecedentes, substitutis valoribus ipsarum -y^ j ^ 9 d^®^(^^ 
desumendis, abeunt in has 

<^*>-- (p = C^) § + Cl) ^+ - + C^) I 

( cs)=c^)S+c^)f+-+c^)^ 

qw^ cwn aequationibaa (20) iunctae problema solvunt. 

IL 

Ut aequationes simpliciores nanciscamur, habeatur R pro fnnctione 
ipsarum a, 6, c, etc Itaque quum quantitas fV in praecedentibus expli- 
cata quantitates x,^ y,^ z, non contineat, habemus 

CD=CD(D+C^C£)+CS)(£) 

XdbJ—y^J KdbJ + KdyJ y-dbJ + vcfaJ Ld«J 

etc. etc. 

lam si aequationes (22) adduntur, postquam resp. per (^^ , (^^ , (^^J 
multiplicatae erunt, obtinetur ope primae aequationum praecedentium 



Digitized by 



Google 



19 



petendi sunt, unde habetnr , ^ 

(6,a) = — (0,6); (c, a) = — (o, c) ; elc. 
Qnibns aeqnationibiis congestis, habemns 



Digitized by 



Google 



(24) 



dt= (fl, 6) d& + (a, c) dc -f (o, e) dc + (o,/) d/4- (a, g-J dg 
(3?)d* = ~(«,6)da + (6,c)dc + (6, c)dc+(ft,/)d/+(6,g-)dff 

(©*« = - («'^)*'«-(*'*)^*-(*^*)* + C«'/)''/+(«.fi')*'ff 

C^ '^' = - («'/) ^*" - (*'/) ^ - (*'/) ''*'- (^'/) *^ + (/,ff) rfff 

(5p''* = -C«,^)''«-(*'^)*^-(*^'S')''''-(^'^)''«-(/'^)''-^ 
ubi coefficientes ipsarum da, dh^ etc. omnes mutatis mutandis ex aequatio- 
mbus (23) petendi sunt Quibus coefficientibus in casu quoque speciali 
computatis, differentialia singula da^ db^ etc. facili eliminatione per qno- 
tientes differentiales ipsius R exprimuntur, ita ut denique habeatur 

da= [a,6](-£)d«+[«,c](^^f)dl + ... + [«,g](^)d« 
(25)......) ^6 = - [«, 6] (^ dt^ [6,c] (^^ dt + ... + [6, g] (^dt 



etc. etc. 



dg=-M(it)di-[6,g](S)dt-...-{f,g](^dt 

designantibas [a, b] , [a, c] , etc. coefiScientes hac eUminatione ortos. 



12. 



CoefiScientes (o, 6), (a, c), etc. nec non [«, 6] , [a, c], etc. pro- 
prietate hac insigni gaudent, quod tempus explicite non continent, quod 
theorema sequenti modo dcmonstrari potest. Differentiata prima aequa- 

tione (23) respectu temporis, habetur, quia x, =z —, etc. 

dt — y-daJK^bdtJ^^y-daJy^bdtJ^^y^aJy-dbdtJ ' 

G d^x, ^ rds^ _ r^yr\ fdpL _ r d^z,- >. y-d»^ 
ladtJ \~dbJ Kda dtJ \^bJ V.rfa dtJ ^.dbJ 
Aeqaationes -rero (16) sunt 

dj> _ rdfF-\ ^ __ rdW^ d», _ rdH"\ 
dt ~^ dxJ ' dt -~\^ds J * dt ~ ^d» J 



Digitized by 



Google 



21 

ubi notandimi est qaantitatem fV ipsas or^, y,^ z, non continere. Hinc 
differentiando inyenimitar 

dadt~^dx^J y.daJ ^ Vdxdy J y.daJ. > K.dxdzJ VdaJ 
d6dt V.dr2 J y.dbJ I Ldxdj^J VuiftJ < VdxdaJ LdftJ 

etc. etc 

Qnodsi aequationes hae in valore praecedenti ipsius °' substituuntm, ter- 
mini omnes eyanescunt, itaque fit 

~^ 
et eodem modo demonstratur esse 

7 = o , \ = o , etc. etc. 

unde sequitur quantitates (o, 6), etc. tempus explicite non continere. 
Quum yero quantitates hae tempus non contineant, ipsae [a, &], etc. etiam 
tempus continere non possunt 



13. 

Quae sunt momenta praecipua methodi yariationis constantinm arbi- 
trariarum, qualis ab ill. Lagrange expolita est. Quum problema nostrum, 
sicut problemata complura Mechanicae, in eo consistat, ut aut coordinatae 
x^ y^ z, o/^ y\ z\ etc. aut coordinatae corporum alio quodam modo in 
spatio sitae in fnnctione temporis exhibeantur: primum integratione aequa- 
tionum (18) coordinatae in functione temporis et quantitatum a, &, c, etc. 
eruuntur, et deinde integratione aequationum (25) quantitates a, 6, c, etc. 
in functione temporis exhibentur, unde denique, ipsis a, &, c, etc. elimi- 
natis, coordinatae in functione temporis explicita eliciuntur. Quae igitur 
methodus, praeterea quod in applicatione ad systema nostrum Solare in- 
commodi quid, olim a me explicati, habet, per ambages ad solutionem 
problematis perducit. Nam coordinatae in fnnctione explicita temporis exhi- 
bendae, revera in functione temporis et quantitatum a, 6, etc, quae fun^ 
ctiones implicitae temporis sunt, exhibentur. En vero huius methodi emen* 



Digitized by 



Google 



dationem, qna dlficitiir, ut coordinatae statim in fimctioiie eqilicata tem- 
poris determinentur, et qua simul incommoda ilia amoyentttr. 

In praecedentibus supposnimus a, 6, c, e, /, g^ egse constantes arbi- 
trarias integratione aequationum (18) in expressionibus ipsarum x^ y^ z in- 
troductas. Sed perfacile intelligitur conclusiones praecedentes onmes, et 
inter has nominatim aequationes (24), locum quoque habere, si a, 6, c, 
€^f^g functiones quaecunque essent constantium arbitrariarum, quas in* 
tegratio illa reyera introduxerat. Sit A functio quaedam constantium a, A, 
etc, tum aequatione inter A atque a, 6, o, etc. rei^pectn constantis unius 
e. g. respectu a resoluta, habetur 

a = funct {A, 6, c, e, f, g) 

qua aequatione constans a e functionibus X, Y^ Z aequationum (19) 
eliminare licet, ita ut x, y, z functiones eyadant constantium A^ 6, o, 
^9/9 S' Quibus factis, methodus modo explicata aequationes suppeditat 
ipsis (23) et (24) plane similes, quibus rero ubique A loco a inest. Quae 
conclusiones quum locum habeant, quomodocunque sunt constantes reliquae, 
quibus in functione 

A = funct. (a, 6, c, e, /, g) 

quantitates o, 6, c, etc. inter se coniunguntur; supponere nobis licet, huic 
functioni quantitatem quandam arbitrariam t inesse, dummodo in formulis, 
in quibtts a, 6, c, etc. rariabiles tractandae sunt, ipsa r constans pona* 
' tur. Quantitas indeterminata haec t, quia indeterminata est, post integra- 
liones aequationum (25) peractas ad lubitum determinari potest; ponendo 
▼ero post integrationes has peractas x = t^ novam methodi variationis 
constantium arbitrariarum applicationem assequemur, latioremque ei cam- 
pum aperiemus. Quem in finem ante omnia hoc est demonstrandum, quod 
in nostra perturbationum theoria fundamentale dici potest 

Theorema. 

Quoties loco aliquot constantium arlntraricaruTn a, 6, e, e^e. eliguniur 
totidem constantes arbitrariae A^ F, etc^ quae ex conatantibus ilUa et 
etjc quantitate indeterminata x tali modo compositae ttmf, quali quanti^ 
tates quaelibet L^ Gy etc. ex iisdem conatantibus a, 6, c, efe. et ex 



Digitized by 



Google 



(26) 



tempare t amstmt: valores veri quantitatum L^ 6, etc aequalionihus 
(17) reepondentea^ quoe vaiores petiurbatos appellabo^ obtinentur^ si in 
aequationibus (25) ad ipsas A^ T, etc appUcatis post integrationes 
peradas % in t mulata erit. 

Demonstratio. 

Sint datae quantitates duae quaelibet L atque G, functiones temporis 
t et constantium arbitrariarum a, 6, o, etc, ita ut habeatur 

L= ^it, a, 6, c, e, /, g) 
G =z n {tj a, 6, c, c, /, g) 
denotantibus W atque JT functiones quasdam. Assumantur 

A= V (t, a, b, c, 6,/, g) ) (27) 

r = JI (tr, a, 6, c, e,/, g) 3 

Ex his expressionibus valores duarum constantium arbitrariarum, e. g. a el 

b elici possui^t, quibus in functionibus X, F, Z aequationum (19) a et 
6 eliminare licet. Quo facto habetur 

denotante % functionem quandam, et similes expressiones nanciscimur pro 
y ei z^ unde jr^, y^, js^ quoque functiones earundem quantitatum redditae 
sunt. Itaque ponendo A loco a et F loco 6, pervemtur ope yalorum 
praecedentium ipsarum j?, y, etc. ad aequationes (25) pro dA^ dF^ cfc, 
etc. quae in hoc casu indeterminatam t quoque continent. Qnae aequatio- 
nes integratae valores perturbatos ipsarum A^ F^ c^ e^ f^ g suppeditant 
Quibtts absolutis, vaiores ipsarum a et 6 ex (27) eliciti et in (26) sub- 
stituti suppeditant 

Ir = cp (f, tr, A, r, c, 6,/, g) 
G =F{t, tr, A, r, c, e,/, g) 

ubi 9 et F functiones quasdam designant. Quantitates L et G hoc modo 
exhibitae, si yalores perturbati ipsarum A^ JT, c, etc. substituti erunt, 
functiones explicitae temporis redduntur, quae praeterea quantitatem inde- 
terminatam t duplici modo continent Nam t functiombus (p ei F ante 



.(28) 



Digitized by 



Google 



valores perturbatos ipsarum A^ Fy c^ etc. sabsdtatos inert, et substitatioiie 
hornm valorum denno reproducitur. lidem yaiores perturbati ipsarum L 
et G obtinentur, substituendo ralores perturbatos ipsarum a, 6, c^ etc. in 
aequationibns (26), quae in hoc casu ipsam t non continent. Quum yero 
yalores hi ipsarum L ei G cum illis congruere debeant, concluditur in 
aequationibus (28) post substitutiones ipsarum A^ P, c, etc. peractas 
quantitatem t sua sponte evanescere debere. 

Inquiramus in indoiem harum functionum. Quem in finem yalores 
perturbati ipsarum L ei G ex (28) eliciti et respectu temporis difierentiati 
suppeditant 

dL _d(p. fd^^ dd , rd<p>i dr , rdq>>^ dc , 

Tt —'di^ y.dAJ di ^ KJrJ Tt ^ \TJ di ^ ^*^' 

dQ _ dFy rdF^ dA , rdr\ dr , rdF^ dc , 

'di — 'di^ \JaJ Tt ^ yrrJ Tt ^ yJTcJ dt ^ ^*^' 

sed ex (27) emergunt 

dA rdip-\ da , rdrp'^ db • rdrlf'^ dc • . 

W — IdS-J di + VdbJ di + IdTJ di + ^*^' 

dr rdjr\ da , rdji^ db , rdrr^ dc , 

dt V.da-/ dt ~ KdbJ dt ^ KdcJ dt ~ 

unde 

dL dtp , rrrfy'^ C^^P^^JL r^^ r^^l da.rrdq>^ fdip-^ , rdq>>i rdn\l ^ 
di~'di '^L\JaJ KdHJ^ vSrJ Vda JJ di^^LXnJ KmJ "» LdrJ VddJJ ci« 

+[Cg)(^)+(g)(i^ + ($)]«+ «•«• 

do dF trcdF\ rd^-^ I rdF^ rdiT\~\ *« 1 rr^ r^"\ I r^ ftlTVl — 

*r— * "T Lv.d^V<io J"rVjirJ Ldo JJ dt^^Ly.dAJ KMJ^^KdrJ y.dbJj dt 

+[GD(S)+C-D(£) + O] S+ «^- 

Aequationes vero (26) suppeditant 

dL dip , rdip-\ da . rdtj}^ db , rdrp'^ dc . . 

li — H^ yjduiJ H + \ThJ di "T" VTcJ Tt "^ ®^- 

de ~ dt ~ V.daJ dt ~ Vd6^ dt ~ y^dcJ dt ~ 

quae cum iliis resp. identicae esse debent Itaque 



Digitized by 



Google 



2& 

. dtp diff ^ dF ^ dU 

OCS>(^XS=(£> GD(£>&)CS)=CS) 

KdAJKdbJ'^KdrJK.dbJ''K.dbJ' y.dAJ^^dbJ'^y.drJ\.dbJ''VdbJ 

(S)CS>G^)CS)+C?>CS)<GDC^+G-DCs>CS=Cf) 

etc. etc, 

qnamm ultimae sex suppeditant 

(S)=- C^)=- CS)=- -CrD=- CS)=- CS)=-' - 

itaque €p= A^ cui prima aequatio praecedens subiungit conditionem, ut 
tempus, quatenus ex constantibus arbitrariis yariabiles factis non provenit, in 
functionibus €p ei i^ sive in 9 et ^eodemmodo contineatur; porro 
JP z= r*, cui secunda aequatio praecedens subiungit conditionem, nt tempus, 
quatenus ex constantibus arbitrariis variabiles factis non proyenit, in functio- 
nibus JP et H siye in F et F eodem mo,do contineatur, quibus conditio- 
nibus satisfit, si post integrationes in functionibus ^ et F t \n t mutatur. 
Functionibus igitur 9 et JP opus non est, statim enim obtinentur yaiores 
perturbati ipsarum L atque 6, si in aequationibus (25) 9 quae yalores per- 
turbatos ipsarum A atque F suppeditant, post integrationes peractas t mt 
mutatur; quod est theorema nostrum, quoties duae functiones quaedam yel- 
uti G et L dantur, et eodem modo theorema demonstratur, quoties plures 
fnnctiones huius generis adsunt^). 

14. 

Theorema art. praec. quamyis generaliter yaieat, quomodocunque 
fanctiones L^ 6, etc. compositae sunt, sensu tamen stricto ad eamm com* 
positionem modo referendum est, quod yero ad earum significatio- 
nem pertinet, respectu aequationum (18) et respectu aequationum (16) 
discrimen essentiale interesse potest. Quae huius theorematis conditio se- 
quentibtts iUustratur. 



*) Aliam hains theorematis domoDstrationem theoremate Tayloriano fandatam inTeniet iii 
nAftron. Nachr." No. 2S9. 

4 



Digitized by 



Google 



Integralia aequationuin (16) yel (17) ia praecedentibus ita determi* 
nayimus, ut eandem formam habeant, sire R est cifrae aequalis sire non. 
Itaque coordinatae ar, y, z ei proinde functio quaelibet ipsarum x^ y^ z 
proprietate hac gaudent, quod eandem formam habent, siVe ad aequatio- 
nes (17) sive ad (18) referuntur. Item, aequationes (20) probant, quo- 
tientes differentiales primi ordinis ipsarum x^ y^ z respectu temporis in 
utroque casu eiusdem formae quoque esse. Aequationes rero (21) demon- 

strant, quotientes differentiales secundi ordinis -^ , -^ , -^^ nec non quo- 

tientes differentiales ordinum altiorum omnes in utroque casu formam eandem 
non habere. Ergo quoties Xr, 6, etc. sunt aut ipsae functiones ipsa* 
rum ^j y^ Zy x^^ y,^ z,^ aut ad functiones harum quantitatum reducuntur, 
non modo earum compositio, sed etiam earum significatio respectu aequa- 
tionum (18) et respectu aequationum (16) eadem est; igitur integralia 
fdA^ fdr^ etc, post t in t mutatam, non modo respectu eorum compo- 
sitionis sed etiam respectu eorum significationis valores perturbatos ipsarum 
Ly Gj etc. praebebunt. Quoties vero functiones L, G, etc. aut praeter 

illas quantitates insuper -^, etc. -^ etc. etc. continent, aut functiones 

modo horum quotientum sunt, integralia illa modo quantum ad earum 
compositionem valores pertnrbatos ipsarum L, 6, etc, hoc est valo- 
res pertnrbatos functionum in quas Xr, 6, etc. transibunt, si valo- 

res ipsarum ^^, — - etc. etc. per constantes arbitrarias a, 6, c, etc. et 

per tempus expressi substituti fuerint, subministrabunt, quod attinet ad ea- 
rum significatibnem, haec respectu aequationum (17) ab earum significa- 
tione respectn aequationum (18) necessario differt. 

Si L denotat functionem ipsarum j?, y^ z^ absque or^, y,^ z,^ diffe- 
reniialibusque ordinum aitiorum, aequationes (20) statim suppeditant 

•= CS) " + O "» + «««■ + &J) * 

Si igitur et valor perturbatus ipsius L et vaior perturbatus ipsius A diffe- 
rentiatur, habetur statim 

designante linea superposita post differentiationem r in t mutandam esse* 



Digitized by 



Google 



21 



15. 

En eorum quae in praecedentibus exposni applicationem. Electis 
constantibus arbitrariis tribus A^ P, etc. quae ex constantibus arbitrariis 
a, 6 9 c, etc. et ex quantitate indeterminata t eodem modo compositae 
sunt, quo coordinatae tres qiiaelibet, per quas situs corporis m in spatio 
determinatur; electisque constantibus arbitrariis analogis pro corporibus m', 
rn\ etc; si yalores perturbati harum constantium methodo in praecedenti- 
bus explicata computati fuerint, nanciscemur statim valores perturbatos co- 
ordinatarum mutando tr in f in yaloribus perturbatis constantium arM^aria- 
rum A^ ^, etc. Problema igitur hoc: datis viribus quae systema corpo> 
rum urgent, inrenire coordinatas horum corporum in functione temporis, 
ex praecedentibus solyimus. 

16. 

Praecepta praecedentia ad motum corporum coeiestium investigandum 
applicaturi ponimus esse 

T = X ^"^ 

r ■ 

tum, ponendo Rz=7c{M -{- m) Sij eiicitur ex artt. 6. atque 10. 

M-k-m AT M^m r* ' MmJJ 

4 -i . 2 ffvdm . dm'— -jr—^ 2' fflJdM.dm' 

« m^M-^m) JJ M(M-4->ii) JJ 

ita ut T repraesentet vim primariam et Si rires secundarias seu perturba- 
trices quae corpus m urgent. Nota sunt integralia aequationum (18) haec 

j? = r cos (t; — fi) cos 5 — r sin {v — 6) sin 6 cos i 
y — r cos {v — tf) sin fl -|- r sin (v — tf) cos tf cos % 
z = r %m {v — tf) sin % 
ubi r radium vectorem, v iongitudinem yeram in orbita, i inciinationem 
orbitae piani ad planum fixum ipsarum xy^ quod in spatio ad lubitum si- 
tum esse potest, et iongitudinem nodi ascendentis orbitae piani cum 
piano ipsarum xy denotat. Quum expressiones piane anaiogas pro cor- 
poribus ni^ n%\ etc. nanciscamur, ad has non expiicite respiciam. ^ 

4 * 



Digitized by 



Google 



28 



(29)..... 



(30). 



Coordinataniin fonna generalis. est haec 

y = «I + ft^ 4- n? 
^ = %^ + M + Y.^ 

denotantibus |, i^ a*q«e f coordinatas arbitrarias. Valores simplicbsimos 
ipsis ^9 129 S* attribnimus ponendo 

g = r cos/ , 1? = r sin/ , ? = o 
ubi/ est anomalia rera. Si ralores hi ipsarum x, y, « cum illis compa- 
rati emnt et si ad aequationes conditionales has respexeris 



+ ^' + / = 1 , 
+ ^; + y; = 1 , 



aa 



aa 



+ PP, + n, = 

+ PPu + )7. = ^ 



inTeniuntur 



< + ft^ + r: = 1 , «,«,> + ftft. + u« = « 

a ==: cos CD cos — sin o sin cos t 

P = — sin G) cos 6 — cos o sin cos i 

y = sin sin i 

« = cos 0) sin -|- sin CD cos cos i 

P z=z — sin o sin + cos o) cos cos i 

y = — cos sin i 

a = sin o sin i 

^ z=: cos o sin i 

y = cos i 

ubi o est arcus inter locum perihelii et nodum interceptus. Radius ve- 
ctor et anomalia vera ex elementis a semiaxi madore, n motu medio in 
unitate temporis absoluto, ae excentricitate et c anomalia media certae de- 
terminataeque epochae respondente aequationibus pendent his 
r cos f = a cos u — ae 
r sin / = a j^i — e* . sin u 

u — c sin tt = w* 4" ^ 
a V = X (M 4- m) 

ubi angulus auxiliaris u est anomalia excentrica. 
dUtionales supra allatae reciproce suppeditant 



Denique aequationes con- 



Digitized by 



Google 



«' + < + < = 1 ' , «P + «ft + «A =^ 

P* + ft' + ft^ = 1 , «y + «n + «X = ^ 1- -•(31) 

r" + y; + n:'= 1 , Py + fty, + ftx. = ^ 

ir 

In integTalibus aeqaationum (18), quae in art. praecedente aiiata sunt, 
elementa sex a, e, c, o, i, 0, constantes arbitrariae integratiione intro- 
dactae smit. Loco horum elementomm a, e, c introducam constantes ar-> 
bitrarias sive elementa 9, q^ 9^, quae ex elementis Oy e^ c et ex quanti- 
tate indeterminata r tali modo composita sint, quali /, r et ^^ ex usdem 
elementis et ex tempore t constant. Erunt nobb igitor 



(f ces 9 = a cos f' — ae 
Q mi ip = a KTir? . sin v 
V — csini^^nr + c 

ubi V est angulus auxiliaris ipsi u respondens. Loco elementorum 0, t, 9 
introducam alia tria ^, ^, <f, quae infra expKcabuntur. 

Eiementa igitur a, c, e, cd, i, functiones sunt elementorum 9), q, 
7,9 X? '^) ^9 et reciproce elementa haec functiones sunt iilorum. Coor- 
dinatae or, y, js, quae supra functiones elementorum illorum exhibitae sunt, 
non minus quam iQ, quae in art. praec. functio coordinatarum exhibita est, 
functiones elemeniorum horum spectari possunt. Quum in expresstonibns 
(29) quantitates a, j3, etc tempus non coiitin^aQt, hab^us 

*, = « C -f P% 
y, = «J, + P,% 
*, = ««C + P„n, 



ubi 






Praeterea quum 9>, 9>, et q functiones sint elementorum a, c, e, qnae in 
o(, ^ etc. non eontinentur, emergunt 

C^)=" C|)+-' C^) ^C-^^^-CfD+O 



(31*) 



Digitized by 



Google 



et similes expressiones nanciscimur pro quotientibus differentialibus ipsarum 
o?, JTp y^ y^^ z^ z^ et respectu ipsarum €p^ ei q, et respectu ipsius fp. 
Substitutis his expressionibus in prima aequatione (23) 9 postquam in ea 9 
loco a et (f^ loco 6 scripta est, inyenitur propter aequationes conditioha- 
les (31) 

('^' (^. ^.)= a)CtD + (MK.^-) - G*)C^D - dpC0,) 

e qua aequatione mutatis mutandis valores quantitatum (9), q) et (^^ q) 
obtinemus. 

Porro quum %, ^0, 6 functiones sint elementorum 0, i, 0, quae in 
I et 1} non continentur, elicitur 

Ci)=Ci)«+a)^ = C-t)=di)c+G*)^ 

quibus plane similes sunt expressiones pro quotientibus differentiaiibus ipsa- 
rum ^, ^p y, y,, 5J, js^ et respectu ipsarum -^ et ^, et respectu ipsius %. 
Substitutb his expressionibus nec non expressionibus praecedentibus pro 
quotientibus differentialibus respectu €p in prima aequatione (23), postquam 
(p loco a et % ioco b scripta est, obtinemus, quia aequationes conditiona- 
les (31) praebent 

adp + adp^^adp^= - ^da - §^da— ^^^da^^ 
expressionem hanc 

(33)..... fe»)=^-fcO+ftC^0+ft.Cf-') r''V' 

e qua mutatis mutandis expressiones ipsarum (9, .'^) 9 (9^9^)9 (9^,9 X)^ 
(<P,9 ^) 9 (SP,9 ,^) 9 (^9 tD 9 (p9 ^) et (e, 0) emergunt. 

Denique quotientibus differentialibus coordinatarum respectu % et ^ in 
prima aequatione (23), postquam % loco a et ^0 loco h scripta est, sub- 
stitutis, emergit 



\i>i>) = ih-h) 



C^~\ c^~\ -L c^~\ c^~\ X r^"^ r^'"^i 

V.d^J Vix-^ y^^J ^diJ \.di>Jy.dxJ' 



Digitized by 



Google 



81 

Adiamento aequationum conditionalium art. praec. facile reperitnr identica» 
esse aequatioues has 

da = p i^da + ^da + ^^da^) + y {yda -f y rfo + y„da ,) 
d^ = - « (^da + ^ da + ft,d«„) + y (yd^ + y d^, + y„d|}„) 
da, = ft (^da + ftd« + ft,da„) + y, (yda -f y da + y„da„) 
d^, = — « (^da 4- p,da, 4- ^„da„) -|- y, (yd^ + y,d^, + y„i/^„) 

**«« = ft, (^<'« + ft*'«. + ft,**»,,) + r,. (yda + y d«, + r.d«) 
^P,, = - «„ tf «^» + ftd« 4- MO + r., W + y,''^, + r.,^^.) 

Substitutb his Taloribus ipsarum da^ cf^, c7a , etc. in aequatione praece- 
denti, eiicitur 

^'*'"'^'"*'''l-KfD+'.C^)+'»C^)!l'©+r.(|)+r.(t)! 

e qua mutatis mutandis expressiones ipsarum (%, (T) atque ('^, 0) nan- 
ciscimur. 



(34) 



18. 

Ad quotientes diiferentiales, quos formulae art. praec. requirunt, obti- 
nendos, habetur primum | = r cos y*, i^ = r sin /. Quum vero secundum 
art. 12. in eTolutb quantitatibus (9, 9^), (^, q) etc. tempus eranescere 
debeat, ad libitum loco t yalorem quemlibet substituere nobis iicet, quare, 
ut earum computatio tantum, quantum fieri potest, contrahatur, ponam v 
loco f. Hinc emergunt 

I = p cos 9 ; 1} = ( sin 9 

quae ipsae per se functiones ipsarum q ei fp absque elementis o, c, e, etc. 
sese praestant. Habemus igitur statim 

C^)=-9«n«p;(^) = o; (^ = «039 

Porro scripta % loco t^ ipsae |^ et i}^ abeunt in quotientes diflferentiales 
ipsarum | et ij respectu t, unde, differentiatione secundum regulas nota» 
instituta, elicitur 



Digitized by 



Google 



A __ an gin y 

ane , oncosg) 

Aequatio rero g?^ = — iri— e» praebet 

1 a^n 



P>f 



ande 



g^ii^ 8in y x (3f -4- m) sin <p 



Q^(p, Q^tp, 



Quantitas igitur |^ functio reddita est ipsarum 9, Q ei (p^ absque eiemen- 
tis a, c, 6, etc. quare statim ex aequatione praecedente inrenitur 

Quum in valore ipsius tj^ supra allato elementa a atque 6 haud aeque 
facile eliminari possint, ad eius diJBferentialia partialia respectu (pj €p^ et q 
obtinenda viam aliam ingrediemur. Si ex yaloribus ipsarum |, rj^ |^, rj^ 
modo datis computatur quantitas ^fj^ — ^^ij, qua praeterea opus est, facile 
inyenitur 

h, — In = «""« fl^ = q\ 
quae quantitas igitur fnnctionem ipsarum q et (p^ absque eiementis a^ c, e^ 
etc. sese praestat. Ideo diflferentiata praebet 

nnde 

d<pJ ~ I \~d(pJ "r g Kdq,J f I l.d9,-/ 

substitutis yaloribus ipsarum (iM 9 etc. ex praecedentibus desumendis, ha* 
betur denique 



Digitized by 



Google 



•(. {fu:'*'f; 



lam omnia praesto sant quae ad computationem ipsarum (^, 9)^), (<P9 !eX 
atque (9)^, q) requiruntur, et substitutis quotientibus diflferentialibus in hoc 
arti(6iilo inyentis in aequatione (32) et in eius simiiibus, emerg^t 

^ ^ ^^ 9^ sln y (2 -h e cos y) 

Ad reliqiiu quanlitates (9, ](),! etc. eyoWeHte neef)iJto<M, etementn ad- 
huc indeterminata x^ il} et 6 determinentar. Quem^in finen^ et ut quanti- 
tates (99 x) 9 ^^* simplieissimae eyadant, pono 

■'■ ^CD + nC$D + '..Ct) = i. 

'aO + f.Cf) + r.Ct) = » 

qnibits aeqaatioiiibiu propter aeqoatiott^ conditioiiales (31) satis&dnnt va- 

Cf^^o^Cl^ft^CjD^".' 
CC> = ' ' C^) = '■ ' C$> = i'» 

(f)=r=(i>=&.,ct>=^. ■;;;» 

ipsarum (V^? ^tc. Adiumento h^fttiii #^iqtii^£D|^^ 
iionalium memoratamm inyenitor st^tini noii modo ; 

^C^^ + ftCt^ + ftCf)^» . ,i 

sed etiam omnes quantitates reliquae huius generis cifrae aequalM Jnye- 
muntur. 

Expressio ipsius ^rj^ — 1,)} supra inyenta diflferentiata suppeditat 



...I '" i. ' 



..(35) 



Digitized by 



Google 



84 

• 

Qaae omnia sunt qua^ ad computationem ipsarum (9?, %), etc. requirantar, 
et facili opera invenitur per aequationes (33) et (34) et per earum si- 
miles 

(g), x) = o; (gj,^) = o; (<p,(y) = o; (<p^, %) = — Q^ (9)^,^) = o; 

i<p,,6) = o; ((?, x)=-2^^^^^; ((?, ^) = o; (q, <J) = o; 

(X, ^) = o; OC, <y) = o; (^, (T) = a^n jrm^i . 

Denique expressiones ipsarum d%, d^ et d6 in do, di et d6 obtinentur, 
si expresdones (30) differentiatae et in (35) substitutae enmt, taks 

dx = do -|- c^s i dfl 
(36)..'...-| dij) = sin Gi di — cos o sin i dd 

d(j = cos Q cfi -|- sin cd sin i d6 

nnde eyidens est, %, if^ atque cT esse rotationes plani otbitae circum axes 
ipsarum j?, y, 2. 

Ope valorum ipsarum (9^, 9)9 etc. in art. praec. inTentorum aequa- 
tiones (24), postquam g>, 9,, Q^ %, '^, 6 resp. k)C0 a, 6, c, e,./, y 
scriptae sunt, suppeditant, si insuper loco H ponitur eius yalor z (M-j-m) £i 
sive a^n^Si^ 

Vdqp^ * ^ aco89(l-e^) » » * 

v.<ij^ ( ^ Vria» 008 9) aco89>(l-c*) 9 

Hinc eliminatione perfacili nanciscimur 



Digitized by 



Google 



85 



denot^nte X difEerentiale ipsius 2 respectu r per c{r divUum 

Iq = logarithmo hyperbolico ipsius q 
p =z sin i sin (x -^ gj) 
9 == sin i cos (% — «) 

Quae aequationes diJBferentiatae subministrant 

dX z= d(p -{^ d% , d^^ z= dX^ , ^'(f = — 
dp z=z cos i sin (x — o) di -}- sin i cog (% — co) (djf — dai) 
dq = cos i cos (x — » oO «'t — sin i sin (x — cd) (d^ — ^®) 

5 * 



Digitized by 



Google 



siTe adiumento aequationain (36) 

dp = — cos f cos xdil> -|- cos i sin x^^ 
dq = cos i sin xdij} -|- cos i cos x^^ 

lam habita £i et pro fimctione ipsarum 9, 9,, %, '^, ^, et pro functtone 

ipsarum ^j \^ X^ P^ ^j algorithmus notus differentialium partialium sup- 

peditat 

CdSl-\ . ^dSl-\ , . . /-dSl-^ 

-J=- C08. cosz C7^J+ cos.smz (j^) 

C^= **»« * *»" « Cf ) + *^' * ^'"^JC C^ 
quarum sinistrae partes pro functionibus ipsarum (pj %', etc, dextrae vero 
partes pro functionibus ipsarum A, A , etc. habendae sunt. Quibus aequA- 
tionibus aequationes (37) facile transmutantur in has 

(38)..~( *.= •••'".';^ (g) " 

ubi aequationem pro dx omisi, quia hac opus non est. Quinque enim 
aequationes praecedentes ad locum corporis coelestis in spatio per metho- 
dum nostram determinandum sufficiunt^ quamquam locus corporis coelestis 
alicuius non minus quam aequationes praecedentes ipsae ex elementb sez 
pendet, quod paradoxon expendendum lectori perito relinquo. 

Denotantibus v longitudinem yeram in orbita, 8 sinum latitudinis su- 
pra pianum fixum ipsarum xy et { longitudinem Teram ad idem planum 
reductam, habemus per trigonometriam sphaericam 

9 = sin i sin (v — 6) 
tg ('— ^) = *g i^—6) <^«s » 



Digitized by 



Google 



8T 

Sed posito v^ = fdXj qnoties in dextro haias aeqaationis membro post in- 
tegrationem tr in f mutata erit, habetur 

qnnm Tero eit v z= f -^- <o -{• , emergit 

nnde aeqnationes praecedentes transeunt in has 

» = sin # sin (i>, — z + o) ^ 

tg (1-6) = tg iv,-x + «) C08 i \ • ^^''^ 

In his aeqaationes i, 0, o et % ope qaantitatom jp et 9 eliminari possunt, 
id qaod infra explicabitur. Quantitatibus igitur v^, p atque q latitudo cor- 
poris supra planum ipsarum xy in spatio ad lubitum collocatum, et lon- 
gitudo ad idem planum reducta determinantur. 






Digitized by 



Google 



SECTIO IL 



DISQVISITIONES DE AEQVATIONIBVS MOTVI LVNAE 
INVESTIGANDO INSERVIENTIBVS. 



1. 

Jln theoria Lunae motus Lunae relatiTUs respectu Terrae investigandus 
est. Denotat igitur secundum ea, quae in Sectione prima protulimus, M 
massam terrae; m massam Lunae; a semiaxem maiorem orbitae Lunae; ae 
eius excentricitatem; c eius anomaliam mediam certae cuidam temporis 
epochae respondentem; n eius motum medium in unitate temporis, quam 
annum lulianum statuemus, absolutum; q arcum inter locum eius perigaei 
et nodum ascendentem plani eius orbitae cum plano quolibet fixo, centrum 
gravitatis Terrae transiente, interceptum; t inciinationem orbitae eius ad 
idem planum fixum; longitudinem nodi ascendentis orbitae eius cum 
eodem plano; etc. 

Denotat porro ni massam Solis, et referuntur elementa expiicata ad 
Solem, quoties lineola supeme ad dextram iis affigitur. Quibus praemissis 
aequationes (38) Sect. I., quae generaliter motui corporum coelestium in- 
veniendo inserviunt, hae 



Digitized by 



Google 



^ ^ «'"co.yv-1::^ ^^-j ^j \ .„.(1) 

motam quoque Lonae defimunt, et qutlm hoc loco ad perturbationes a 
fig;ura sphaeroidica Terrae ortas tiec non ad perturbationes a planetis pro- 
latas non respiciamus, habemus ex art. 16. Sect. L 

n »» J J jj-t-3(y-4-g» j 

ubi 

Quantitates ^t» >t,, q, %, p et 9 nec non quantitates analogae ad cor- 
pus perturbans, quod hoc loco est Sol ipse, spectantes in his formulis 
pro variabilibus independentibus habendae sunt; quantitates igitur a^ n^ e^ 
c, t et pro functionibus illarum quantitatum habendae sunt, et fanctio 
perturbatrix, quam supra in functione coordinatarum orthogoniarum exhibui, 
in evolyendis formulis (1) pro functione illarum variabilium independen- 
tium censenda est. 



2. 

Ad aequationes (i) integrandas posui in theoria planetarum A = II^ 
et {(^ =r T^ -}- ^, ubi ^ et ^ novae yariabiles functiones ipsarum r et f, 
atque 11 et F signa fiinctionum sunt. Hoc vero loco ponam formulas 
generaliores has 

A = n(f, ^ 

^ = r(f, + /j \ 

nnde mutata f in f eradant 



(2) 



Digitized by 



Google 



(3). 



40 

V, = n(a, I) 

, Zr = r (a, #) 4- «^ 
nbi V , r, 2 et U) qnantitates designant, in qnas matata « in f resp. jl, q, 
^ et ^ abeunt Ideo v, est quasi longitudo vera in orbita et r radius 
Tector temporis I, indoles vero qaantitatam z et u> adhnc definita non est. 
Di£ferentiatis aequationibus (2), tnm secandnm r, tum secundum f elicitar 

dt — ^ i& u. rf, -t- d, 

f =r(?,f) f + r,(f,f) + f 

abi n' et P' resp. qootientes differentiales functionum H atqne F secun- 
dum £;, et JI, atque I) resp. quotientes differentiales eamndem functionum 
secundum f denotant. Eiiminatis H' (^, f) atque P' (^, f) ex aequatio- 
nibus praecedentibns nanciscimur 

dX di dX dt _ TTfftX^^ 

"d^ ' di "" ~dt ' ,dx ^^(^'0 rf; 

diQ dg diQ di _d^ ^_^ «^S^rrfft^ 

dt ' df "" * * rfr ~ dt * * d* ■ S ^ Afc» *J d, . 

mOk 



n,(£,o 



(D C-D ■ '© 

rA^^ ^P r«^rv ^*'*-^ _ ^ ^^^ ^^^-^ \.dtJ KdtJ i TT rf' 4\ ^dtJ ri r^ *\ 
W— ai—VdiJjdp^- r^ '+ ^h^^^^Jj^-- ^A^^*) 

attamen loco prioris hanim aequationum differentiale eius, ut semper feci, 
adhibebo hoc 

fe^ \.dTJ V.de dxJ KdtJ \.dt'J K.dtJ , „ffr^ K.dtO ni f^ ^\ ^»-' 

C5)...... -5^— -jsprs +H(?»OprA.— ".(f'Oj^ 



Digitized by 



Google 



41 

nbi ni est qnotiens diff^entialis functionis H et secundnm ^ et secnn- 

«Inni f tflilFprAntiatAP.. 



■«=cs)'«+cf)*+dD<«,+cf)^«+c^*+cf)* 

sed propter aeqnationes X = (p -^^ % ei d^ = dm J^ cou i dQ aeqnationes 
(31*) Sect* L differentiatae praebent 

6 



Digitized by 



Google 



42 

^— C£) *»+«« -^=: dc-^a C08 <pde 
e quibus mutata t in t eyadunt 

u 

dr=;(^)da+ae :^^^ dc — a cos/de 

Porro habemus e Sectione prima 
dx = do + cos i d6 

dp = coa t siii (x — cj) di + sin t cos i cos (% — ©) dd 
dq = cos t cos (% — o) di — sin t cos i sin (x — ©) dfl 
Substitutis his diflferentialium Taloribus in expressionibus praecedenti- 

bus ipsius iJ2, nanciscimur post comparatos terminos per idem diflferentiale 

multiplicatos 

d^,h r^-^' +t drJ|7rz7i-C rfiJ^^p-^^+C^^ 2 — ^ 

Cf)Cj^ + f ^»"^- C^ -9+ dD^^ ^"-^r^-.-^] 

CdSlr\ _ rdOr^ , r"^'^ 
di^,J — ^dkJ~^^dxJ 

„J cosi + (^^J = (^^J cosi + (^-J cos , 

+ {^~j~J sin * cos I cos (z-o)) — ( ^"^ ^^^ ' cos i sm [x — «) 

C-rf/) = C^) ^^ i shi Oj — ©) + (^^) cos i cos (z^cd) 

Mttltiplicata prima harum aequationum per cos y, secunda per ^ ^ ad* 

ditisque productis, facili opera invenitur propter tertiam aequationem, et 
quial =r(IZ^) + ir^atque/— y = t;, — A, 




Digitized by 



Google 



4S 



plicia cosinuam anomaliaTum mediarum progredientem evolutae, ut notum, 
huius est formae 

X cos {ig + iV + r jr 4. r rf' + r'i.+ yff) 

ubi g anomaliam mediam Lunar, fg^ 'moimiimi necKni Solis, ir iongi* 
tudinem perigaei Lunae, st^ longitudinem perigaei Solis et i, 1% i" etc* 
numeros integros positivos aut negativos, cifra inclusa, denotant, et X 
functionem excentricitatum, inciinationum semiaxium maionim et numero- 
rum I, 9^ etc. repraesentat. Hinc facile conciuditur, termimnn generalem 
in evoluta expressione ipsius T esse huius formae 

Z sin (zy + ig + r g' + i" a -f t'" jt' + T'' d + i' ST) 

ubi Z functio est eiusdem generis atque X, x numerus integer positivus 
aut negativus aut cifra ipsa, et y qnailtitas quae ex elementis eUipticia eA 

6 * 



Digitized by 



Google 



44 

ex qaantitate indeterminata t eodem modo composita est, quo anomaUa me* 
dia Lunae ex elementis iisdem et ex tempore I. 

lam constat, terminos ilios in expressione longitndinis et radii yecto- 
ris Lunae evitandos, qui huius formae sunt 

a t sin {ng -f i"it + etc.) -f- /J t* sin {%g -{- i^Tt + etc.) 
et dt cos {%g 4- i"yt 4" ®*^') + ^'* c^s (xg- -f" «"^ + ^*^) 
nbi ce, a , fi ei ^ coefficientes numerici sunt, solummodo ex terminis iis 
ipsarum T atque R nasci posse, in quibus simui et i — o et i z=z o^ hoc 
est ex terminis huius formae 

z sin (xy 4- i"a 4- t'V 4- r fl 4- r e') 

functiones igitur arbitrariae II (f, f)? ^/ (£5 ®* ^, (fj *) ^^ determinandae 
sunt, ut termini hi non adsint, 

Quum ea quae ad inclinationes nodosque spectant infra allaturi simus, 
nunc quidem inclinationes in expressione praecedenti negligemus; ideo con- 
siderabimus terminos ipsarum T atque jR eos, qui huius formae sunt 

(6) Z sin (xy 4- i" jr 4- t"V) 

Inter varios terminos quos expressio haec continet deligamus eos, in 
quibus r = o et simul t'^ = o, hoc est ternlinos 

Z sin ny 

lam demonstrabo functiones arbitrarias illas introductas ita determinari 
posse, ut termini formae praecedentis omnino evanescant, et simul deter- 
minationem hanc subsidia suppeditare, quibus efficitur, ut termini sub (6) 
repraesentati in expressione longitudinis radiique vectoris terminos per tem- 
pus ipsum muitiplicatos proferre non possint 



4. 
Quum \j[^j = Cd«3> P*^^ ®* expressionum ipsarum T atqne H, 
quae per (^^J multiplicata est, terminos formae Z sin xy producere ne- 
quit, quare termini hi solunmiodo ex ea harum expressionum parte, quae 
per (^;^J muitiplicata est, nasci possunt 




Digitized by 



Google 



46 

Hdbemaf igitnr, si non aisi ad teiminos formae Z sin x/ re- 
spicimus 

qnae, qanm sit v^ — ^=/ — 9? abennt in has 

-sn,(f,o„^^-H'(f,og 
+ n.(f-')«g^^-r,(t,o 

Qnantitas sin / rr== ^ i^j^J ^ seriem infinitam evoluta secundum 
sinus multiplicium anomaliarum mediarum procedit, itaque termini ex- 
pressionum praecedentium per quantitatem hanc multiplicati terminos for- 

mae Z sin x/ proferre nequeunt; quantitas vero cos f r^=\ r \jj[^J ^^®" 

luta, quum secundum cosinus muitipiicium anomalianim mediarum proce* 
dat, in T atque jR terminos tales proferet. Faciie igitur perspicitur, dle- 

notante V terminum constantem in evoluta' qiiaiiatate ^^ — z—^ ^ C^J' 
quantitatem Vq an q> post erolutionCTi solummodo^ terminos formae Z sin ivf 
producere posse. tt^ibeinus igitur ad termiiios " hos tollendos aequatio- 
nes has 

•=-*j(i^, ''«•"»-»«.«•') -^ir|^-n,'(t,<)g 
• = 7(1^ ''« •ta 5^ + 1^ tt- -Tg^, - ^. »• •) 

6 quibusy elinunata If (g^ f), elicitur 



.(7) 



Digitized by 



Google 



4§ 

o = 2r,(r,o+n;(f,o^ 

cui aequationi satisfactum erit, si posneris 
(8)...». = n; (e, atque = T, (?, <) 

unde aequationes (7) suppeditant 

(9)...... n(g,t) = -F 

quae igitar aequatio terminos omnes formae Z sin xy tollit Praeterea 
aequationes (7) monstrant, non modo in approximatione prima ad valores 
veros perturbationum obtinendos instituenda terminos formae Z sin x/ 
per yalorem ipsius II (^, t) sub (9) datum eyaneseere , sed eandem rem 
etiam locum habere in approximationibus omnibus subsequentibus. Nam 
t solummodo in quantitatibus q atque <p continetur; itaque aequationes 
(7), (8) et (9) non modo locum habent, si valores approximati yariabilium 
in expressionibus ipsamm T et A, sed etiam si valores earum accurati 
substituti erunt 

5. 

Aequationes (8) alio modo exhibitae sunt hae 

d^na.t) ^ dra,t) 

dtdt =^' dl = ^ 

quae integratae suppeditant 

r(r,o = Sf 

denotantibus A^ ^ et S functiones arbitrarias quantitatum quibus prae- 
fixae sunt 

Hinc evadit 



.iiSfiL = n,(f,o = *. 



denotante ^,t quotientem diflferentialem functionis '^t.' Aequatio vero 
(9) monstrat II (f, constantem esse, itaque ^^* quoque constanti ae- 
qualis est, quam (n) y appellabo. 



Digitized by 



Google 



47 

Quibus statufis, expressioiiea ipsarum T et A supra datae abeunt 
in has 

T={ rf c«(..-^)_l+2 -^ (c, (..^)-lJ ! -^ C^ 

ji=- jf c. «,,-«- 1 + ^l^ [c (»,^)-i] ! ^ (f;) 

et aequationes (2) et (3) transeunt in has 

;i =^^+ {n)yl 

^e = sr f ^ 

V, = AzJ^ (w) yl 
Zr = & -|- ti; 

Sioiili modo supponitur in motu Solis esse 

v; = Az' 4- {n)y't 

Ir' = &' 4- w 
Pxpressio finita eius ipsius Si partis, quae terminos profert huius forinae 

X cos (j^ + iV 4- i'7t 4- i'V) 
est haec 

quae, factis inclinationibus cifrae aequalibus, ex expressione ipsius i2 in 
art. 1. data perfaciie derivatur, et quum in approximatione prima ad valore^ 
veros perturbationnm obtinendos yaiores approximati coordinatarum in hac 
expressione substitui debeant , statim / + ^ + (w) yf loco «^, ? /' + ^ + (w)^ * 
!oco v'^ et yalores pure eilipticos radiorum vectonim loco r et r' substi- 
tuere nobis licet. Itaque habemus in approximatione prima 

3i-|-m ( [r» + r 2 - 2r/ cos (/-/ + w -|- (n)j^t - n'- (n)y t)] i «^ * 

cuius terminus generalis post evolutionem in seriem infinitam est huius 
formae 

X C08 (ig- + «V + r (* + («)yO ^- i- («' + (n)y'0) 



Digitized by 



Google 



48 

Expressio igitur ipsius T evoiuta, si praeterea 9 + ^ + (»)y* loco 
X et Taior pure ellipticus ipsius q substitutus fuerit, evadet 

T = ji sin Y -{- B »in2y -{- etc. — ya sin y — yb sin 2y ~- etc. 

+ 2;Zsin[xy + ig- + iV + r(^ + (n)yO + «"(^ + W^^^^^ 
abi Aj B^ etc. a, 69 etc. et Z coefficientes determinati sunt, quarum va- 
lores numerici semper computari possunt, et ubi in termino sub signo 
summationis casus in quo simul 1 = 0, i z=z o^ i" = o et i" = o sunt, ex- 
cludendus est, quia terminos ad hunc pertinentes iam separatim adscripsi. 
Sed aequationes (7) monstrant necessario esse debere 

— = — = etc 
a b 

ande posita aequatione hac 

A 

termini omnes formae Z sin x/ sublati eruni 

Integrata igitur expressio praecedens praebet, quia g* = nf *^ c et 

/ = n'* + c', 

ubi casus in quo ^imul t = o, 1^ = 0, r = o, et ^=0 sit, non adest; et 
similem expressionem nanciscimur pro fRdt 

Manifestum igitur est valorem praecedentem ipsius fTdt nec non te- 
lorem anaiog^m ipsius fRdt terminos per tempus ipsum et per sinus aut 
cosinus multiplicium anomaliarum mediarum multiplicatos continere non 
posse, nisi forte pro yaloribus specialibus ipsarum t, i^, etc. haberetar 

in 4- ,V + i"(ii)y + r(n)y' = o 

quem yero casum, quum in motu Lunae locum non habeat, hoc loco non 
tractabo. 

6. 

Ut ex expressionibus ipsarum fTdt et fRdt ipsae ^ ei fi indagentiiry 
necesse est, functiones adhuc arbitrariae A^ et S^ determinentur; sed cum 
functionibus his iam inhaereat conditio, ut f et r explicite non continean^ 



Digitized by 



Google 



(quia fiiDctiones solius yariabilis ^ sunt,) integrationes ad ^ et ^ ez fTdi 

et fRdt derivandas requisitae ipsas r et f extra signa sinuum et cosinuum 

gignere non possunt; itaque pro £^ et ^ obtinentur series pure periodicae 

eiusdem formae, ac series supra pro fTdi allata. 

Vaioribus ipsarum ^ et ^ in approximatione prima computatis, valores 

magis approximati ipsarum X^ q^ v^^ r obtinebuntur, si substituas yalores 

illos ipsarum ^, js, in functionibus Al^ et ^. lam quum in approximatione 

prima 9 4^ jf -|- {n)yt loco X, /-{- jf -}- («)y' loco «, f 4" ^ 4"('')y' ^®^^ 

v'^^ et valores pure elliptici radiorum yectorum, quos resp. (q), (r) et (r^ 

denotabo, substituti fiierint, in approximatioife secunda differentiae A^ — tp 

ad X, Az—f ad v^, Az'—f ad <, ^ + j}_Z((,) ad Iq, &+ti;— l(r) 

ad {r et !s!z' ^u/ — !(/) ad 2/ addendae sunt Quod idem est ac si in 

approximatione secunda quantitatibus illis incrementa dX^ Sv^, etc. attribuas^ 

et ponas 

dX = A^ — q> ,6lQ = !S^ + p- liQ) 

dr^ = Az — / , 6lr = Sz -^- w — l{r) 

6v; = As:~f , d/r'= &'4. w'—l{f) 

nbi in functionibus A et S ralores ipsarum ^ et z substituendi sunt, qui 
In approximatione prima inveniebantur. Quo facto SX^ 8v^^ etc. in T sub- 
stituendae sunt, id quod commodissime ope theorematis Tayloriani perfici- 
tnr, unde necessario termini eiusdem formae ac termini approximationis 
primae prodire debent, ita ut habeatur 
dT = ^ sin y -f- B' sin 2y -f- etc. — dya' sin y — dyb' sin 2y — etc. 

+ 2Zf cos[^Y+ ig + iy ^i' {:t ^ in)yt)^ r (nf + {n)M 
denotantibus dT etdy incrementa, quae T et y in approximatione se- 
cunda capiunt; et similem expressionem nanciscimur pro 6R. Aequationes 
Tero (7) probant semper esse debere 

nnde 



et qunm valor approximatus ipsius y in approximatione prima intentns 
ipsi — aequalis sit, habetur yalor accuratior hic 



Digitized by 



Google 






a * a 
Expressto yato pr^^cc^ens pro dT praebet instituta integratione 

fdTdt =-. ^^^_^.,!^_^_.^^^ cos [«y+i^+iV+'*(«K")y«)4-'-(*'4- WO] 

c;t jiipilein expressionem obtinebimas pro /dActt, ui^de approximatio quo- 
que jsjscunda valores ipsairuni ^ et § nec non ipsarum ;$ et «? pure periodi- 
cps suppeditat, et eodem xnodo demonstrabitur approximationes subsequei^^ 
tes tem&inos per tempus ipsum multiplicatos in vaioribus ipsarum J^ et ^ 
introducere non posse. 



Ai^ly^s praecedens supponit pertuibationes Solis (sive terrae) eodem 
modo ac perturbationes Lunae computari aut computatas esse, id quod 
semper fieri potest, Nam in motu quoque pianetarum quantitatem hoc 
loco y denotatam introdncere nobis liceret, unde perturbationes eorum a 
terminis per tempus ipsum multipiicatis liberae obtinerentur. Quum vero 
hinc inde in longitudinibus radiisque vectoribus planetamm termini pet- 
jnagni, quorum periodus paullulum a revolutione planetae integra differret, 
prireutur, quorum coefficientes periodique propter incertitudinem, quae ms- 
sis pianetarum semper inhaeret, non accurati evaderent, quumque temuni 
in motu planetarum et per tempus ipsum et per sinus aut cosinus anoma- 
liarum medianim multiplicati series infinitas rapidissime convergentes con- 
stituant: praestat in theoria quoque Lunae perturbationes Solis sub forma 
ea admitti, quam perturbationibus planetarum in disquisitionibus meis 
prioribus de hoc argumento attribui. 

Quibus positis, approximatio quidem prima in motu Lunae terminos 
per tempus ipsum multiplicatos non profert, sed approximatio secunda et 
subsequentes in parte ea, quae ex coordinatis Solis originem dueit, termi- 
nos procreabunt, qui quidem et per tempus et per sinus aut cosinus muUi* 
plicium anomaliarum mediarum multiplicati, sed iidem sunt minutissimi, va- 
riationes quasi saeculares coefficientium perturbatiQUum Lunae constituentes. 
Praeterea coordinatarum Solis valores accuratiores in r ^'^J substituti ter- 
minos suppeditant huius foi^mao 



Digitized by 



Google 



51 

at -{- ^t' -\- eic. 
qai ipsi V in art. 4. introductae adiungendi sant, ita nt F omnino con- 
stana non sit, sed huius formae 

F4-F#4-F«'4-etc. 
nbi F^ , ^, , V^ etc. constantes. Hinc sequitar ut fonna ipsins y futura 
dt haee 

«bi y^, y^^ , y^^^ 9 etc. non minas q«aBi (n) constantes sunt Ergo, q«ui 

seciuMhim art. 5- sit 

i>t = (n)fydt 

loco (ii)yf in formulis praecedentibiis sobBtitui ^bet 

in)yt + |(n)'y/ + m'V,f ete. 
Porro !n eyoluta quantitate T adstabunt termini hi 

i^ht^ If ^ etc. 

qui ex coordinatis Solis in \j^j substitutis proyeninnt^ atque in 2 termi- 

nos hos 

*l + |*l* + f*/4-etc. 

gignent, ubi k^ k,^ etc. constantes, qui termini omnes perturbationes constitunnt 
sub nominibus Tariationis saecularis motus medii et perigaei Lunaris notas. 
Ergo, licet terminos omnes per tempus ipsum et per temporis pote- 
states multiplicatos amovere possemus, tamen terminos modo descriptos 
admittemus, quia series rapidissime convergentes constituunt, et quia intro- 
ductio functionum pure periodicarum motus Solis, a quibus series hae 
originem trahunt, molesta et manca foret. 

8. 

Per analysin praecedentem terminos evitandos per tempus ipsum mul- ^ 
tiplicatos ab integralibus expressionum ipsarum T atque R, e quibus per- 
turbationes longitudinis atque radii vectoris pendent, amovimus, et quidem 
calculum ita instituimus, ut functiones jI^' et S^ arbitrariae manerent. An- 
tequam has functiones aptissime determinandas aggredimur, consideratio- 
nes nonnuilae de integratione illarum expressionum generales adiiciantur 
necesse est Posito 

7 * 



Digitized by 



Google 



52 






erit, propter n^a^z=:% (itf-{-m) 

1 



a(l — e*) x(M-Hiii) 
et expressiones art. 5. ipsaram T et JR, si primo momento coefficientii 
ipsius y rationem non habemus, functiones sunt et rariabilium independen- 
tiam quinque A, 9, h^ p^ 9, {v^ enim et r, quum e X et q tali modo 
pendeant, ut mutata r in ^ ex his prodeant, pro yariabilibns independen- 
tibus habendae non sunt,) ad Lunam ipsam pertinentium , et Tariabilium 
independentium quatuor v^^ r% p% q ad Soljem spectantium. Itaque, ut 
expressiones ipsarum T et jR complete integrari possint, necesse est yalo- 
res magis magisque approximati quantitatum harum omnium X, 9, Jk, jp, 
q, V , r, t;/, /, p'^ q' obtineantur. lam yaloribus eiusmodi ipsarum 
A, 9, t;^ et r obtinendis expressiones ipsae ipsarum T et JR insenriunt, 
quae integratae ^ et p praebent, e quibus iliae deriyantur; yalores accurati 
ipsarum v^ ^ r\ p et ^ ex theoria motus terrae noti supponuntur; de ya- 
loribus eiusmodi ipsarum p et q infra loquar; restat yero, ut expressio 
deriyetur, quae yalorem accuratum ipsius h suppeditet Habetur 
^ dX na^^fxZ^ x(3f-*-m) 

hinc nanciscimur 

Zfc = Z.^(Af-f m) — ZA — 2Z^ 
denotante l logarithmum hyperbolicum quantitatis cui praefixa est. Diffe- 
rentiata hac aequatione respectu temporis, prodit 



P 



,2 



dih — . ^. ax — ^xdiQ 

unde,^ substitutis yaloribus ipsarum dX^ et dlQ ex aeqa. (1) desumendis, 
eyadit 



anc 

^f) = Cf) + Cf ) 



quae per aequationem hanc 



Digitized by 



Google 



5S 



Digitized by 



Google 




= T 



'o 



dT 






dt 



'^G9 



9. 

Maneniibus functionibus A^ et St arbitrariis, relationes nonnuUas ge- 
nerales, quibus postea utemur, assignare licet. Facile perspicitur relatio- 
nem antea a me datam hanc 

quae propter aequatiMes ultimas art. praec. abit in hanc 

dt « ^ y^dtJ ^ y^dtJ rd£\ — "dT 
in hac quoque theoria locum habere , cuius igitur integrale hoc "^) 



ubi l logarithmum hyperbolicum ei f^ functionem arbitrarianf tpsins ^ de* 
notat, etiam locum habet. Sed aequationes hae 



ubi linea superposita r in ^ mutandam esse denotat, quas in theoria mo- 
tus planetarum inveneiam, in hac Lunae theoria locum Bon habent. U| 
aequationes eruantur, quae earum vice funguntur, aequationes has 



*) Vide: Unten. uber die gegenseidgen Stoningen des Jupiten iind Satarafart Sl« 



Digitized by 



Google 



56 

.X = ^r -f f« 

lQ= S^ + P 
v^ — Az '•{' ^t 
Ir = Sz -^- w 
resumo, quae differentiatae, et postqiiain t in t mlrtata erit, suppeditant 



^ =C^OC^)+c-)» 



C$)=C=^)Ci)+CD 

dlr f d.Sz ^^Y^di^ ^ dw 

Sed aequatio r* •=: or* -^ y* -|- ;5* monstrat r nec non Zr esse fiinctio- 
nem coordinatarum x^ y^ z^ absque quotientibus earum differentialibus re- 
spectu temporis ar^ , y^ , z^ ^ et absque elementis ellipticis. Aequationes 
porro 

r cos / = I , r sin / = i^ 
in art. 16. Sect. I. introductae differentiatione subministrant 

r^df = i^ri — Tjdi 
Ex theoria rcro transformationis coordinatarum notum est, aequatio- 
nes (29) Sect. !• reciproce suppeditare debere 

I = ax 4- « y 4- a^z 

^ = P^ + fty + ft,« 

unde 

d| = adx + « dy 4" adz + xda -|- yda^ -f" ada^ 
dri = ^dx 4- ^dy + /3^d;j + xd^ + yrfjJ^ +^^/3! 

Substitutis his ipsarum d| atque drj yaloribus in aequatione pro d/ modo 
^iventa^ emergi^ 

rV/ = iip--^r,a)dx + (l^— i?«)dy + (ip—rja)dz 

-j- l^djS 4" ly dft + i^dp,, — rjxda — rjyda^ — V^^% 
Quae aequatio, si ex terminis sex ultimis x^ y^ z ope aequationum (29) 
Sect. I. eUoiinatae fuerint, et si differentialia aequationum conditionalium 



^(9^^) 



Digitized by 



Google 



S6 

(31) Sect I., aeqaationem ^—o ibi statiitain et aeqnationeni r^=^-\-if 
Tespexeris, abit in hanc 

— ^da — ^da^ — ^da,, 

Aeqnatio yero piima (35) Sect. I. snppeditat 

dx - ^da 4- ^d«, + p,da„ 
nnde 

Quae aequatio ^) probat, quantitatem v^ non minns qnam Ir functionem 
esse coordinatarum x^ y^ z^ absque x^^ y^^ z^ et elementis ellipticis, qnare 
aequatio haec 

dL 



dL _srdA\ 
dt ~ y.dtJ 



in fine art. 14. Sect. L demonstrata et ad v et ad 2r appUcari potest. 
Habemus igitur 



dVf r^^'^ rf/r rdlQr\ 

'lir~'^J ' 'dT — y.dtJ 
Qmbus aequationibus adiuvantibus, aequationes (9"^) statim suppeditant 



(to)-.- -s- = C^- 






quarum posterior transit in hanc 



*) Si ope aeqnationam art. 16. Seet I. quantitates £, 17 , a, ^, a,, etc ex hac aeqnatioiie 
elimioantiir , facili opera inTenitur aeqnatio hacc 

r^dv,^ = dx» + dy^ + dz^ 

iqiia oMicladitnrf dv, esse angnlum inter radinm Tcctorem tempor! I et radiiui Tectoreoi 
iempori i + dt retpondentem interceptum, id quod in Aatr. Nachr. No. 2AL lam alio modo 
^emooflraiTl. 



Digitized by 



Google 



u 



*L = (a)+w,^ -<»« 



itaque ad -^ ex -^ elidendam mntetiir t in I et snbtrahatnr qnantitas 
y.^ JL j et ad *~ ex -^ eliciendam mntetnr f in t et addatnr qnanti- 



«M (»)y77 



(^) 



10. 



Aeqiutio haec 



(D 

int^;rata snbnumstrat 

nbi constans integrationi adiecta fnnctio ipsins f esse potest Integrale 
fTdt est fnnctio aliqua ipsamm t et <, qnae semper pinribns deinceps 
approximationibns quam accnratissime determinari potest. Qnam fnnctio-' 
nem per 9(^,1) reddemus, nnde 

nec non 



CI) = CfDHM)+(D.»». 

Statnamns, mutata t in f, quotientem differentialem -^ in fonctio- 

nem aliqnam ipsins t abire, qnae per %t designetnr; qnaeritur indoies 
hnitts fonctioms? 

Conditio introdncta snhministrat 



8 



Digitized by 



Google 



qaae aequatio cnm praeoedente comparata suppeditat 

const. =r ■ cpff, t) 

unde nancigcimor 
hinc integrando elicitur 

f =/© ^ c. ') * -f(S) ^ ('. ') * +/dD ^ * 

nbi, constantem adiiciendam sab signis integrationis contentam esse, cen- 
seri potest. Ex hac aeqnatione mutata t in t evadit 

«=/Ct>»('.')'«-/©^('. ')'"+/(D^'« 

ubi V sigmficat, post integrationem respectu ipsius f peractam, r in f 
mutandam esse. Itaque yj^J quidem aequalis est ipsi {j^J et 9 (i, *) 

ipsi «p(<, 0, «ed/(Dcft ipsi/(J^)df et /9>(f, f) ctt ipri /y^/, 0« 
aequales esse cave credas. 

Aequatio praecedens yalorem ipsius ^ suppeditans praebet diflferentiata 
respectu ipsius t hanc 

^= /0).('.o*+/(Di^* 
-/(SO.('.')*+/Cg)^* 

unde mutata t in f eradit 



(D= /C^D^(^.')*+/(©^'« 



^0.(.,o*+/(|0^'« 



Digitized by 



Google 



60 

aequatio vero praecedens yalorem ipsius % supp^ditaiu pradbet diflPeren- 
tiata hanc ^ ' 

-(D»«.')-/(D9«,o« 



+ao^+/c^o^<" 



quae propter aeqaationes 



(D = dD **9"* vOf, = vc, 

transit in hanc 

^= /C^O*('.')<"+/C^^^* 
-/C^D»('.')*+/C^O^*+«' 



quae com ralore praecedenti ipsius yj^j comparata monstrat esse 

-^=©+=<' 

aequatio Tero (10) suppeditayit 

quare esse ddbet 

Q. E. I. 

Hinc sequitur, constantem integrali fTdx addendam ita determinan- 

dam esse, ut quotiens differentialis -^, qui aequalis estproducto yjiijj'^^^ 
mntata t in f, aequalis fiat ipsi ~- !* ^ > quae conditio ita exprimitur 

8* 



Digitized by 



Google 



00 






Aeqiiatio haec in theoria nostra Lnnae aeqnatioius hnius (fTdt):=: •, 
qnae ad theoriam planetamm pertinet, vice fiuigitur, nec nisi casna spe- 
cialis iUins est 

11. 

Aeqnatio haec 

in art 9* inventa praebet differentiata respectn ipsina t et mntata poit 
differentiationem ir in t, hanc 



Ct)=*^(S)-* (^) 



nnde ope aeqaatiooom (10) et (11) nancigdmar . 

^=7r^ (»)3r*+i yM (»)3^+* -^^-i * 

itaqne 



(12)...... «,= const. +/|^(«)y«»4-i/^(«)y*+l/»-i /Y^ jctt 

ubi constans adiecta yera constans est, et nbi S^, yi^ et f^ quotientes cBf- 
ferentiales hamm fhnctionum respectn ipsins z denotant Constans vero 
adiecta adiumento aequationis huius 



determinanda est. 



Digitized by 



Google 



61 



12. 

Fimctiones A^ et JS^ miiltis modb diversis detcorminari possnnt, et 
qudem a se inTicem independentes sunt, functionem vero arbitrariam^ ad 
libitmn determinare nobis non licet; haec enim ex iliis pendet 

Faciie osteaditur formam simplicissimam , quam functionibus A^ et S^ 
attribnere nobis licet, computationem pertnrbationnm simplicissimam sibi 
non GOBciliare. Positb 

^f = f 

Sf = o 
nilul Bunplidos assunu potest Hinc habeiur 

X =t + (n)yl 

unde manifestnm est assnmtionem hanc efficerei ut perturbationes imme- 
diate ad longitudinem veram et ad log^arithmum radii yectoris appiicandae 
sint. Aequationes vero praecedentes suppeditant 

dt dt 

dt dt 

In approximatioiie ^tur prima ad yalores perturbationum computan* 

dt dl ^ df ^ 

dos instituenda loco -^ Talor pure ellipticus ipsius -|^, et loco ^ valor pure 
^pticus ipsius ^ in formulis 



i=fdt (3D/Trfr 
p=fdi(^fTdvJ^fBdi 



sire loco posterioris in aequatione (12) substitnendus erit, et in approxima- 

dX dlq 

tionibus subsequentibus ii valores accuratiores ipsamm j;^ ^ "^9 quos ap- 
proximatio praecedens suppeditaverit, snbstitui debebunt Constantes arbi^ 
trariae integvalibus praecedentibus addendae erunt*yalojret ii, qno» X ei Iq 
acdpiunt, quoties yires perturbantes evanescunt, etc. etCr 



Digitized by 



Google 



Qaum vero in casu eo, ubi functiones A^ et S^ ita detenniiiantur, ut 
perturbationes ad longitudinem medlam addendae sint, in approximatione 
prima nobis statuendum sit 

dx —^ ' dx — ^ 
sicut ex theoria nostra planetarum iam notum est: assmitio haec non modo 
computationem perturbationum primi ordinis, sed edam computalioneni 
perturbationum ordinum aitiorum simpliciorem reddit, quare amttflitionem 
huius articuii non amplius evolvam. 

13. 

Perturbationum ad longitudinem mediam applicandarum computatio* 
nem evolyens, quaedam ib, quae antea de hoc argumento diyulgayi, ge- 
neraliora afferam, quae ad accuratissimam perturbationum computationem 
consequendam maximi momenti sunt. 

Determinentur quantitates ^ et 9 per aequationes has 

|(fi) f = V — (e) sin v 
^ cos q) = (a) cos v — (a) (e) 
^ sin 9 = (a) Y^m^^ • sin v 
nbi iineola sup^osita quantitates ^ et 9 a quantitatibos simpliciter q et q) 
denotatis discemit, itaque t in t mutandam esse non designat, et ubi v 
angulus auxiiiaris et (a) , (e) atque (n) constantes quidem sunt, sed cum 
valoribus iis quos elementa a, e et 11 habent, si vis perturbans eranescit, 
non congruunt. Sint porro constantes (a) et (n) aequatione hac 

(a)'(it)" = %{MJf-m) 

iunctae, ubi x, uti in Sectione prima, intensitatem vis attractivae, quoties 
et distantia et massa unitati aequales sunt, denotat Pono nunc 

ubi 91 quoque constans est, et quasi longitudinem perigaei designat Hinc 
nobb erit 



Digitized by 



Google 



qoibiis assnmtionibus effecimus, ut perturbationes longitudEnis ad longitudi- ] 
nem mediam applicandae sint, aicut iam in theoria planetarum protulL \ 
Aequationes (14) praebent differentiatae 

dt rd^ ' dt dt di y^dtJ 

Snnt Tero notae aeqnationes hae 

dX a^nVfZT^ dlg ane sin y 

dt Q^ ' dr pVi-e» 

Quae qunm ita sint, aeqnationes (13) necessario suppeditare debent aequa- 

tiones iilis similes has 

rfy _ (a)'(n) V^iZ(^« dlg (g) (n) (e) sfn y 

rf{ ~ T ' di ~ QVh^i)- 

Sobstitutid his Taloribus ipsamm ^ ' ^^ 9 ^ ^^ ^ in aequationibus 
praecedentibus pro 5^ ®* ^? nanciscimur 

dj _ Q^a^^nXy^l^- 
dt Q\a)\n)V^TZ^* 

dfi ane sin <p q a^n\/\Z^ . (e) sfn 9 

"rfT" PV^I^* ^2^a)(l— (e)*) 

ubi elementa a, e et n pro Tariabilibus et quidem pro functionibus ipsa- 
rum Xj Iq ei h habenda sunt.. 



(14) 



.....(15) 
.....(16) 



14. 

Si Tis perturbans eTanescR, £^ accipit Talorem qoendam, qaem (g^ ap- 
pellabo. Sint (^, (^ et (») Talores ipsaram 9, ^ et v hnic casui respon- 
dentes, ita ut habeatur 

(«)(g) = (v)-(e)8in(|.) 
(V) CO8 (9)) == (o) cos (v) — («) (e) I — (17) 

(ff) 8»n (^) = («) )^T=w* • WB (») 



Digitized by 



Google 



> 



64 

Si porro Ao denotat yalorem ipsias 1, qni locmn habel, qnotiei vis pertnr- 
bans evanescit, et Qq yalorem eiusmodi ipsius q, esse debet 

(18).. J ^ = (9) + « 

ubi (^) denotat valorem ipsius ^ eidem casui respondentem , et termi» 
nus (n)yf omissus est, quia in hoc casu necessario esse debet ^ = o. Ui 
indoles quantitatum (S) et (P) indagetur, formulae pra^dentes enm formuHa 
ad motum pnre ellipticum spectantibus comparandae sunt. Snntantemhae 

Ialnl = x(3f-j-m) 
«oT -\- Co = Vo — 60 sin Vo 
Qo COS 9o = Oo COS Vo ^ ^o 

(^ sin qpo = OoKT^ • sin 1^0 

(20) I Ao = 9)0 + ^o 

I Iqo = Iqo 

designantibus ao, eo, 910, Oo, ^o valores elementorum a, e, n, c, 5r, qui 
iocum habent, si vis perturbans evanescit, et Qo^ €po atque 1^0 vaiores ipsa- 
rum 9, (p atque v huic casui respondentes. 
Prior aequatio (18) suppeditat 

d(t) _ ("srJ 









dx ~ 








sed 


ex(i7) 


et ex ( 


:i9) «Uduntnr 












rf(?) 

da) 


~ (9)' 




«^ 


>oVl-..' 
9l 


hinc 


adipiscimur 
















d(5) _ «o(V)^«|Vi_„. 

dr (n)p;(o)Vi-(.)' 







(21)-.... 

aequatio vero altera (18) suppeditat 

(22)...... (?) = iQo - «($) 

quae qmdem aequationes evolvendae sunt Quem in finem animadr^erto ae-. 
quationes (19) suppeditare debere 



Digitized by 



Google 



65 

Qo _ 1 — gg 

nnde 

(p)go _ (q) l-*-eoCOsyo 
Qo(a) (a)' 1-eg 

sed ex prioribus aequationibus (18) et (20) emergit 

^o = (qp) -|- st—^sto 
qua aequatio praecedens transit in hanc 

(^oo 5^-*-^o[-f5co8(9)co8(3r--3ro) — eo^j8in(9)8in(«— a^^ • 

Q^)~ 1-^S 

Ex aequationibus yero (17) nanciscimur hanc 

iQ)__ i-(eY ^ 
(a) l-*-(e)co8(9) 

unde identica est haec 

<i}=l_(er-(e)|cos(^) 

Substituto hoc ipsius t^ valore in primo membro ad dextram aequatioms 
praecedentis, nanciscimur 

(;^^^_l-(e)*H-[eoC08(3r-3ro)-(e)]^co8(^)-eo8in(«-«o)J^J^ 
Qo(a)~ 1 — ^0* 

Positis 

€o sin (it — ito) = «2 (1 — (^)*) 
Co cos(5r — ^To) = (e) 4- 1 (l — (O^) 
unde 

c; = (e)" + 2(e)(l_(e)0l+(l-(c)Tf + (l-(e)W 
aequatio praecedens abit in 

(i)a, _ 1.^6gjcosW-^g;«in(-^ 

Po («) "" 1 - 2(e) I - (1 - (e)^) r - (1 - (c)») 7f 
Adiiunento haram aeqaationam aeqaatio (21) transfertor in hanc 

9 



i...(22*) 



(23) 



Digitized by 



Google 



(24). 



(25).. 



66 

I 

iSSl^n^ |l->-{ico,(^)-,|;«n(^r 

dr (n)" |i_2(e)g_(l-(e)»)r-(l-(e)»)i2ii 
Porro aeqaatio (23) nna cam aeqnationibas 

iaYiny = x(M4-»i) 
al nl = %{M-\-m) 
subministrat 

"o 

-'|l + f^5cos(^)-i,gsin^)| 
unde aeqoatio (22) abit in 

(P)=-flii-b)+l{l-2^i-il-iey)r-ii-ieym 
-i{l+f[-gcos(^)-,,[g8in(7)| 

ubi posni 

no = in)il—b) 

quae aequationes constantibus arbitrariis, qnae integralibus fd^ et fdfi 
addendae sont, determinandis insenriunt. 

15. 

Aequationes (24) et (25) Talores ipsamm d(j^ et (^) terminis finitis 
expressos suppeditant. Quum yero suppono |, rj atque b esse quantita- 
tes perparvulas ordinis vis perturbantis , aequationes iilas in series infinitas 
secundum potestates productaque ipsarum f , tf atque 6 progredientes evol- 
vere nobis licebit. Neglectis cubis nec non productis trium dimensionnm 
harum quantitatum, ex aequatione (24) facili opera eiicitur 

d(e)= (1-4) dr^- (1-4)5 J2j^ 008 (^)^-3(e)jdr— 2(1-4)1? [-gsin(^^ 

^r jf§-.cos»(V)H.6(£^)[-^^08(^)-H|(l-4-4(e)^) j dt 

-gi2J2j^oo8(^)8ln(^)-H6(e)^^^iu(^)jdr^^^^ 



Digitized by 



Google 



ex qua integrata emergit 

(«)(?)= (n)(l-J)r^.(c)H-(l-A)|/j2j^co8(^)^-3(e)}(«)dt-2(l-«)7/|^^ 

-t-|y{J|JaC08»(^)-H6(e)J^jco8(^)H-2(1^.4(e)«)j (»)dt |(26) 

~ W^W«"~^'"" (^)H-6(0[-7j«n(^)j(»)«te.t^y j[^,rin«(^)^-|(H«)«)j («) dr , 

designante (c) constantem huic integrali addendam. Ex aeqaatione (25) 
in seriem eroluta emergit 

(P) = |a-H5A'-|J[^Jco8(^)-h 2(e) )-H);^j8in(^).H rfj^^cos^^^i-dH- («)«)) 

— 2 ~~2 

-|^^2C08(^)8m(^)^.i;^[iJ^,8m«(^^ 

Integralia, quae haec ipsius (^ expressio continet, perfacile obti- 
nentur, postquam {q)j cos (qp) et sin (^) in series evolutae erunt, id quod 
infra suscipiemus. Expressio haec ipsius (fi) in usum Tocanda esset, si ex- 
pressionem ipsius R in art 8. datam ad perturbationes logarithmi rmdii 
vectoris computandas adhiberemus; quum yero perturbationes has adiumento 
relationis (12) ex perturbationibus longitudinis computaturi simus, necesse 
est^js, quae in hac relatione continetur, evolyatur. Quae fnnctio adin- 
mento relationis determinanda est huius 



qnae ioGum habet, quomodocunque fiinctiones J^ et ^ determinatae fiie- 
mnt. Quem in finem elicimus ex aequatione (15) et ex altera aequa- 
tione (14), 

l (^ = 2lQ - 2i(f 4- « • a'nfi=T- - 1 . (o)' (n) J^^IoO^ 

quibus in aequatione praecedente snbstitutis, emergit 

l . o'n J^l=i5 — l . (a)' (n) ^i=(0' — S =/? 
Sed qnum secundum art. 8- — ^S denotet perturbationes ipsias Ihf habe- 
tar, denotante ho valorem pure ellipticnm ipsios A, haec 

9* 



,.(27) 



Digitized by 



Google 



68 

siye, propter aeqaationes 

, X CM-^m) , X iM-+-m) 

haec 

8= l . d^n ^i^e^ — l.a^no |^i— «o* 
Substitato hoc valore ipsius 8 in aequatione pro /j^, emergit 

Quae aeqaatio monstrat in caso nostro f^ constantem esse, itaqae 
f^—fi. In praecedentibas obtinaimas aequationes has 

(a)'(n)' = ajn2 

no =(«)(!— 6) 
l-eS =(l-(c)') [l-2(c)|-(l-(e)»)r-(l-(c)')i,'] 

quibiis adiavantibas aeqaatio praecedens transmutatur in 

/?=/*=-|Kl-6)+^«[l-2(c)|-(l-(c)')r-(l-(c)')ij«l 

siye in seriem eyoluta 

(28). y?=/* = i6 + ^6^-(e)|-i(l + (er)f-^(l-(eniJ* 



16. 

Indole fanctionam J^ et S^ in praecedentibus determinata, in modum 
expressionis ipsius T in art. 8. allatae integrandae ulterius nobls inquiren* 
dum est Expressio ista, introducta /k, ita se habet 

Quum functio perturbatrix Si sit functio variabilium v , r, jp, 9, v^\ 
^'9 l^j 5^'j expressio praecedens monstrat ipsam T esse functionem varia- 
bilium undecim X, (j, fc, v^, r, |i, q^ v', r , jp', 5', quarum novem 
A, 9, A, p, 9, t;^', r', p', 9' pro independentibus habentur; id quod in 
praecedentibus iam supposueram. Quum vero ope expressionis ipsius T et 
ope expressionum reliquarum, quae in calculum vocabuntur, loco X et q 
ipsae ^ et ^ computandae sint: praestat expressionem ipsius T nec non 
expressiones reliquas, quibus utemur, ita transformare, ut ^et^ loco XeiQ 



Digitized by 



Google 



explicite contineant. Quae transfonnatio perfacile ope aequationum (13) 
et (14) perficitur, illae enim quantitates 9 et q in fiinctione ipsius ^ ex- 
hibent, et hae quantitates X et q in functione ipsarum ^, q et ^ expri- 
munt. Quodsi ponimus aequationes (13) in series infinitas secundum 
sinus et cosinus multiplicium arcus (n)^ progredientes evolutas esse, ae- 
quationes (13) et (14) suppeditant 

A=(n)?+(n)y'+^4--'xSin(wK+-'.sin2(n)f-f^3sin3(n)g:4-etc. 
Q = {a)cP {B^ + B, cos (n)f -f B, cos 2(n)f + B3 cos 3 (n) f + etc.| 

ubi c basin logarithmorum hyperbolicorum, ^^, ^^9 ^39 ^^^* coefficientes 
aequationis centri et B^, B^, B^, etc. coefficientes evolutionis notae radii 
yectoris, adiumento excentricitatis (e) computandos, denotant. Quae ae- 
quationes mutata r in t suppeditant 

v^ = (n)z + in)yi + fl? + .^^ sin (n)z + ^2 ^i" ^ (n)z 4- ^3 sin 3 (n)z -\- etc. 
r =:i(a)c^ \B^ + B, cos (n)a -{- B^ cos 2 (n) « -}- B^ cos3(n)2J -|- etc.| 

Substitutis his expressionibus , expressio ipsius T quantitates ^, ^y z et w 
loco quantitatum X^ q^ v^ et r continet. 

Porro quum perturbationes Solis sub forma ea, quam planetarum 
pertnrbationibus generaliter attribui, datas esse supposui: loco v' et if 
quantitates z et w immediate datae erunt, quamobrem expressio ipsius 
T etiam functio explicita ipsarum d et tv reddi debet. Theoria nostra 
planetarom praebet 

ubi f functio ipsius 7! est. Sed loco huius aequationis suppono in hac 
Lunae iheoria esse 

<=/'+w+«' 

nbi f/ est quantitas ex aliqua ratione ipsi y analoga. Introductione huius 
quantitatis, quam optimo iure in theoria quoque Lunae omittere potuissemus, 
eCBci potest, ut termini in ipsa (n)V huius formae at cos ^ -{-at cos^g^' 
4- etc, et temrini in ipsa w huius formae fit sin g' -j- fft sin 1g -^- etc. 
evanescant, itaque in (n)'z termini per tempus multiplicati solummodo hi 
6t sin g' -j- i't sin ^g^' -j- etc. , et in w' termini solummodo hi tt cos g' 
-|- c'1 cos 2^*' -1" ^^^* remaneant, unde computatio perturbationum Lu- 
nae secundi ordinis paullulum abbreyiatur, et forma earum paullulum sim- 
plicior redditur. Nacti igitur sumus problema: datam quantitatem z' quae 



Digitized by 



Google 



70 

ad aequationem v' znzfJ^n! spectet in quantitatem analogam transfenre, 

quae ad aequationem v/ =/'-}- (w)y'^ 4" ^ pertineat. Cuius probleniatis 
solutionem, quae iam in formulis art. 15. continetur, infra, ubi de aequa- 
tionibus nostris in series infinitas evolvendis sermo erit, copiose explicabi- 
mus. Quamobrem hoc loco suppono perturbationes Solis aequationibus his 

<=/ + («)y^+«' 

datas esse, ubi f ei r functiones ipsius z^ sunt et ex hac quantitate adiu- 
mento aequationum ipsis (13) plane analogarum pendent. Quibus prae- 
missis habemus 

v; — (n)z + (n)y't J^^i^A^ sin (n')s' + A^ sin2 (»')» + A^ sinS (n')s'+etc 
r' = {a)c^ {Bf^ + B; cos (n')z + B; cos 2(n')z' + B^ cos 3(n')a' + etc.| 

ubi nf longitudinem perigaei Solis denotat, et ubi coefficientes aequationis 
centri A^^ A^^ etc. et coefficientes radii vectoris B^^, jB^j, B'^, etc. ope 
excentricitatis terrae computandi sunt. Substitutis his expressionibus, quan- 
titates variabiles v'^ et r in T per z et w redditae sunt. Adiumento igi- 
tur harum serierum omnium expressio ipsius T modo data in seriem infi- 
nitam evolvitur, quae explicata functio variabilium independentium ^, ^, A, 
p, y, a', uj', !>', }', atque variabilium z et u^ ex f et ^ dependentium, 
facta est, et quae praeterea constantes (a), (n), (e), it^ (a'), (n'), (c), j£ 
continet. 

17. 

Terminus constans in ipsa A, qui est valor imperturbatus huius qnan- 
titatis, est 



cuius Ibco quantitatem {h) illis (a), (e), etc. analogara introduci oportet. 
Sumtis logarithmis hyperbolicis aequationum 

subtrahendo inTenUur 



Digitized by 



Google 



Tl 

«ko — «(fc) = iao — i(a)-|-Zno — Z(n)— 1?(1 — e2)-f-iKl — (e)^) 

quae eodem modo quo expressio ipsius fZ evolTitur in 

W.=Z(;i)-X6_^6^4.(e)|4.^(l + (e)»)f + ^(l-(c)'),," 

ubi cubi productaque trium dimensionum ipsarum 6, I et ij neglecta sunt. 
lam habuimus aequationem hanc 

lh = lho — 8 

quae, substituto valore ipsius Iho modo invento, transit in hanc 

nbi breyitatb caussa posui 

«= 16+^6'- (e)f-^(i+(«)')r-i(i-(^)')f •••••(29) 

quae aequatio insuper monstrat esse 

6 =/5 

Hinc eyadit 

/k = (*)c-(^+0 (30) 

Substitutis igitur non modo seriebus art. praec. valores ipsarum A, ^, 
t? , r, v', r' suppeditantibus , sed etiam valore praecedenti ipsius h in ex- 
pressione ipsius T, quantitas haec functio yariabilium independentium in* 
cognitarum ^9 fi^ 8^ p ^ q^ functio yariabilium dependentium v, r, fnnctio 
yariabilium cognitarum r ', r', jp', q et functio constantium (a), (n), (c), (A), ^r, 
(a'), (n), (e'), ^t', quae etiam notae supponuntur, expiicita reddita est. 

Ipsi ^ ex T indagandae aequatio haec 

T— ^'^^-^ 

dr 

inservit , itaque quantitate ^ opus est , quae functio ipsarum fi ei S reddi 
potest. In art. 13. invenimus aequationem (15) hanc 

dx ~ Q\ar{n)yrm^* 



quae primum ope aequationnm 



Digitized by 



Google 



(31). 



T2 

transit in hanc 

di _ p (^) 

sed posterior aequatio (14) suppeditat 

9 
et aeqnatio (30) 

(A) ^ S+t 



itaque 

quae aeqoatio etiam ex hac 






derivari potuisset. Haec enim statim suppeditat, qnomodocunque fun- 
ctiones A^ et S^ compositae sunt, 

ex qua in casu nostro, ubij^ = € est, aequatio (31) statim emergit. 

Hinc ig^itur fac 
sciiicet aequatio haec 



At 

Hinc ig^itur factum est, ut aequatio valorem ipsius -^ exhibens, 



§ = C§) /'* 



functio explicita variabilium et constantium modo enumeratarum evadat, et 
eodem modo a^quationes valores ipsarum 57 €t ^ exhibentes fimctiones ex- 
plicitae earundem variabiiium et constantium redduntur. Quamobrem, et 
qui|m aequationes valores ipsarum ^ ^t ^ exhibentes, ut infra elucebit, 
fimctiones quoque variabilium et constantium earundem reddi possint, ae- 
quationes quinque, quae integratione respectu temporis valores veros quanti- 
tatum quinque ^, ^, S^ p et q suppeditabunt, functiones explicitae 
earundem variabilium incognitarum, pQrro functiones variabilium z et tv ex 



Digitized by 



Google 



T3 

UUb dependentiam et fiinctiones Tariabiliom cognitarnm s% to^ p' et ^ 
factae sunt^), et praeterea solummodo constantes (a), (n), (e), (A), ^, 
(a), (n^), (e") et ^, qnarom yalores numericos datos esse sappomtur, conr 
tinent 

la 

Qunm in aequationibus differentialibus modo descriptis variabiles tali 
modo illi^tae sint, ut aequationes hae directe integrari nequeant, ad plu- 
res deinceps approximationes nobis refiigiendum esl Quamobrem ab ini- 
tio yalores yariabiiium indagandarum dari debent, qui a veris earum yalo- 
ribus non nisi quantitate primi ordinis respectu ris perturbantis aberrant; 
quibus substitutis, integratione aequationum differentialium yalores variabi- 
lium obtinentur, qui a yeris non nisi quantitate secundi ordinis differunt, 
et hoc calculo approximatio prima peracta erit Valores yariabilium, quos 
approximatio prima suppeditabat, quum non nisi quantitatibus secundi or- 
dinis a yerb earum yaloribus distent, ad approximationem secundam ab- 
solyendam in aequationibns nostris differentialibus substituendi sunt, unde 
post integrationes peractas yalores yariabilium eidbunt, quorum error tertii 
ordinis est; et eodem modo approximationes subsequentes absolvuntur. 

Ad primam igitur approximationem absolvendam yalores yariabilium a 
yeris earum yaloribus quantitate primi ordims respectu yis perturbantis di- 
stantes, ut dixi, cogniti esse debent; haec sola conditio est, et quantita- 
tes quaslibet, dummodo huic soli conditioni satisfaciant, substituere nobis 
licet. 

lam aequatio (26) suppeditat yalorem integrum ipsius (n)^, quilocum 
habet, quoties yis perturbans evanescit, qui yalor functio ipsarum 6, | et ij 
est Sed quum supponam, ipsas 6, | et f} esse quantitates eiusdem ordi- 
nis ac yim perturbantem, yalor quoque simplicissimus (n)r -|- (p) ipsius (n)g', 
qui nascetur, si 6, | et ij cifirae aequales positae faerint, a yero eius 
yalore non nisi quantitate primi ordinis differt, itaque conditioni requisi- 
tae satisfacit Hinc sequitur in approximatione prima expressionem simpli- 



--T — .enim sua fponte fonctioiieiii soUns q^ itaqne fanedoncm ipMmm t ^ §9 te pcaestat* 

10 



Digitized by 



Google 



14 

cksimam (n)r*{-(c) loco {n)^ sabstitui posse. Porro, factis 6, £ et i] 
cifrae aequalibus, aequatio (27) monstrat, fieri quoque (^) =: o, itaque, 
quum |} ipsa sit quantitas eiusdem ordinis ac yis perturbans, in approxima- 
tione prima /3 = ponenda est, et simili modo demonstratur in approxi* 
matione prima S = o et a — o ponendas esse. Quum loco (n) z et w 
vaiores illis yaloribus analogi substituendi sint, in approximatione prima 
(n)t^(c) loco (n)z ct cifira ipsa loco w ponitur. Quum vero (n')z\ w\ 
p et ^ sint quantitates notae , statim valores earum integros substituere 
liceret, nisi rei accommodatissimum esset, ioco harum quantitatum yaiores 
iliis valoribus analogos substituere. Denique aequatio (31) suppeditat sub 

iisdem conditionibus j^ = 1. Congestis his omnibus, in approximatione 

prima nobis ponendum est: ; 

(«)r = 7 

(n)2 = g 
W = i' 

w = o 
w' = o 

S^e = o 



f=» 



ubi 



y = (n)x + (c) 
g = (n)t + (c) 
ff' = («')*+ (c') 

Quinam valores in approximatione prima et subsequentibus ipsis j>, q^ 
p\ q\ attribuendi sint, infra demonstrabitur. Quibus yaloribus omnibus 
substitutis, aequationes differentiales nostrae functiones evadunt constantium 
(a), (n), (e) etc. et variabilium independentium v et t. His aequatioDibus 
integratis, constantes arbitrariae additae ita determinandae sunt, ut, dele- 
tis terminis a vi perturbanti prolatis, valores pure elliptici variabilium no- 
strarum redundent. Itaque ad valorem ipsius (n)^ tali modo inventum tan- 
quam constans arbitraria addi debet valor ipsius {n){^)^ qui per aequatio- 



Digitized by 



Google 



7& 

nem (26) datus est, et in quo, postquam ^ cos (^ , p^ sin (^, etc. in 

series evolutae erunt, etiam (njy loco (n)(g) ponenda est. Quoties ^ 
ex integrata quantitate Rdt art 8* elicitur, ad integrale hoc addi de- 
bet Talor ipsius (^) per aequationem (27) datus, quoties vero loco eius 
w ex aequatione (12) elicitur, nihii addendum est, quia ipsi/2 in hac 
aequatione contentae iam conditio, quam aequatio (26) exprimit, superstru* 
cta, et ope aequationis (28), quae yalorem ipsius /s exhibet, expressa est; 
denique integrali, quod ipsam S suppeditat, tanquam constans arbitraria € 
addenda est. 



19. 

Approximatione prima eo modo quem descripsimus peracta, perturba- 
tiones omnes primi ordinis innotescunt; et substituendis iis yariabilium va- 
loribus, quos approximatio prima suppeditavlt, perturbationes usque ad quan- 
titates tertii ordinis accuratae obtinebuntur. Quum Tero in approximatione 
prima iam primum et maximum ipsarum (n)^ et (n)z membrum substitu- 
tum sit, in approximatione secunda differentia tantum inter yalores ipsa- 
rum (n)^ et (n)z erutos et maximum earum membrum, quod est resp. f 
et g^ substituenda est. 

In secunda igitur approximatione ad ipsas y^ g et g\ quae in aequa- 
tionibus nostris differentialibus loco (n)g', {n)z et (n)' z' substitutae erant, 
incrementa (n)d^, {n)6z et (n')dz' ubique addi debent, quae ita se habent: 

(n)df = — y-[- ei ipsius (n)f Talori integro, qui in approximatione pri- 
, ma inTentus erat; 

(n)6z = — g" 4" ^^ ipsius (n)z Talori integro, quem approximatio prima 

prodiderat ; 

unde manifestum est, (n)dz obtineri mutanda r in ( in Talore ipsius (n)6^; 

(n')6z' = perturbationibus longitudinis mediae terrae; 

in hoc tamen calculo soiummodo ii ipsius (n')dz' termini, qni per tempua 
ipsum multiplicati sunt, et termini a Luna ipsa producti in approximalione 
secnnda subdtituendi sunt. 

10 * 



Digitized by 



Google 



76 

Quantitatam ^, w^ vf ei S'^ e duplici modo in approximatione se- 
conda ratio haberi potest. Ant per yalores eanim in approximatione prima 
computatos fanctiones exponentiales hae d^, c*^, c^ et c""(*+0 fanctiones 
solias yariabilis t reddi et tales in terminis debitis aequationam differen- 
tialiam sabstitai, aat j3, tr,' tu ei — ('S'-|-£) pro incrementis ipsaram 
Iq, Ir^ Ir et Ih haberi possant. Modam hanc, qai illo simplidor est, 
seqaar. 

Sint igitar dlQ^ dlr^ dlr' et dlh resp. incrementa, qaae in approxima- 
tione secanda et aiterioribus qaantitates Iq^ Ir^ Ir' et Ih capiant, qaoram 
ratio non minas qaam ipsonun (n)d^, etc. ope theorematis Tayloriani ha~ 
benda est; tam ex praecedentibas facile coUigitar in approximatione se- 
cunda esse debere: 

61q — ei ipsias ^ yaiori integro, qai ex approximatione prima elicitus 

erat; 

Slr = analogo ipsias w yalori; 

Slh = analogo ipsias — {S-^- c) yalori ; 

6V = tJ qaae ex mota terrae nota est. 

In V) non minas qaam in {fi)6z' solammodo ad terminos per tem- 
pas ipsam maltiplicatos et ad terminos a Lana ipsa prodactos respicere 

opas est Deniqae ad yalorem ipsias ^, qaalb in approximatione secanda 

reqairitar, indagandam aeqaatione finita (31) opas non est, nam differen- 
tiato yalore ipsias (n) ^ integro in approximatione prima inyento secnndnm r, 

statim yalor reqabitas ipsias ^ innotescit 

Snbstitatis his yaloribas nec non yaloribus ipsanim 6p et 6q infra ex- 
plicandis, aeqaationes differentiales nostrae usque ad quantitates tertii or- 
dinis accuratae erunt, et functiones explicitae yariabilium independentium t 
et t se praestabunt, quae integratae yariabilium nostrarum terminos secundi 
ordinis suppeditabunt. Quibus computatis et ad yalores quos approximatio 
prima prodiderat additis, yariabiles hae usque ad quantitates tertii ordinis 
accuratae sunt, et simul yalores incrementorum (n)d^, {n)6z^ SIq^ d2r, etc. 
innotescunt, quibus ad approximation^m tertiam peragendam opns est; et 
dc porro pro approximationibus subsequentibus , si forte his opus sit 



Digitized by 



Google 



n 

Compiitationes yero onmes absolntae faerint^ qiiando ad approximationem 
perrenietor, quae ad valores yariabilium nostrarum, quales ex approxima- 
tionibus anterioribus iam innotescunt, terminos limitem fixum determinatnnH 
que superantes non addiL 



+ 27B8in(xy+(i-x)g^ + fg^ + XO 
ubi I», qy ^, etc. r, r% etc, Jt etB coef&cientes constantes vel numerici sunt, 
et D arcus huius formae {if-|*^ ^^^9 ^^^^ (t et ff quoque constantes, et ubi 
inter terminos sub signo sunmiationis contentos ii excludendi sunt, in quibus 
simul i' = o et D = o, quia terminos ad hos vaiores pertinentes separatim 
adscripsL Ex expressione yero (26), quae terminos suppeditat, quiipsi(n)^ 
tanquam constans arbitraria addendi sunt, facile concluditur, coef&cientes 



Digitized by 



Google 



18 

ipsarum |, ^ et if in series infinitas secundiim sinus, et coefficientes ipsa- 
nmi 1} et fj| in series infinitas secondam cosinus multiplicium ipsins y pro* 
gredientes eyolyi posse; dextrum igitur huius aeqnationis membrum huius 
formae est 

y-(n)6r 4- \d{i'b)i^ht+hrj^l sin y + ^cT (1-6)14-*^ 4-*VI si" 2y + etc. 
4-fKl-ft)^ + wii2l|cosy4-^r(l-6) 12 4- m'i2l| cos2y4-etc, 
ubi cJ, hj h^ d! j etc. 2, m, T, etc. coefficientes constantes ex excentrici- 
tate (e) dependentes denotant. Si hanc expressionem ad praecedentem ad- 
diinus, valorem integrum ipsius (n)^ habemus hunc 

(nK:=y-(n)6t4-(«)P'4- |d(l-6)|+Ar+fr,,^| siny + ^«f^l-ft^l+^i^f-f-feYI 8in2y-hetc 
+ M(l-*)'? + "*'?^l<'®s9'4-|r(l-6)j^ + m' iii] cos^y-^-etc 

^(r—t)qcos g+tjfan g^q"smi—y^2g)-{-q"smi—2r-{-3g)-{-etc. 

-f.g,sin(2y— g)-\-q„imi3y— 2^)-t-ela 
-f- (t— r cos 2^ -|- r' sin ^g- -t- r" sin (— y -f- 3^) 4- r " sin (— 2y -f- 4^) + etc. 

-f-r,sin(y 4- g) -f-r^sin (3y — g') 4-etc. 
-{- etc. 

' 4- 2JiT—t) cos (is-^-^V^-JO) 

4- 2?JB sin (xy 4- (i-x^g- 4- «V 4- O) 
Hinc mutata r in f inyenitur 

in)z = g+in)(j^b)t+ y+q'^+q'"J^eic.+q^+q^,+etc +d(l-6)|+fcf +hi^l «„ g 
+ Ir^+r^^+r'" +etc.+r +r ,+etc. 4-cr(l-6)|4-*T+*Y! «nS^ 
4" etc. 

4- \l{i'b)ri+fnrji] cos g^\t(i'b)ri^m'rii] cos 2g 4" etc. 
4-iS7Csin(ig^4.iY4-D) 

lam quantitates arbitrariae &, | et ij aptissime ita detemunantur, 
ut fiat 

0:=p — b 

« = 9'4-?'4-?"' + etc.4-y, + ?.+ etc. + d(l-A)l4.Ar4.*,^ 

= 1^ 

unde nanciscimur 

(n)s = g^ 4- Fsin 2^^ + etc. 4- -SC sin (ig^ 4- fY + D) 
ubi 



Digitized by 



Google 



79 

p=:r' +r" -^ r ' etc. + »*, + »*» + ^^- + «''(l — *)l + ^T 4- *Y 
etc. = etc. 

Compatatis igitur 6, | et i} per aeqaationes has 

6 = 1» 
fcf -f dil—p)i =:_(5r'-|-5»4-gr" -t-etc. + j, + ?„ -f- etc.) 

et substitutis yaloribus eanim hoc modo erutis in expressione praecedente 
ipsius jF, etc, (n)z praeter terminum (n)t in ipsa g contentum neque 
terminos huius formae, nec vero terminum formae H sin g^ hoc est 
terminum, qui eiusdem formae esset ac terminus maximus aequationis 
centri, continet. Hinc factum est, ut computationi numericae perturba* 
tionum Talores ii motus medii et excentricit^tis Lunae superstruendi sint, 
qui ex observationibus astronomicis immediate proTeniunt, ita ut calculo 
indirecto, quo ii, qui rem ante tractaTere, Talorem excentricitatis in formu- 
iis perturbationum substituendum scrutati sunt,. in methodo nostra opus 
non sit. 

Denotat igitur (e) eum excentricitatis Lunae Talorem, qui ex obser- 
Tato aequationis centri termino maximo ope indolis eius pure ellipticae 
eruitur, et (n) (propter terminum (n)j/t in longitudine Tera v introductum) 
obserTatum motum medium anomaliae mediae Lunae. Valor semi- 
axis maioris orbitae Lunae (a) in calculo numerico perturbationum adhi- 
bendus ex (n) ope aequationis eruitur huius 

(n)"(a)' = x(ilf + m) 
et quum in compntatione hac, ut infra clarius intelligetur , praecipue 
quantitate hac ^i^ • ~7^ opus sit, habemus per aequationem praeceden- 
tem et per hanc 

(nT(ay = x(ilf+m') 
quae ad Solem spectat, 

m (ay _ (ny 1 



ubi igitur -^ mafisam terrae partibus massae Solis expressam repraesen- 
tat, et (n) mMum medium anomaliae mediae terrae denotat 



Digitized by 



Google 



Qaam perturbationeff Lanae ita exhiberi debeant, at longitado perigaei 
ubiqae in argamentis perturbationam explicite indicata sit, praevidere quidem 
potuimus, quantitatem rj in fine calculi cifrae aequalem necessario inventum 
iri, sed quum quantitas faaec ad problematis in art. 16. enuntiati soiutio* 
nem spectet, eam in formulis illis praetermittere nolui. Accedit etiam quod 
eadem quantitas in theoria perturbationum planetarum utilitatem afferre 
potest; in hac enim theoria perturbationes ipsius (n)z sub forma hac 

27C. sin Og' + »V) + 27C. cos (fg^ + rgO 
exprimi debent , ut in theoria loyis atque Saturni amplius explicayi, et tum 
I ita determinanda est, ut termin^s ^C, sin g*, et ij ita at temunus C^ cos g 
evanescat. Quo factum erit, ut in hac quoque theoria excentricitatis et lon- 
gitudinis perihelii yalores in calcolo numerico perturbationum adhibehdi 
sint, qui observationibus astronomicis immediate reperiuntur. 

21. 

His de perturbationibus longitudinis radiique vectoris expositig, ad 
perturbationes quantitatum p et q^ e quibus perturbationes iatitudinis et re- 
ductionis longitudinis pendent, explicandas perventum est. 

In praecedentibus inclinationes omnino negleximus, habita vero earum 
ratione, positoque axi coordinatarum x et x' in nodo ascendenti orbitae m 
cum piano ipsarum jry, habemus 

X = r cos (v — fl) 

y = r sin (v — fl) cos i 

z = r sin (v — 0) sin i 

x' = r' sin (6—6') sin (v'—ff) cos i" + r' cos (OST) cos (v^—ff) 

y = / cos (0—ff) sin (v^ff) cos t — r' sin (d—ff) cos (v'—ff) 

s' = r'sin(t;'— e^^sm? 

Substitutis his coordinatarum expressionibus in expressione ipsius Si in 
art. 1. data, £i functio reddita est quantitatum t?, r, 0, i ad corpus m, 
et quantitatum analogarum ad corpus m' spectantium. Quum vero sit 
v^=/4-Z^ «^=/+o'+^> Z = CD-|-/cosicIfi, habetur 
(32) t; = t?^ + fl4-Q — x = «^, + fi — /cos i d6 



Digitized by 



Google 



81 



11 



Digitized by 



Google 



82 

plamim p^ecte determiiietar, ad loca corpomm m atque m' in spatio in^ 
tegre computanda hae aeqnationes decem sufficiunt. 

In theoria igitur Lunae, in qua propter perparvulara Lunae a Terra 
distantiam respectu distantiae Terrae & Sole , Soiis coordinatae cognkae 
haberi possnnt, quae theoria propterea casus specialis problematis gene- 
ralis inxLxn corporum dici potest, quinque aequationes totidem yariabiles in^ 
d^endentes continentes sinmhanee integrandae sunt, et hae aequationes 
quinque ad loca Lunae in spatio perfecte computanda suf&ciunt, id quod 
iam in fine Sectionis primae admonuimus. Elementa vero sive yariabiles 
iadependentes sex ad Lunam ipsam pertinentes, quas ab initio aequationei 
quinque nostrae continebant, in praecedentibus ad variabiles independentes 
quinqne reduximus. 



22. 

Quum quantitas Si aut per t, 0, t", ff^ aut per p, ^, p\ ^ ex- 
pressa yalde implicita, et revera a plano fundamentali.independens sit: 
praestat loco harum quantitatum inclinationem mutuam orbitarum m at- 
, que m' nodosque huic rewspondentes introducere. Quem in finem conside- 
remus triangulum sphaericum ab ambabus orbitis et plano ipsarum xy for- 
matum. Sit $ huius trianguli latus, quod orbitae m sire Lunae pars, V 
latus, quod orbitae m sive Solis pars, ei 6 — ff latus, quod plani ipsarum 
xy pars est: tum anguli his lateribus resp. oppositi erunt ?, 180* — t at- 
que J, denotante I inclinationem mutuam orbitarum m et m\ 

Ut quantitates J, $ atque V in formulis nostris introducantur, pono 

( z = a^X + ^,,r , z' = a'^X^ + ^^^F 

ttbi aequationes conditionales locum habent hae 

«'+<+< = !» «" + < 4- < = 1 

(35)..-.. p' + ^: + ft: = 1 , r + ^r + n = i 

( «^ + «A +«A -o , n'^ 4- «X +«X= 

et ubi statuo esse 



Digitized by 



Google 



r= rsin (r — fi — $) , r = r'sin(v— ^'—.«0 
ita ut X atqae Y sint coordinatae eorporis m in i^a eins orbita, et X ^ 
atqne r coordinatae oorpoiis m' in ipsa eiua orbita tafi modo coUoca-^' 
tae, ut axis positiyus ipssunim X atqne X in nodo aacondenfi orbitae m 
cttm orbita mMaceat. w v i 

Comparatis iiis coordinatamm eicpressionibas ieuin iMrmn «pressioni-^ 
bus art. praec^ invenitnr ; . V c. 

a = COS $ ■''!.. ■. i,,M.' .,..i;i ... .'•'■. 

^ = — sin * 



(i\y} 



«*= 
ft,= 



sin $ cos i 
cos $ cos t 
sin fPsint 
cos ^ sin t 



H; ' 



.(36) 



«' = co8(e— eOcos «P+sin (fl— O sin ycosi*) , , .„, . ;,j; ,;i< ! 

^ = — 008 (e—e') sin ^-{^ sin (e— cos.yco» i* 

c', = — sin (e— e') cos »P-i- C08 («-4') »in ¥coal 

(f^ = sin (e— e') sin y-i- C08 (9r-0 C08 «'co? i" U....(37) 

= 8inrsin(e— e').8ini'8in«P+<>ogl'-(c68C9^')co8^+^ 
a^^= sm ysmt 
^^^= cosysint' 

ubi posterior ipsius p' expressio, multiplicato priore termino per sin^ i' 
4-cos^t', ex priore expressione evasit. tp^ia t at^i^e' d' ei expressionibus 
his eliminandis insendunt relationes inter angulos lateraque triakj^lffi splm^ 
rici supra memorati. Trig^nomttria «|pbwri^; stfetim^ «uppeditat . , 

cos = cos («— O') cos !P4- s'^ (•— ^O «^ 9^cos r (a) 

8in#iioaJP= co#(»^)*i 'S»^*—^ (•—«') cioii'^^!' (6) 

sin ^ cos t = — sin (6—0 cos ^ •{- cos (e — 6') sin V cos t'' (c) 

si&0 rin / :5r ain/ ria (0^'> ^ o — -(^ 

sin^sint = - sin.j^^sin 9^ ... .:^,,n: ;f-.:.7- :r- • > .ni,-),;) /; --'.^- (0 

cos t' =f: cos J cps 1 4* sin J sip f C08 ^ .....•••(/) 

cos *P sin ? = — ;8iu J co$ 1 4- coi J 8|a|^ 4^ .•..— (^) 

11 ♦ 



Digitized by 



Google 



(38) 



84 

quibus relationibus t' atque 9 ex expressionibtts (37) statim eliminari pos- 

sunt, unde evadunt 

o = cos C& ' ....^......••. ei (a) 

/5' = — sinC&cosl y ..cx(ft) 

c/^= sin^cost ex(c) 

^^ = sin Jsin i 4" cos J cos i cos * ex (cQ, (c), (/) et (a) 

a^^=8in^sini ex(e) 

^^^ = — sin Jcos i -f- cos Jsin i cos $ ex {g) 

lam substitutis aequationibus (34) in formula 

J^ = {x—a!y 4- (y— y')* + (^-«T 
elicitur propter aequationes conditionales (35) 

. ^^x^+r^+r^+r «-2 (««'+«,<+«yj xr- 2 («p^+c/.+a/jxr 

-2(^'+ft«'+p/„)X'r-2(^+^/+ft/„)ry' 

Valoribns vero ipsanim «, ^, etc. «,, |3,, etc. ex (36) et (38) peten- 
dis snbstitDtis, emergant 

««' 4- «,< + «y„ = 1 

«^ + «/, + « /. = « 

, ^«'+ft< + ft,<, = 

^^ + ^/, + ^,/„ = cos 1 

Expressio ig^tur praecedens ipsius /f^ si insuper yalores ipsarum X, F, 
X^ atque Y' substituti erunt, abit in 

J*=r^ +r'"_2rr'cos (v-fl-*) cos (i;'-^- ^— 2r/ cos Jsin (t).fl-*) sin(t)'.^ V) 

quae, positb 

(39) j 9 = ^ + /cosicM = c& + X — « 

I ^= 5F+/cosiW= y+z — cj' 

propter aequationem (32) et eius similem ad corpus ni pertinentem transit 
in hanc 

(40) ...M. J* = r* 4- ^'' — 2r/ cos (v - 9?) cos {v- 1^) — 2rr^ cos J sin (v^- 9) sin (»',- -^) 
Hinc et quum, facili transformatione instituta, sit 



iJ2 = 



ni il ^_r*-./* ) 



ilf-Hm 



?^ ^ ^"27^^ $ 



Digitized by 



Google 



86 

manfegtinn est, iQ fanotioneni ipsanini v,, r, v\^ /, 9, ^ atque I fa- 
ctam esse. 

23. 

Qunm transformationibus in art. praec. peractis aequationes nostrae 
^j §j S^ p atque q suppeditantes , quia ex Si pendent, functiones ipsarum 
I^ q>^ '^ loco ipsamm p, q^ p', q[ factae sint, necesse est aequationes 
differentiales investigentur, quibus ralores perturbati ipsarum J, q> atque ^0 
computandi sint. Quem in finem relationibus art. praec. a triangulo sphae- 
rico inter orbitam Lunae, orbitam Solis et planum fundamentaie suppedi- 
tatb relationes adiungo trigonometricas has 

cos I z=z cos i cos i 4- sin » sin i cos (0 — 9'} ........( h) 

sin Jcos y= — cos i sin ! ^%mi co»? cos (fl — fl') ........( i) 

sin J sin 5^= sin i sin (9—6^) ( h) 

sin J cos ^ = cosi' sin i — sin ! cos i cos (9 — 9^) (i) 

cos *P = cos (9 — 9') cos $ — sin (9 — fl') sin $ cos t ........(m) 

cos ! sin y = sin (9 — 9') cos ^ -}* ^^ (^ — O «n ^ cos i (n) 

cos Jsin y = cos (9 — 9') sin C& -}* «"^ (® — ^') co* ^ ^^^ i ........( 0) 

cos i = cos J cos i* — sin Jtin i' cos V {^p) 

quas idem triangulus subministrat. Differeotiata relatione (ft), adinmento 
relationum (cQ, (i), (£) atque (2) statim prodit 

dl=i cos $€« — cos Vd! + sin i sin O^dW — sin 1" sin 9W 
Differentiata relatione (m), ope (jt)^ (0) JUt^pi^ (i) naiiqscimfr 1 

d<F= cos Jd$ *f cof r (dtf— d80-~ Bin Jsin «rfi 
Eodem modo relatio (a) una cum (6), (e) atqne (ci) suppieditat 

d<5 = cos Jdy — cos i {dd—dff) + sin Jsm Vdt 

Eiiminata tum dV tum d^ ex his aeqoationibus , nanciscimur 

d$ = (cos 1" cos J- cos f) cosec' J (dfl - dfi') — cotg Jsin ^di -|- cosec Jsin *Par 
dV=- {cos z ' cos i CO& I) cosec^ I^dS-dff) — cosecJsincPdi^-cotg IsiaVdi 

Aequationes yero (39) differentiatae praebeni 

d(p = d#4-cosid0 , d^ = d9^+cos/d0' 



Digitized by 



Google 



uade adiitmeiito aecjvatibnam pntecedcnlaiim d^ tt dV suppeditaiitiiim et 

relationum (/) et (p) elicitur 

d<p = cotg /sin jcos ^d6 'Coseclsini cosVdff- cotg /sin^di-j-cosec/sin Vdi 

c/^ = cosec/sinicosCPdd+cotg /sin/cos^Fdd^-cosec/sinfl^di-f-cotg /sin Wdz 

Differentialibus c/i, d6^ di", dS^ ope diflferentialium dp^ dq^ dp' j d({ 
eliniinaudis inserviunt aequationes hae 

lii = 8in (r — o) -^ + cos(y — o) — ^ 

sinidd = cosOf— cp)^ — 8in(x— CD) A 

dr = sin {%'— aO ^ + cos (x'— aO -^. 

^*' -^ C08 1 • ^ -^ C08 f 

sin idk' — co8 (y'-^') -^ — sin (x'-iD') -^ 

^ -^ C08 1 ^ ^ C08 1 

quae facili opera ex aequationibus art. 3. deriyantur. Eliminatione ex ae- 
quationibus d/, d^ atque cf^ suppeditantibus instituta, obtin^tur adiumento 
aequationum (39) 

/ d/= sin qp — ^+cosqp — ^ — sin^ifr — ^— • cosi^— ^ 

i ^ C08 1 ^ C08 1 COS t C08 1 

(**) < dcp=cotfir /lcos cp— ^ — sincp — ^j — cosec/fcos^ifr— ^ — sin^ifr — —\ 

\ ^ ^ \ ^COSt ^COSlJ ( ^COSf ^cost) 

f d^ = co8ec/|co8 qp— A- — 8incp--^|— cotir /lcos-^— ^— sin^— ^j 

^ ^ ( ^ C08 1 ^ C08 1 ) ® ( C08 r ^ C08 1 ) 

"^) quae igitur aequationes relationes diflferentiales inter /, ^), ^ atque p^ 
q^ p\ 4 suppeditant, et substitutis valoribus ipsarum dp et dq per ae- 
quationes (33), nec non Taloribus ipsarum djp' et d([ per aeqnationes 
his analogas datis, aequationes subministrant, quibns Talores perturbati 
ipsarum /, 9 et ^ computandi sunt. lam nunc quidem, quum Sl limctif 
habeatur ipsarum /, ^ et 'V'? necesse est quotientes diflferentiales ipsius Si 
respectu p ci q^ qui in aequationibus (33) continentur, in quotientes diffe* 
rentiales respectu I, (p ei ip transferantur. Quem in finem consideretur i2 



*) Anfmadvertendam ett, In Astr. Nacbr. No. 244, abi transfonnatfonei praecedente« pflmug 
dedi , formnlam pro qnantitate d%p — d(p illic dtp, — dg) denotata lignnm inTersum caia ob- 
tinniMe, et hoc errore correcto, formulaf hid (41) respondeutes signum iuTergum habere, 
quia boc loco alteram orbitarum m et m' intersectlonem in calcolam rooavi. 



Digitized by 



Google 



ef tangvam fnnctio ipsannn p^ q^ p' y 9\ ei tanqnam fmiGtio ipsanm /, 
g) et ^0, unde 



manente ^ eadem ut antea. 



Digitized by 



Google ''^ 



88 

Subsiitutis his ipsarum dp^ dq^ dp atque d^ yaloribus in aequatio- 
nibus (41)9 nanciscimur 

(«)L= p^C^ 7C^d, + pg=;C««/Cf7)* 

}dif= ^ cosec J| 17: ) dt A z=zr coifi: lC-rri ^' 

quae ad problema generale trium corporum spectant Hoc quidem proble- 
ma soluturi, nunc novem aequationes totidem yariabiles independentes co^ 
hibentes habemus, aequationes puta in praecedentibus pro ^^ ^^ Sj ^, ^ 
et iS^ evolutas et aequationes (44) pro J, 9 et '^, quae novem aequatio- 
nes siinultanee integrandae sunt. Quibus factis, ralores perturbati ipsarum 
Zy w^ S^ z' y w ^ Sij I, (p et ^ innotescunt, qui solam Tariabilem t con« 
tinent, quamobrem post substitutos hos yalores aequationes (42) yalores 
perturbatos ipsarum p atque q^ et aequationes (43) yalores perturbatos 
ipsarum p' atque q' suppeditabunt. 

In theoria Lunae, ubi yalores perturbati ipsarum p' atque q' noti sunt, 
yalores solummodo ipsarum dp atque dq ex aequationibus (42) petendos 
in aequationibus (41) substituo, unde 

Idl = - ^, I ( 3— I cotff/ + ( -rrt cosecJ \dt — sin'^— ^ — cosiA — ^^ 
\ri_e» Lv^g) ^ ® Vd^ ^ J cos f ^ cos t 

In hac igitur theoria nunc sex habemus aequationes totidem yariabiles 
independentes cohibentes, aequationes puta pro ^, ^ et iS et aequationes 
praecedentes pro i, (p atque '^, quae simuitanee i;ntegrandae sunt. Quum 
yero in hac theoria yalores ipsarum (p et '^ tali modo coniuncti sint, ut 
alter ex altero facillima opera eliciatur, reyera nunc ut antea quinque ae- 
quationes simultanee integrandae sunt. Elicitis yaloribus perturbatis ipsa- 
rum J, (p et '^, aequationes (42) integratione yalores perturbatos ipsarum 
p et q suppeditant, quibus latitudo Lunae et reductio longitudinis v^ ad 
plannm, ad quod latitudo refertivr, computandae sunt. 



Digitized by 



Google 



nbi / et r anomaliam veram et radium vectorem ipsis 9 et ^ art. 13. re- 

12 



Digitized by 



Google y 



96 

spondentes , et f atque V qnantitates analogas ad Solem spectantes deno- 
tant, evadit 

^*=fVi^+rW— 2rFcH"t^co8*iJcos|7— /4-(n)(^^ 

— 2FfW«^* sin'i/cosl7+/'4-(»)(y+y)<+(^4.^)-^ 
Si ezpressio faaec in faac ipsius Sl expressione 

^^-M^y-j-^ ^^ \ 

substitttta fnerit, erit post eyolutionem in seriem, in qua w et ti;' negligun- 
tur et anomaliae mediae g et ^ resp. loco (71)2 et {ji^i substituuntur, 
terminus generalis ipsius Sl huius formae 

Xcos|«5-+r^'+r[(„)(yV)m''-«')-(9M^)]+'l(«)(y+y')'+(«+«')-(<H^^ 

denotante X functionem aliquam ipsarum (a), (a'), (e), (c), / et nume- 
rorum integrorum i, 1", i" atque i"'. 

Habita ratione ipsarum w atque ti;', nec non differentiarum inter g 
atque {n)z et g*' atque {ft)z'y ope aequationum in praecedentibus eru- 
tarum facile clemonstratur terminum hunc generalem eandem formam 
conseryare^ neque aliud iocum habere, si aut Si aut quotientes differentia- 

les ipsius (i per vaiorem ipsius r7|=) V^ e«t (A) c""('^+*), muitiplicata» 
fiierint. 

Quibus praemissis consideremus terminos aequationum (45), qui ex 
dp et dq' non pendent. Si in approximatione prima J, q> atque «^ con- 

stantes ponimus, erit {^jfj series infinita, cuius terminus generaiis hnins for- 
mae est 

\.T~J s^"®^"» cui^is terminus generalis huius formae est 

(,•"+.•"') Xsin lig-\-rg'-\-i" [(n)M)t-\-i:t-:^y(sp-^)]-{-i" [(n)(2,-\-yy-H'cW)<9-\-m 

et \j[z,j series, cuius terminus generalis huius formae est 

-ii'-i')X»in{ig-\-fg'-\-i[in)(y-y)t-\-ia-nf)-i<p^^^^^^ 

Hinc sequitur, valorem specialem indicum hiinc i=t' = r'=^ i*" =4» 



Digitized by 



Google 



in \j-[jj terminum constantem proferre, in ipsis (.^J ^* V.d^J ^'^^ *®^*" 
minam colistantem existere non posse. Expressio igltur Ipsius dl in se- 
riem evolvitur huius formae j4 sin (ij^-f-d^cfl, expressio ipsius d(p in se* 
riem huins fbrmae hdi 4* B cos (ijt -f- d) rft et expressio ipsius d^ in se- 
riem huius formae hdt + D cos (i^t -|- d) dt^ ubi -^, B, D, ij, d, i et A 
constantes sunt, quibus conditio inest, ut pro ijirro fiat ji=B = D=zo. 
Approximatio igitur prima suppeclitat 

I = 2;^^cos(q*-fd) 

(p = *t4-27B^sin(ij< + «) 

^ = Al4--2?I>, sin(i2<4-*) 

Substitutis his valoribus in approximatione secunda ope theorematis 

Tayloriani in a^quationibus (45), non modo ^ et ^0 sed etiam I terminos 

per tempus ipsum multiplicatos continebunt, et eadem ratione intellig^tur, 

in expressionibus ipsarum ^ atque ^ in approximatione secunda yalores 

praecedentes ipsarum (p atque ^0 terminos per tempus ipsum muitiplicatos 

introducturos esse. Qui termini oranes amoTentur adiungendo statim in ap- 

proximatione prima kt ad (p et ht ad '^. Sed aliud incommodum grave 

nascetur factoribus cotg I atque cosec /, qui in expressionibus ipsarum dxp 

61 
atque d^ continentur, et in approximatione secunda factores — 'S^T 

atque iJiTi" praebebunt, e quibus propter parvulam orbitae Lunae ad 

orbitam Solis inclinationem termini permagni prodituri sunt, qui in ap- 
pronmationibus subsequentibus instituendis series divergentes efBcient. 
Quae quum ita sint, necesse est transformationes introducantur, de quibus 
in articulis sequentibus sermo erit. 

25. 

Sint 

^+^— (<F+^)— 2(ii)at = 2iV , ^—^r' — (9— ^)+2(ii)i2t = 2K ......(46) 

ubi quantitates a et ij adhuc indeterminatae sunt. Substitutis his yaloribus 
in expressione ipsius ^l in art. praec. data, nanciscimur 

J^=rV«^-f?'W— 2?rW«^cos^x/cos [/— /+(n)(y— y— 2i2)^+2fi] 
— ^rrWii^sm* i /co6 [/4^+ (n)(y+y 4.2^)1+2 JV] 

12 ♦ 



Digitized by 



Google 



08 

et terminum generalem in eToluta quantitate Si hnnc 
Xcos l.-^+»V+i" [2hJ^in)(i,-y'-2ri)t]'{-i"' [2v-{-(n)(if^jf'+2a)t]i 
designante h constantem terminum, qui in yalore integro ipsins £, et i^ 
constantem terminum, qui in yalore integro ipsius N continetur. Si 
porro sint 

P=2sin^Jsin(iV— v) , g = 2 sini IcosiN—v) 

quantitates P, ^ et £ loco /, (p ei ij) pro yariabilibus independentibus 
habendae sunt. Aequationes praecedentes differentiatae praebent 

r^T^ i dP = dl cos 1 1 sin (N— v) + 2dN sin | J cos (N— v) 

\ dQ = dl cos i I cos (JV— v) — 2dN sin ^ J sin {N—v) 

Aequationes yero (46) suppeditant 

^dN^z—^dfp—d^ , 2dK = —d(p^dil} 

Considerata autem £i et tanquam functione ipsarum J, (p et '^j et 
tanquam functione ipsarum P, ^ et JC, habetur 

unde adiumento aequationum praecedentium nanciscimur 

(«'"-JO = - df)* i^c«K^-')+ dD""i"» (^-)-i(S) 

(Cf) = -CS)*.i/c.s(«-.)+ 01)'" i^»'- (*-)+iCS) 
unde 

(^) cotg J-f (^) cosec J=— (^) cos ^ Jcos (iV— v) + (^) cos § Jsin (JV— p) 
Cy <="*«^+ C^)««s««^=— CS) cos I: Jcos (iV— V) 4- C^) cos i Jsin iN—v) 



Digitized by 



Google 



un 



V 
hi 

dF 
dt 



dq 

dt 



d& 

dt 



qi 

(4 

dt 
dt 
dq 

dt 

dM 
di 

qiiae igitur aeqaationes ad problema geaerale triam corporum spectant» 



Digitized by 



Google^ 



26. 

Aequationibiis (49) theorema notum demonstrari potest, secundum 
quod inclinatio mutua orbitarum Lunae et Terrae nodorumque motus len- 
tissima orbitae terrae in spatio transpositione, yi attractiya planetarum pro- 
ducta, non afficitur. 

Habetur enim, si quadratum temporis negligitur, 

p z= tb cos! , 4 — ^ ^i ^^' ^ 

ubi h^ yariatio annua obliquitatis eclipticae, et 6 quantitas est, e qua diflfe- 
rentia inter praecessionem lunisolarem et praecessionem generalem potinsi* 
mum pendet. Hinc 

_^ = 5 et -Hr^ = h, 
cost dt cost dt ' 

Substitutis his yaloribns in aequationibus (49) pro P et ^, nanciscimur 
post integrationem , in qua J et JR. pro constantibus haberi licitum est , in 
ipsa P terminos hos 

et in Q terminos hos 

^'''^' cos K-^-f K-(«) («+ 1?) n + /'7^1/, sin [«r- ,+K-(«)(«+,,)l] 



Termini igitur in ipsis p' et q' per tempus ipsum multiplicati in inclinatione 
mutua Lunae orbitae et Terrae, et in longitudine nodorum similes ter- 
minos non producunt, sed loco eorum terminos periodicos praecedentes 
gignunt, quorum periodus reyolutioni integrae nodorum horum aequatur. 
Si in p' et q[ ad terminos per temporis quadratum multiplicatos respicitnr, 
termini in ipsis P et ^ inyeniuntur huius formae 

ubi h constans. Qul igitur termini eandem habent periodum atque illi, 
sed eorum coefficiens tempori proportionalis est. Sunt yero termini hi 
quam minutissimi, itaque negligendL 



Digitized by 



Google 



05 



27. 

Ut aeqsationes (49) per plures deinceps approximationes integrari 
possint, oportet yalores approximatos ipsarum P, ^ et £ ab exordio no- 
tos esse, quorum substitutione aequationes (49) post integrationes peractas 
yalores accuratiores earundem quantitatuin suppeditent. Ad valores taies 
eruendos aequationibus generalioribus (50) utemur. 

Deligamus terminos ipsarum Si ei Sif ab arcubus (n)z et in)z' inde- 
pendentes. lam satis notum est terminos hos solummodo ex distantia mu- 
tua ^, quae in ipsis £i et £i' continetur, nasci posse, quare pono pro 
hoc calculo 

^ ^__^ tn 1 ^ m I 



Ex forma vero ipsius J in art. 25* inyenta manifestum est, terminos hos 

1 



in ipsa -j- huius formae esse debere 



€— 2fisin"JJ 
abi € ab inciinatione I indepeiidens, et (i huius formae est, fi^ -^ fi^, sin^ ^ I 
•^ (*,,, sin* i" ^4" ^' ^^^ V',^ f*//9 ^^' *^ ^ independcntes sunt, et ft^ 
necessario quantitas positiya est. Aequationeg 

P = 2sin^Jsin(iV— v) 
g = 2 8m^ Jcos(iV— v) 
SHppeditant P* 4* ^ = ^ ^i"^* i ^? itaque 

Quum in calculo, quem hoc loco peragemus, fc constans censeri possit^ ae- 
quationes praecedentes subministrant 

rfg_ m p da_ m ^ dSl_ 

dP— M^m^^ ' d«— "AfH-m'*" ' d^— ^ 

d^ m p iiftr_ m dH _ 

dP— M^ni^^ ' Iq-^M^ni^V '^ dR—'^ 

Posita constante «, quam in art. 2. Sed !• introduximus , unitati ae- 
quali, habetur 



Digitized by 



Google 



96 

an Jif-4-iii flV M-^fn 

Substitutis his yaloribus omiiibns in aequationibus (50), nanciscimttr 
^ = ~|(„)«-m'-^ cosHl-m-A-cos'iJ|9 
(51)......{ ^ = |(„)„_W-^ cosH/~m -^ cos'iI^P 

^= („)« — m'-^ sin' ^I + i„ -A- 8m'i J 

ubi brevitatis gratia 

a^Y^^ = M? et a'*n' KT^V^ — w' 
posui. Quum in his aequationibus ipsas u? , u?' et cos^ ^ / pro constanti- 
bus haberi iiceat, primis duabus aequationibus satisfacies, si ponis 

(52) («)« = i"^ + -y-j {*«««' H^) 

P= c 

9 = c, 

ubi (/) yalor constans et quasi medius ipsius J, et C atque C^ duae ccm* 
stantes sunt. His constautibus determinandis inserriunt aequationes hae 

C = 2sm|Isin(iV— v) 
q= 2sin^Icos(iV— v) 

ubi in membro ad dextram ralores constantes ipsarum I ei N ponendi 
sunt. Valorem constantem ipsius I modo (J) appeUayimns, et valorem 
constantem ipsius N in art. 25. definivimus esse v; substitntis his valo- 
ribus nanciscimur 

C = 

q = 2 sin* I ( J) 
unde pro approximatione prima evadit 

9 = 2sini(J) 
Substitutis his valoribus in tertia aequatione (51), et posita 



(")i=iv--v-!<'"»'*(^ 



Digitized by 



Google 



97 

habetur 

dK 

unde 

K = i 

denotante h tenniniim ommno constantem in valore ipsins K, sicuti iam in 
art. 25. definiyimas. 

28. 

Ex analysi art. praec. emersenmt yalores ipsarum P, Q^ K, a 
et r^ in approximatione prima in aequationibns (50) substituendi; qui- 
bus substitutis et integrationibus peractis, termini per tempus ipsum 
multiplicati oriri non possunt, quia arbitrarias a et 9} ita determinaTi- 
mus, ut hi termini evanuerint. Valores vero ipsarum P, Q ei Ky quos 
tali modo approximatio prima suppeditabit, yeris earum taloribus magb 
appropinquant , et in approximatione secunda substituendi sunt. Quo fa- 

ctum erit, ut in aequationibus pro ^;^ ^t -^ termini constantes orituri 

sint, qui post integrationes peractas terminos per tempus ipsum mul- 
tipiicatos prodant, qui yero termini, additis terminis correctionis {n)6a 
et {n)6ri resp. ad (n)a et (11)129 et determinatis 6a et ihfi ita ut ter- 

mini hi constantes in approximatione secunda ex aequationibus pro -^ 

dK 

et-^ orituri evanescant , toUuntur; et sic porro in approximationibus subse- 

quentibus. Calculis igitur omnino absolutis, P, ^ et K terminos per tempus 

ipsum multiplicatos non contiaebunt, et a atque i^ habebunt yalores in 

art. praec. inventos, quibus vero termini e quadrato potestatibusque altiori- 

bus Tis perturbantis pendentes accesserint. Notandum est terminos, de qui* 

* jp jj^ 

bus locuti sumus, solummodo ex aequationibus pro ^ ^t ^ toliendos esse, 

in aequatione enim pro ^ termini tales oriri nequeunt, id quod per cal- 

culum praeparatorium art. praec. effecimus. 

Quae in praecedentibus de aequationibus (50) disseruimus, nulla fere 
mutatione facta ad aequationes (49), quae praecipue ad theoriam Lunae 

spectant, applicari poggani In his aeqoationibas terminus -^ ^ \n tenni- 

13 



Digitized by 



Google 



nis, qui per Aj^ et d^l mnltiplicati sunt, continetur, sed qnom \sl hat 
Lnnae theoria denotet rri massam Solis et m massam Lunae per eandem 

unitatem expressas, terminns -^ (i ne minimam quidem yim habet, ita ut 

loco yalorum ipsarum a et ij, qui in casu generali problematis trium cor- 
porum per aequationes (52) et (53) dati sunt, habeamus in approzima* 
tione prima ad perturbationes Lunae obtinendas instituenda 

(n)a = -^ (tco8'|(/) 

K Porro forma ea, sub qua ipsas (n')^' et r^ in artt. 7. et 16. in theo- 
lia Lunae admisimus, efficiet ut in" approximatione secunda et subsequenti- 
bus termini adsint huius formae ct^^^cf 4* ^^^ ^^ ^9 ^,9 ^^^ constantes 
sunt. Hinc factum erit, ut a et 9} non omnino constantes sint, sed huius 
formae 

« = «, + «„(»)* + ««,(»)' «' + «*«• 

^ = •?, + ^(«)* + n,,^^^ '* + e*c- 

ubi c^, «^, «^^^, etc. et i^ , i^^ , « , etc. verae constantes sunt Multipli- 
catis his aeqnationibus per Ai^ integratione facta habetur 

«t = (« + i «»« + \ «„(«)' *" + «tc) « 
,< = (,, + |,,»« + fi^»'l' + etc.)« 

qui Talores loco af et i}( in expressione ipsius A in art. 35. data substi- 
tuendi sunt , veluti in art. 7. inyenimus expressionem hanc 

y* = (ar, + ly»« + iy»'*' + etc.)* 

ioco ^f in expressione ipsius A quoque substituendam esse. Quae quidem 
sunt, quibus integratio aequationum (49) ab integratione aequationum (50) 
differt. 

Ad aequationes illas integrandas necesse non est quantitas Sl revera 
in functione ipsarum P, ^ et K exhibeatur; considerata enim Sl et tan- 
quam functione ipsarum P, ^ atque K, et tanquam functione ipsamm 
/, JV atque K, habetur 



Digitized by 



Google 



nfld 



quat 



e q 
nint 
attri 



P = 

aeqaationes (54) praebent pro hac approximatione 

dpJ — yjLNJ 2gini(i) ~ ^dvJ 28lnf(/) 

dqJ ~ y^iyJ C08 j (/) 

et qanm in eadem approximatione K=:& ponendum sit, hahetur 

dD=Cf> 

Adiumento harum aequationom aeqoatkmea (49)' J^ approximatione piima 
ita se habent, 

13 ♦ 



Digitized by 



Google 



100 

'^=-2(«)«8mi(I)-A^(^^ cosX(J) 

^ cos i (I) C08 K-v+H»)^» WO- -ii^osiWsH^^-H^r-^n)^*.^.,,)*] 



C08 



(55)\ j ' j ' 

"-^*'°«^(^)^^°t«'-«'+H«)(«4^)0-^^cosi(i)cos[«'-t4-ft-(n)(c4^)«] 

''^— r«-»« J_ i (aHn)^d£l^ ♦„ i f rk 

-^_ („),,4.i___^_.jtgi(j) 

+^c-^*«^(^<=*'^f'^-^*-(«K»+^)*>t^^*e^(^«*'"['^-H-H«)(«4^^^ 



Substitutis igitur in quotientibus differentialibus ipsius Si in aequatio* 
nibus (55) non modo {I), v ei k loco J, JV et K, sed etiam yaloribus 

ipsarum /, /', f et F per g et resp. per g' expressis, factisque w=iq 
et w' -= o^ aequationes hae functiones solius variabilis ( sunt, quae, de* 
terminatis a atque ij secundum regulam modo traditam, facili opera ita in* 
tegrari possunt, ut termini per tempus ipsum multiplicati non adsint Con* 
stantes. vero his integralibus addendae sunt ipsi P cifra ipsa, ipsi Q** 
2 sin § (!) et ipsi K . . £. Tali igitur modo valores accuratiores ipsarum 
P, Q ei K innotescunt, qui approximationi secundae absolyendae in- 
servient. 

In hac secunda approximatione adduntur resp. dP, iQ et 8K ad ya- 
lores ipsarum P, Q atque A, et habetur 

6P = ei ipsius P yaiori, quem approximatio prima prodiderat; 

dQ = — 2 sin f ( J) -j- analogo ipsius Q yaiori; 

dK = — fe -}- analogo ipsius K yalori. 

In approximatione secunda etiam ipsarum (n)dz, SlVj 6lh, (n)6z et 

6lr' ratio habenda est, et sic porro in approximationibus subsequentibus, 
si his opus erit. 

lisdem rationibus, quas in his articulis explicayi, substituuntur in ae- 

quationibus differentialibus illis, quae integratione yalores ipsarum ^, ^ et 
S praebent, in approximatione prima (J), i^ et i loco J, iV, K; in ap- 

proximatione yero secunda et subsequentibus non modo incrementorum 



Digitized by 



Google 



101 

(n)d£^, dlQj in)dsi^ etc, quae snpra explicaTi, sed etiam incrementomm 
dP, dQ et SK^ quae in hoc articulo explicata sunt, ratio habenda est 

29. 

Analysis in praecedentibus exposita in fine calculi valores veros ipsa- 
rum (n)2, w^ Pj Q ei K suppeditabit, restat igitnr ut ope harum quantita* 
tum yalores yeri ipsarum p ei q^ e quibus latitudo Lunae supra planum 
fimdamentale seu proiectionis et reductio longitudinis ad idem planum pen- 
dent, inyestigentur. Cui computationi insenriunt aequationes (42). Quae 
aequationes, in quibus Si pro fiinctione ipsarum Ij (p ei il> habita est, ante 
omnia in alias transformandae sunt, in quibus Si pro functione ipsarum 
P, Q ei K haberi potesi. Haec autem transformatio aequationibus (48) 
et (46) perficitur, et calculo peracto nanciscimur 

et eodem modo, si problema generale trium corporum consideratur, nan- 
ciscimur ex (43) 

«'i''=-1^lC7|)«»'i'-CS)filr>°'t^-+«-«<'H^'i* 
-^'lCS)-i^+C^i^,!''°K-'+-«-(»)(«+^)']<« 

«'«'=- °^'iCS)- i '+ CS)nlpi -K-+K- w(^,)<]* 
+p=iC^)-i'-C^n^,!'-[''-+«-(»)(»+^)']* 

Quae aequationes, si cos t et cos i' excipis, fnnctiones sunt quantitatum 
(n) Zj Wj S, (n) s , w\ S', P, P atque jK, quae secundum praecedentia no- 
tae et in functione solius yariabilis ( exhibitae supponi possunt. Aequatio- 
nes igitur hae pro functionibus temporis et ipsarum cosi et cosT, sive quum 



Digitized by 



Google 



m 

cos i Ts: Ki— p* — ^ atqiia cos / = j^TZyair^ 

sit, pro functionibus temporis et ipsarum Pj q^ f^ ei q' haberi possniit 
Quae conditio eflficit, ut in integralibus eanim termini nascantur, qui per 
tempus ipsum multiplicati essent, nec admitti possent. Ad hos termi- 
nos toliendos transformationem et int^randi methoduin assequntoa sum, 
quam statim expUcabo. Sint 

p^ = sin i sin (jf— © + (w)cf -f- D) 

q^ — sin/ cos {% — OJ + (w)cf -f" D) 

p\ = sin / sin (/— ©' + (n) t't + IT) 

^; = sinTcOS (;('_(d'+ (ll)€'« +1/) 

ubi B^ t\ D ei ly constantes indeterminatae sunt Quum vero secundum 
art ttlt. Sect. I. sit 

p = sin f sin (x — ©) 
9 = sin a cos (% — o) 
quibus similes sunt hae, quae ad corpus m' spectant 

p' =z sini' sin (% — <o) 
q' =z sinT cos (x — o) 
JPp 9,5 p\ et q'^ ita quoque exprimi possunt 

p^ z=z p cos [(n) e« 4- JD] -{. j- gin [(n) it -f D] 
5, = —p sin [(n)t* -j- /)] ^- y cos [(n) tt -j- D] 
1»; =, p'co8 [(n)«'«4-iy] + g'8in [(n) *'*+!>'] 
^, =— i»'8ln[(n)6'«-f-JD'] -f 5'cos[(n)£'«-j-iX] 
e quibns differentiando inTeniuntor hae 

-^= (»)*?, + -|-cos[(».)rf4-I>]-t-g-8in[(«)rf.fI>l 

^ = - (.)^, - ^sin [(«)6«-fD] -I- ^ C08 [(«)rf 4- D] 

^= («)a'9',+ -|lcos[(n).'i4-D']4-^ sin [(«^al+^] 

^ = - („)a'p' - -|lsin [(„).'l4-D'] 4-|- cos [(n)a'«.fin 

quae aequationes , substitutis yaloribus ipsarum ^ > ^ > "i^ .®* ^1 ^^ prae- 
cedentibns aequationibus desumendis, transeunt in has 



Digitized by 



Google 



108 



Digitized by 



Google 



(57). 



104 

30. 

Quum 

cos i = Ki— p^2-.g,a atque cos t = KiH^/SZ^/^ 

et quum P, ^, £, (^)^9 ^^^- ^^™ computatas ideoqne in functione tem* 
poris expressas esse supponatur, aeqnationes praecedentes, ut iam dixi, 
functiones ipsarum p^^ q^^ p\ , ^^ et temporis f sunt Ppsitis ig^tur bre- 
vitatis caussa 

-v?5lGt)-.'+GDiip! ■'■<-« 

- v^lbpJ -• i '+ td^ A-dTTil "" ^''-'^ 

•^*= - vTl^l tdP J -"i '+ 1^:^)4-^;! '»« <*^- «^) 
. a'ii' (rd^'^ . rdsa^ p ) 



'4 CO8 i I) 

emnt /(, 7^9 /^' ^^ 7' functiones notae solius variabilis t. Substitutis 
his quantitatibus in aequationibus in fine art. praec. inyentis, nanciscimur 

^= (n)ia-r})q^-ft.cosi 

-^ = — («)(«— «j)l», — ^«.cosi 
(58)....../ dp, 



dt 



= (n)(« + i?)9',-l-/'«.cosi' 
^ = -{n){a^ri)p\Jr^t.co,i 
Ad has aequationes integrandas pono 

cos i == u 5 cos z = u 
unde 



Digitized by 



Google 



105 

Quae aeqaationes differentiatae suppeditant 

Substitutis Taloribus ipsarnm ^;^ » ^ » "^ «* ^^ e^ aequationibug (58) 

desnmendis in hia aequationibns, substitutisque u loco cos t et u' loco cos a', 
nanciscimur 

|i= (n)ia-ri)q,-uft 
§= — («) («—i?) J», — « 9» * 

^=- K/'* -9'y* 

^= (n)(a + i?)9',4-»r< 
^ = _(„)(« + ,^)j,;+«>'* 

Quatuor igitor aequationeg (58) per hanc transformationem in sex aequatio- 
nes differentiales lineares primi ordinis cum coefficientibus yariabilibus trans- 
formatae sunt, quarum tres priores et tres posteriores simultanee integran- 
dae sunt. Ad has integrationes perficiendas consideremus mdolem functio- 
num ^f et (pt. Ex praecedentibus sequitur K — h esse seriem mfinitam, 
cuius terminus generalis huins formae est ^ sin (j3f ^ B), designantibus ^, 
P et JB^ constantes, quae series ita comparata est, ut terminum onmino con- 
stantem non habeat. sin {K — h) igitnr est series eiusdem formae, et 
cos {K — h) est series, cuius terminus primus est unitas ipsa et ter- 
mini reliqui per formam hanc jf cos (fit -j- B) repraesentari possunt. Quan- 
titas 

est series, cuios tenninus generalis est huius foimae C cos (pt-\-B) et 
quantitas 

14 



..(59) 



Digitized by 



Google 



196 

an (fdSl^ , , r^Sir^ Q 



V^iZ?" ( V. dP^ 2 KdX:^ 4 C08 i /) 

series, cuius terminus generalb est huias formae C sin (pt -}- E)^ et in 
omnibus his seriebus yalores sihguli ipsarum ^ et J3 in quoque argumento 
coniuncti iidem sunt lam quum muitipiicatione cosinus per cosinum et 
sinus per sinum prodeat cosinus et multiplicatione cosinus per sinum 
prodeat sinus , ex forma serierum allata sequitur , in ft terminnm omnino 
constantem contineri, in (pt vero talem terminum contineri non posse. Et 
eodem modo demonstratur, in ft terminum constantem contineri, in (pt vero 
talem terminum contineri non posse. Quibus positis , sit (n) c terminus con- 
stans VOL ft^ et (n) d terminus constans in f't. Si igitur primum ad ter- 
minos tantum aequationum praecedentium linearium, quorum coefficientes 
constantes sunt, respicimus, nanciscimur 



^ = (n) {a—ri) q^ — (n)cu 



^= (n)(a + ^)j; + (n)cV 

^=-(n)x:^+n)p\ 

His aequationibns, ut notam est, satisfaciunt valores variabilium hi 

p^=:CeP* ; q^=CeP* ; u=C,,e?* 
p'=Ce?t i q',=:C,eP't ; u'=-.C„e<»'' 

ubi C, C, C^^, C^ C^j C^^, /} atque ^ constantes adhuc indeterminatae et 
e basis logarithmorum hyperbolicorum est. Substitutis his yaioribus varia- 
biiium in aequationibus differentialibus praecedentibus, nanciscimur ad ipsas 
|i et p^ determinandas aequationes has 

P = (n)]r-(«-i?)^-c^ ; ^ = (n)]r-(«+^)»-,^2 
qui yalores, qonm imaginarii sint, manifestant aequationes nostras per sinus 
et cosinus arcuum realium semper integrari posse. Quare suppono esse 



Digitized by 



Google 



101 



quae propter tres constantes arbitrariaa C, C^ et 9 integralia integra triani 
priorum aequationum diflferentialium nostrarum sunt. Sed inter quantitates 
P/9 % ^^ ^ intercedit aequatio conditionalis haec 

quare una quaeque illarum constantium e reliquis pendet. Ut aequatio condi- 
tionalb inter constantes arbitrarias obtineatur, substituantur valores ipsa- 
rum jp^ q^ et u modo inventi in aequatione praecedenti, quo facto, nan- 

14* 



Digitized by 



Google 



\u =• 



108 

ciscimur aequationem identicam, e qua aequatio conditionalis inter C et C 
emergit haec 

Posita igitor C= sin T, habemns 

C = =t=-— = ^ cosT 

ubi signnm algebraicnm ex arbitrio eligi potest; elccto superiore yalores 
ipsamm p^, q^ et u denique ita se habent 

(p^ = sin r sin [(n)t |^(a— ij)* + c« — 0] 

p^^= siarco8[(«)t p-J^^FR-©] +p^^cos r 

ubi F et constantes sunt e situ plani proiectionis in spatio pendentes. 
Eodem modo ultimae tres aequationes nostrae differentiales integrantur, et 
integratae suppeditant 

ip\ = sin r' sin [(n)t pa+,,)3+</2 _ &] 
q' = ~;rS==:sin T cos [(n)f n^+^)2+^2— ^] _ ^ ^os r 

u' = ^^ "" -sinr^cos [(n)froH^+^— ®1 + - ^"^^ - cos r 
V^(«+,;)2+c'2 U ^ f V X'?^ T J -r V(«+^)2^^2 

ubi P' et & etiam constantes sunt e situ plani proiectionis in spatio pen- 
dentes. Quibus yaloribus praeliminaribus ipsarum p,^ q,j u^ p' ^ q' et u 
inyentis, ad aequationes differentiales rigorosas (59) reyertimur. Positis 

l u[/*-(n)c]=H 

(62)...... j utpt — L 

( J»,!/' — (n)c] + ?,9« = M 

priores tres aeqnationes (59) abeant in has 

^= („)(«_,,)y_(„)C«-H 

(63).-...{ ^^^^n)ia-n)p,-L 

^= (n)c;>, + M 



Digitized by 



Google 



169 

Quum tenniiii ipsaruin p,y q, el u^ quos modo integratione eruimus, 
omnium maximi sint, valores approximati ipsarum H, L ei M substitutis his 
ipsarum p^, q^ et u terminis in expressionibus (62) obtinentur. Quofactum 
erit, ut £f, L ei M functiones explicitae temporis sint, et aequationes prae- 
cedentes per methodum notam integrari possint. Hac autem integra- 
tione yalores accuratiores ipsarum p^j q^ et u innotescent, qui in (62) sub- 
stituti yalores accuratiores ipsarum H, L ei M suppeditabunt, quibus in 
praecedentibus aequationibus substitutis, integratione valores adhuc accura- 
tiores ipsarum p^^ q^ et u elicientur, et sic porro. Integratis aequationi- 
bus praecedentibus per methodum notam, integralia sub hac redigi pos- 
sunt forma 

p,— C sin 100x1-01 -jHcosl(n)st-in)xCt)2dt'¥j^\'^ 

?,= ^ Ceos lWst—0\^ C^-^-^n^M-^L^dt 

-i^^/ksin [(ii)jr^- (iiM0]*-^^j^2i-*-~itf j cos [(ii>^-(iiMO] dt 

ii=.^CcG8[(«)x/.0jH-^ C, H- ^f^^a^M^-^L^dt 

^jJh %in [(»)jf - («)j:(0]*-^ ^f\~L'-k- j itf j cos l(iOxt - (n>r(0] dt 

ubi breyitatis caussa 



feci et ubi in integrationibus (/) constans ponenda, post integrationes vero 
(() in I mutanda est. 

Si ad rigorosam aequationem conditionalem inter constantes C et C^ 
existentem indagandam hi valores ipsarum p^ q^ et u in aequatione con- 
ditionali hac 1 = ji^^-j-^^^ 4"^^ substituuntur, inyenitur primum 

1= j Csln \(ji)xt'&\ -JHcos [(ii)j:f-<«)J^(0]* -^/['^L^ ^JIf jsin [(ii):rt- (i»)x(0] A j' 
* j Ccos[(ii)jr^-©] .yifsin [(it).rt.(it)x(0]*— /j^iH- ^ Af jcos [ih)xt- (ii)x(0]*f 



Digitized by 



Google 



110 

qaae facili compataadi ratione transfertur in 

-t- \C-fHsmi(n)st-0-}dt—f^^ L^ j Jfjco8[(«)j/-0]<ftj' 

Sed facillime perspicitur, integralia ipsa, quae in hac aequatione conti- 
nentur, terminos constantes habere non posse, quadratis vero horum in- 
tegraiium terminos constantes necessario inesse debere; posita igitur 

Ij/^co8 [inist^&ldt^f^^^L^l m\ Bin [(i«)^-©]AJ' 

sive, quae eadem est aeqaatio, 

( \fHew[in)st-in)sity\dt~f^-^L^ 1 jlf j gin [in)st—in)sity\dtC 
X = term. const. in j-l-jyjy8in[(n)j:t-(n)*(0] A— /"j^^ Ji.^. jM\ cos [(«)x<— (»)x(0] *}' 

aequatio praecedens, si non msi ad terminos constantes respicitur, transit 
in hanc 

i=A + c^ + c;^ 

c 
cui valores hi 

c = Y~^ • sin r 

C=-f^A.cosr 

satisfaciunt, quibus constantes arbitrariae nostrae duae C atque C per con- 
stantem arbitrariam unam F exprimuntur. Substitutis his constantium va- 
loribus, integralia praecedentia evadunt haec' 



Digitized by 



Google 



111 

j,=^ vq=i.8inrco8 [(«)x^-©]h-^ VT^i.cosr^y^j^ 

- ^/b 8in lCn)xt - («)x(0]* — ^fl^^-^ 7 *! «<>« [(«)J^-(«)^(0]* 
i^--l Vl=I.8inrco8[(ii)jt.8]^.!!^VT=A . C08 rn-^/j^M-^ 

^. jfaBbk [(ii)Jt-(ii)x(0]& ^. ^y^j^iH-^ itfj C08 [(it)j^— (ii)j:(0] A 

Si expressio ipsius X supra inventa cnm his ipsaram jp^, 9^ et u va- 
loribus comparatar, et ponitur 

jp, = 1^1=1. 8inr[(ii)j?t—0]+djp, 

5, = ?i:?|^jZ1.8inrcos[(n)x<— 0]4--^J^l=I.cosr+d9^ 

ti = — ~-|^T=1.8inrco8[(n)art— e]-f ^^I^TO.cosr+dii 

facile invenitur 

i = term. const. in {<3^/ -f d?/ -i- «a'| ....(64*) 

qua aequatione X perfacili opera computari potest. 

Ex integralibus praecedentibus perspicuum est, terminumper tempusipsum 
multiplicatum in valoribus ipsarum jp^, q^ et u oriturum esse, si in quanti- 

tate ^ — ' M ^ L contineatur terminus constans et in quantitatibus H 

atque ^^^ Jt -f ~ ^ terminus formae SilC^)^ — ® |* Jndolem vero 

functionum ft^ ^'9 l',? 9, et u si qub perscrutatur, facile comperit, nec 
iili quantitati terminum constanltem ullo modo inesse posse, nec in his 
quantitatibus in approximatione saltem prima terminum per sinum aut per 
cosinum arcus (n) xt — multiplicatum contineri. In approximatione ta- 
men secuhda et subsequentibus fieri potest, ut termini tales in quantitati- 
bus his nascantur. Ad terminos per tempus ipsum multiplicatos , qui ex 
fais terminis in integralibus nostris nascerentur, tollendos deiigamus hos 
lermiiios. Suppono igitur in apjuroximatione secunda inventas esse 



(64) 



Digitized by 



Google 



112 

IH = (n)J sin Tcos [(n)ar< — 0] -f- (n) J3 cos T-f etc. 
L = (n)C sin rsin [{n)xt—e] -f etc. 
M= (n)Dsin Tsin [(n)a:l — 0] -(- etc. ' 

ubi (n)B cos jT est terminas constans qui necessario una existere debet, et 
ubi etc. signum terminos denotat, qui ex angulis aliis pendent Propter 
aequationem conditionalem hanc 1 = u' -[- p^^ + q^ yalores ipsarum £f, 
1/ et M a se invicem independentes non sunt. Inter coefficientes igitur 
Ay B^ C^ D aequationes conditionales locum habere debent Ad has in- 
yeniendas substituantur valores praecedentes ipsarum 0, L ei M in ae- 
quationibus (63), et tum et aequationes hae et yalores ipsarum p^, q^ et u 
ex aequationibus (60) desumendi in aequatione conditionali hac 

^' dt ^^> dt ^ dt 
Quo facto obtinetur aeqaatio haec 
o = i ^ sin* Tsin 2 {{n)xt— &\-\-Bs\n rcos Tsin [(n)jl— 0] 

4- ^^Csin* rs\n2[{n)xt— 0]-|- -^ Csin Tcos P sin [{n)xt — 0] 

+ -^D sin» r sin 2 [in)xt — 0] — ^ D sin T cos rsin [(n)xt—e] 

quae identica esse debet, et post comparatos terminos eiusdem formae 
auppeditat 

o = a:.4 -f (a— ^) C^-cB 
= orB-i-cC— (a— )j)-D 

quae aequationes conditionales requisitae sunt. Quibus positis, ex aequa- 
tionibus (60) emergunt hae 

sin r sin [(n) xt — 0J = jp, 

sinrcos[(n)a?l — 01= q^ cosT 

^^ -^ •* a — iy *' a — t] 

smrcos[(n)arl— 0]=— ^ u +?^^C08r 

c c 

Si ultima harum aequationum per — D — multiplicata ad penultimam p» 

— C^^y^ multiplicatam additur, nanciscimur propter aequationes conditio- 

nales praecedentes 



Digitized by 



Google 



IIS 

J sin rcos [(n)xt — 0] = — - C^^ + Dti ~ B cos T 

Sabstituta hac aequatione nec non 

sin JTsin [(ii)art — 0] =|i, 

in aeqoationibus (GS), emergunt 

H=-in)Cq^ + (n)Du 
L = (n)Cp, 
M = (n) Dp^ 

Substitutis his aequationibus in (63), per se evidens est integralia no* 
stra formam suam non mutare, et solum terminorum illorum effectum in 
eo consistere, quod ad quantitatem a — tj terminum conrectionis C, et ad 
quantitatem c terminum conrectionis D addant 

Si ig^tur in approximatione secunda termini ipsarum if , Zr et M sub 
(65) allati non tam parvi sunt ut omnino negiigi possint, ponatur ubique 
in integralibus (64) 

atque c-^-D loco c ' 

et termini sub (65) allati in Taloribus ipsarum H, X et ilf deleantur. 
Quibus factis termini per tempus ipsum multiplicati in yaloribus ipsarum 
P,^ % ^^ ^ ^^^ nequeunt 

Quae quidem methodus, qua termini per tempus ipsum multiplicati ex 
P, ^^ 9, tolluntur, et generaliter methodus haec ipsas p^ et q^ suppeditans, 
dum situs plani proiectionis in spatio penitus arbitrarius, sive magnitudo an- 
guii r quaecunque est, non modo in problemate trium corporum adhiberi, 
sed etiam ad problema, ubi numerus corporum se invicem perturbantium 
quantusvis est, extendi potest 



Constantibus F, V^ et 0^, quas integrationes in erpressionibus ipsa- 
^^ P,y 9,9 ^ P,9 4, ^^ ^ introduxerunt, aequationes conditionales simpli- 
cissimae insunt Ex iis, quae in art 27. de termino constante ipsarum Sl 
atque Si protuli, sequitur valores approximatos ipsarum c et c' esse hos 

15 



Digitized by 



Google 



(66). 



(67). 



114 

(b)c = 2-^fisiii|(J)cos^(J) 
(«)c'=2^fi8Uii(J)cosi(J) 

ubi w^ w' ei 11 significationem eam habent, quam iis in art. eodem attri- 
bni. Ex eodem articulo habemus insuper 

(»)^=j-^--^JHsinH(/) 

Si igitur inclinationem reciprocam (/) cifrae aequaiem statuimus, ha 
bemus 

c = o ^ d :=iO ^ fj = 

quibus valoribus integralia (60) et (61) abeunt in haec 

p^ = sinrsin[a(n)« — 0] 
q^ = sin r cos [a (n) t — 0] 
u = cosF 

p\ = sinP sin [a (n)t — &] 
4^ = 8inrcos[«(n)t — e'] 
u' = cosr 

Quum vero in hoc casu necessario esse debeat i = i' , tertia et sexta 
hairum aequationum statim suppeditant 

cos r = cos r' 
Ut reliquae reiationes indagentur, substituuntur valores ipsarum e, «', 
D et jy in art. 29. dati in expressionibus ipsarum p,^ q,^ p\ et q' eius- 
dem articuii. Quo facto emergunt aequationes generales hae 
p^ = sin t sin [;( — & — a? -|- ^ -j- fe -j- (n) (« — ^j) q 
q^ =sinicos[jf — o — jc -{- v -^- h ^(n) {a — rj[)t] 
p\ = sini' sm \x — o' — ^J^ ^ _ fc ^- (n) («-j- ri)t] 
4^ = sinrcos^^f'— q' — jt^-fv — *-i-(^)(« + ^)0 
Sed in casu quo inclinatio reciproca evanescit, necessario quoque esse de- 
bet fl = ^\ unde % — o = /- — ^. Aequationes igitnr praecedentes primuin 
in easu quem nunc tractamus abeunt in has 



Digitized by 



Google 



m 

p^ =siiii8in[jj — CD — a ^v-^- k^ a(n)t] 
q^ = sin i cos [jj — q — :r -j- v -{"i* 4" *^ (^) '] 
p\ zzz sini sin [x — o — J^4- v — h^ a{n)t\ 
q\ — sin i cos \x — ^ — fl^+ v — h -j- a(9t)f] 

Denotantibus (9) et (^0) terminos constantes in Taloribus ipsaruni g 
et ti>^ aequationes (46) suppeditant 

flf 4. ^ _ (^) _ (^) = 2t, J (gg) 

:r_jr' — (<p) + (^) = 2* J 

sed in casu quem nunc tractamus diflferentia inter 9) et '^ evanescit, quare 
praecedentes aequationes praebent 

v-i^h — ^ — 'E 

denotante £ arcum constantem et indeterminatum. 

Quibus valoribus in expressionibus praecedentibus ipsarum ji^, 9, etc. 
substitutis, emergunt 

Aequationes igitur (66) snbministrant 

sin Tsin [«(n)l — 0] = sin V sin [«(n)* — «^ 
sin Tcos \a{n)t — 0] = sin V cos \a{n)t — &\ 
cos r = cos V 
unde 

r z=i r atque e' = 

esse sequitur, quae aequationes conditionales inter Jhas constantes sunt. In- 
tegralia igitur (61) eradunt 

p'^ = sin Tsin [(«)« ^(«+1^)2 4.0'» — ©] 

9' = (<^-^^) g.^ j^^^g r(n)^y(^^ )2,|,^2_0]— ^ ~ cosF 



(a-H<?) 



15 * 



cos r 

2 



Digitized by 



Google 



116 



32. 

Ut significatio constantiam F et inTeniatiir, animadverto fonnani ex- 
pressionuni praecedentium ipsarum p^ et q'^^ nec non expressionum (60) 
ipsarum jp^ et q^ indicare, F esse debere inclinationem plani alicuius versua 
planum fimdamentale sire ipsarum xy^ ei & arcum quendam in plano iilo 
adhuc ignoto iacentem. Statuta P = o , orbitae ambae ad planum hoc 
ignotum reducuntur, ita ut in hoc casu planum hoc sit pianum fundamen- 
taie. Quo facto, habemus 

c 
p = o ; a = 

p, = o; q^ = 



Sed quodquod planum statuis planum fiindamentale, semper forma genera 
lis ipsarum p^ 9^, p\ atque q\ sub (67) aliata locum habere debet, quare 
nunc quidem esse debent 

sin (i) = -7 — — ; sin (i) — ^, zzzr 

^^ V («-17)^ + 0» ^^ V(« + ,)»+c'^ 

(X— cj) — fl; + 1^4. ifc=:o ; Ot'— CD')~^-f V — *= 180* 

ubi (i) atque (/) denotant constantes a vi perturbanti independentes ter- 
minos inciinationum orbitarum m atque ni versus planum quod nunc fun- 
damentale est, et ubi in (x — co) atque in (][ — 0% si posterioribus aequa- 
tionibus utaris, termini quoque constantes solummodo recipiendi sunt. Sub- 
stitutis yaloribus ip^arum o^, ij, c atque c% in art. praec. datis in priori- 
bus aequationibus praecedentibus , facile inyenitur 

mw sln (/) 



sin (i) = 

sin (%) =L 



Vmk^w'^+m^w^+2mm'vnD' cos (/) 
mw sin (/) 



V m'^v/^+m^w^+2mm'ww' cos(/) 

unde manifestum est, (i) esse inclinationem orbitae m, et (f) inclinationem 
orbitae m^ yersus planum inyariabile ab ill. Laplace detectum. Nam 
formulae ^Mechanicae coelestis" suppeditant respectu huius piani, quoties 
motus duorum corporuni respectu tertii corporis considerantur , formu- 
las has 



Digitized by 



Google 



m 

o = mu^ sin t sin -f" ^'^' ^^° ^ '^^^ ^ 
o = mti; sini cos -f* m'ti;' sint' cosd' 

in quibus t, 0, t' atque ff ad pianum inyariabile spectant. In his 
quidem formulis tennini nonnulli ordinis quadrati vis perturbantis neglecti 
sunt, quae vero neglectio hoc loco, ubi non nisi termini o^^ ordinis re- 
qiectu Tis perturbantis in calculum vocantur, nullius momenti est. Quum 
sin t et sin ! semper sint quantitates positiyae, et directio motus cor- 
porum m et m' eadem supponatur, aequationes praec^dentes subministrant 
has 

mw sint = niw' Anf 

= 0^ + 180- 
quarum posterior monstrat esse debere 

Hinc adipbcimur 

sint = sinfcost' — cos/sinr 
sin^ / = sin^ t -{- sin^ i -|- 2 sin t sin j^ cos / 

e qua, eiiminato sin i ope yaloris sui j^ sin t, eyadit 

. . mw sin 1 

ont =: . 

V vi^v/l + m^^w^+^malwv/ cos i 

et eodem modo inyenitur 

mw sin / 



sm t 



quae formulae, substitutis (j), (t"), (/) resp. loco t, ?, /, cum praece- 
dentibus ipsarum sin {i) et sin (i*') yaloribus plane eongmunt. Itaque, fa- 
cta r^^io^ planum inyariabile eyasit pianum fundamentale, unde cou'- 
cluditur r esse inciinationem plani inyariabiiis yersus planum fimda* 
mentale siye ipsarum xy. 

Quibus positis, consideremus yalores ipsuimi p^ et jl^ in casu quo V 
cifirae aequalis non est. Habemus, facta t=^ o^ yalores generales hos 

p^ = sin t sin (x — © — flf + v -{- 1) | 

p\ = sin t'' sin (jj' — d — j^+v — t) )' 

el yalorem piuni eamm, a yi perturbanti independentis, termini hunc 



(69) 



Digitized by 



Google 



116 

(69*)... p, = p\ = sin r sifl (— ©) 

qui valores, substitutis in yaloribus generalibus iliis terminis constantibus et 
a vi perturbanti independentibus , qui in ipsis t, T, jj — o atque % — c/ 
continentur, congruere debent. Aequationes vero (39) et (46), facta l = o, 
suppeditant 

j^ — a}' — nf^v — k =—V 

ubi termini maximi constantes et a vi perturbanti independentes vaionmi 
ipsarum % — o, / — ^S ^ atque V solummodo recipiendi sunt. Quibus 
terminis per litteram respectivam uncis inclusam denotatis, aequationes (69) 
ope praecedentium abeunt in has 

p^ = sin (0 sin [ — ( (&)] 
p\ = sin(i)sin[-(4>)l 

quae cum (69'*') oomparatae 8ubministrant 

(0) = (9^ = 

et praeterea valorem ipsarum (t) et {t) praebent, quo tamen non utar. 
Aequatio haec monstrat, valores perturbatos ipsarum et ^ eundem ter- 
minum constantem a vi perturbanti independentem habere debere, et hunc 
ipsi aequalem esse. lam quum $ et ^ sint arcus a nodis ascendenti- 
bus orbitarum m et m' cum plano ipsarum xy usque ad nodum ascenden- 
tem orbitae m cum orbita m' extensi, et quum in plano invariabili 
iacere debeat: concluditur esse arcum a nodo ascendenti piani inva- 
riabilis cum plano fundamentali sive ipsarum xy usque ad nodum ascen- 
dentem orbitae m cum orbita m' extensum. 

Quum in motu Lunae in quantitatibus a et rj massam Lunae optimo 
iure negligere liceat, denotat in hoc motu F inclinationem orbitae Solis 
versus planum proiectionis, et arcum a nodo ascendenti orbitae Soiis cum 
hoc plano usque ad nodum ascendentem orbitae Lunae cum orbita Solis 
ductum. Propter planetamm perturbationes orbita Solis immobilis non est^ 
cuius vero motus in formulis (49) iam separatim ratkmem habuiniiis, qoam- 



Digitized by 



Google 



119 

obrem r* et @ ad hoc orbitae Solis planimi referendae sunt, quod tempori 
t =^ o respoodet. 

Integrationes ad p\^ q\ et u obtineildas non ampiius persequemnr, 
qoia integrationibus ad p^ , 9, et u obtinendas explicatis plane similes sunt. 

33. 

Denotante 8 sinum iatitudinis Lunae supra planum proiectionis , ha- 
betur 

« = sini sin (v — 6) 
sive 

8 = sin i sin (v^ — Z + ®) 
quum vero sit 

expressio ipsius 9 ita qaoque exhiberi potest 

8 = sin i sin [7+v4-*4-(«)(H-«— ^)* — Oc— o— jr-f-v-j-* + (n) (o— ij)l)] 
unde secundam aequationes (67) 

8 z= 5 sin F — ji, cos r (70) 

posita brevitatis caussa 

computatis igitur p^ et 9^, sicut in praecedentibus expiicatum est, sinus lati- 
tudinis Lunae ope formulae praecedentis facile evolvitur. 

Sit 2 longitudo Lunae ad planum proiectionis reducta: tum triangulu.s 
sphaericus rectangulus ab orbita Lunae, plano proiectioms et plano per Lunae 
locum ad planum proiectionis perpendiculariter demisso formatus suppeditat 

tg {l — 6) = cos i tg {v— fi) 

quae aequatio facile transformatur in 

•« l» ^) — 1 H- tg» J ,• CO8 2 (»-6) 

Sit 



Digitized by 



Google 



120 

t 

unde erit 

v — 6 = F— .(x— CD-{-(a— 1^— jp)(n)t — flJ+v+ft+e) 

I —V = Z— r^-f (;{_cD — fl4-(a— iy—j?)(ii)t— ^4-^4-*+©) 

Sabstitotis his aequationibus in aequatione praecedenti pro l — r, et 
positis 

p^^ = 8intsin[]f — ©-{-(a — rj — x)(n)t — a^v-^-k-^-S] 

q^^ = sinicosljf — ®4"(^ — ^ — ^)(^)* — Jf^^v-j-*"!*®] 
unde 

p^^ = p^co%[x{n)t — ©] — q^mk[x{n)t — ©] 

jT^^ = q^co^\x{n)t — 0] +jp^sin[ar(ii)< — &\ 
emergit, aequatio pro 2 — v abit in hanc 

(71) I- F, r: co-if-4-8-(a-^-x) (ii)f-4-«-v-*-0-H arc. te. < ? — ,^ ^ ^ 1 

Ut 6 ex hac expressione eliminetur, ad differentiale ipsius gi — z4"^ 
nobis refugiendum est lam habuimus 

d% •— do) = cos i dfi 



nnde 



d(«-Z + = ^-^' (dz-cto) 






Expressiones vero ipsarum p^^ et q^^ modo datae suppeditant 

J^ .= %[%-«• 

e qua differentiata elicitur' 

I - g = (»)(:r-«4.,) + ""-ar-f^lT 

sin^t 

qua expressione vaior ipsius d{p — Jf-f-^) ™^d<^ inyentus transit in hunc 

Ad expressionem ipsius l — V^ snpra datam in seriem evolyendam 
commodissime differentiale eius, in quo F pro constanti habita est, ad- 
hibetur. 



Digitized by 



Google 



121 



Digitized by 



Google 



122 

quibus adiuvantibus expressio praecedens abit in 

qi,^p,rP,A„ I ^^ _ VH^P,,—P,»^^'f + (PH^Pi^—9ii*^if^ ^'^^^K+i9„^Pii+Pi,d9„) cot^y » 

Jf (l+2f) ^ 1+** ~ 2 [l-h(p„^+q„^)+P„q„ .in 2F,+ liq,,^-p„^) C082V,]fi^p,2 - g,;^ 

Sed facili redoctione facta, eiicitur huius aequationis dextrae partis nume- 
rator aequalis huic 

— 2 iq„ cos V + p,, sm V) (dg^^ sin F — dp^, cos V) 
nec non denominatoris pars signis [ ] inciusa aequalis huic 

(1 — 9,, sin V+p„ cos F) (H-?,, sin V—pcos F) 
hinc denique emergit 

/72) <^0-^/) _ W/jf-tt+i?) 2i^^ g* -^ 

d* ~ Vl-P,,^q„^ (1 — «,/ "n K + Pi, co» ^/) U + ^/ 8>n ^/ — P„ ^ob V,) yi^p,,^^,,^ 

De eyolutione integrationeque huius expressionis infra agetur, ubi ex- 
pressiones omnes in series eyolvemus, hoc vero ioco quaedam de constan- 
tibus integralibus addendis annotanda sunt. 

Expressio praecedens integrata subministrat 

l = Il + il+r 4-/F«.dl 

ubi brevitatis caussa terminos in expressione praeccdenti integrandos per Ft 
reddidi, et ubi Tl-^-R constans huic integrationi addita est. Propter ter- 
minum in expressione (71) sub signo arc. tg. contentum altera huius con- 
stantis pars functio est ipsius F et termini constantls, qni in ipsis p et q^ 
continetur, quae quidem constantis integrae 17 -|- i2 pars reductionem ipsius 
F ad planuln proiectionis repraesentat , quae locum haberet, si solummodo 
ad terminum constantem in ipsis p^^ et q^^ existentem nobis respiciendum 
esset. Quum vero terminus constans in p^^ et q^^ sit functio ipsius F, ea 
constantis integrae TI-^-R pars, de qua sermo est, functio erit ipsarum J' 
atque F; quodsi haec pars sit JR, habetur 

t^B_ tg^irsia2r. 

* l-t-t6^irco82F, 

altera autem pars, scilicet II, vera constans est. 

Formulae praecedentes ad Lunam sive generalius ad corpus m spe- 
ctant, et eodem modo obtinetur pro corpore ni 

r = n' + B' 4- v; +/f'i ,dt 



Digitized by 



Google 



12S 

Si Tero incliiiatioiiein mutuam orbitanim m et m' cifirae aequalem 
facimns, necessario Ft atque Ft eyanescunt, unde in hoc casu emergunt 

z = n + ii 4- F 

quum vero R sit fiinetio ipsamm F atqne F, et R fimctio analoga ipsa- 
rum r atque F', habetur eo temporis momento, quo F = F' est, etiam 
A = If, et quum in casu quem nnnc tractamus hoc temporis momento 
necessario esse debeat 2 = T , elicitur ex aequatiombus praecedentibus 

n' = n 

Quum F atque F^ denotent argumenta latitudinis, quae locum ha- 
berent, si corpora m et m' in plano invariabili se moyerent, JI est 
longitudo nodi ascendentis plani invariabiiis cum plano proiectionis. 

34. 

Si formulas intueris, quibus longitudinem feductam, latitudinem, lo- 
garithmum radii yectoris eorumque perturbationes in hac commentatione 
determinavimus , facile videbis constantes ^ et ^r^, qUas in art 13. in ya- 
loribus ipsarum v^ atque t)/ inttoduximus , ex formulis omnibus evanuisse, 
neque formulas has constantes (cp) atqne (^0) continere. Constantes yero in 
his formulis existentes, quae quidem non nisi observationibus determinari 
possunt, sunt (n), (n'), (a), (a'), (e), (e'), (A), {h% (c), (c'), v, ft, (J), 
r*, O et il, quarum vero (a), (a'), (A) atque (h') e reliquis ita pendent, 
ut sit 

w = C^D' 

M=C^O* 

w = ^ 

('^)- v^. 

Bestant igitur, si massas non adnumeras, observatiominB determinandae 
duodecim constantes independentes, id quod secus se habere non potest. 
Significatio harum constantium, quam repeto, est haec: 

16* 



Digitized by 



Google 



(») 


et(n') 


(c) 


et(</) 


(e) 


et (e') 




(i) 




1' + * 



124 

motus anomalianun mediarum observati; 

anomaliae mediae tempori I = o respondentes ; 

excentricitates, quae ex obserrato maximo coefiiciente aeqaa- 
tionis centri ope formulae pure ellipticae computantur; 

inclinatio mutua media; 

arcus orbitae m inter locum perigaei corporis m et nodum 
ascendentem huius orbitae cum plano invariabili in- 
terceptus, et tempori t = o respondens; 

V— k . . . arcus orbitae m' inter locum perigaei corporis m' et nodum 
descendentem huius orbitae cum plano invariabili 
interceptus, et tempori t=o respondens; 

r* . . . inclinatio piani invariabilis versus planum proiectionis ; 

0... arcus plani invariabilis inter nodum ascendontem 
huius plani cum plano proiectionis et nodum ascenden- 
tem orbitae m tempori t = o respondentem , siye, quod 
idem punctum est, nodum descendentem orbitae m' 
tempori 1 = respondentem cum plano invariabili in- 
terceptus ; 

J7 . . . longitttdo nodi ascendentis plani invariabilis cum 
plano proiectionis. 

Quae significationes in problemate generali, ubi utriusque corporis mo- 
tus incognitus est, locum habent, in theoria vero Lunae, ubi motus 
Solis notus est, quia perturbationes, quas Luna Solis cursui affert, per- 
parvulae sunt, paullulum mutantur. In hoc problemate (n'), (c^), 
(e'), V — *+®9 r et JI ipsae datae et (w), (c), (e), v + *, 
{I) ei ex motn Lunae observationibus eliciendae sunt, et quidem de- 
notat 

JI . . . longitudinem nodi ascendentis eclipticae tempori ^ = o 
respondentis cum plano proiectionis , cuius situs ex arbitrio 
eligi potest; 



Digitized by 



Google 



" ♦ w 



125 

r*... inclinationem huios eclipticae yersus plannm proiectionis; 
^ — fc-[-@... arcom hnius eclipticae a nodo eius ascendenti cum pla- 
no proiectionis usqae ad locum perigaei Solis extensum. 

Formulae in hac Sectione evolutae monstrant, expressiones analyticap 
perturbationum latitudinis ei reductionis longitudinis ad planum prpiectionis 
simplicissimas evadere, si planum hoc eligatur planum invariabile, pro 
quo in theoria Lunae planum eclipticae habendum est. Quum Tero in astro^ 
nomia practica hodiema longitudinibus latitudinibusque Lunae non utamur, 
sed e contrario computationes omnes ope ascensionum rectarum declinatio- 
numquc Lunae absolvantur, idque optimo iure rationeque certissima fiat: 
praestat absque ambagibus locum Lunae ad aequatorem relatum per theo- 
riam quoque suppeditari, sicuti loca planetarum ad aequatorem relata com- 
putare iam edocuimus. 

Esto nobis igitur planum aequatdris tempori l = o respondens piannm 
proiectionis. Hinc factum est, ut sit U—o; 

r. . . obliquitas eclipticae tempori t = o respondens ; 
V — Xr-j- 0... longitudo perigaei Solis tempori eidem respondens; 

@... longitudo nodi ascendentis orbitae Lunae cnm ecliptica 
eidem tempori respondens; 

manentibus significationibus constantium reliqnarum iisdem ut antea. 

Significationes quantitatum y^ a et 1] cognosci oportet. Facile repe- 
ritur V esse argumentum latitudinis Lunae erga eclipticam, itaque secun- 
dum notationem vulgarem esse debere 

(n)(y4"^ — V) — rootui perigaei Luhae — motui nodi eius. 
Si in expressione ipsius s sub (70) data substituitur primu3 ipsarum 
P, ^^ 9, terminus ex (60) petendus nec non valor ipsius F, invenitur co- 
efficiens ipsius t in maximi termini argumento = 

(n) {jf^a — ri) — (n) ^{a^rjr^c^ 

quae quantitas motui perigaei Lunae aequari debet. Facta vero m— o^ 
formulae art. 31. praebent 

habemus igitur quam proxime 



Digitized by 



Google 



126 

(n) (y — 2ij) = motui perigaei Liinae progressiyo; 
(n) (fi^rj) = motui nodorum retrogrado. 

Loco radii vectoris Lnnae semper parallaxis eiiis'horizontaIis, vel po- 

tius logarithmus sinus parallaxeos in calculis astronomicis adhibe- 

tur; quum vero 

l . sin (par. hor.) = ID — Ir 

ubi D radium telluris designat, et 

lr = l(r)^w atque l(r) =l(a)+«. ^""^''^'^ 

l-*.(e)co8/ 
sit, habetur 

l . sm (par, hor.) = l -— 1 . ^ — - — w 

'^ («) l-*.(e)co8/ 

ubi loco l . ^ — Cg) ^ jj^^j^ series infinita haec 

14-(€)C08/ 

i (^)^+i(c)*+etc.— [(e)— |(c)'— etc.]cos(n)2— [f (c)*— etc.jcos 2(n)s— etc. 
substituenda est. Ex huius vero articuli initio invenimus 

(a) ~ V x(AfH-m) J 
ubi X per longitudinem penduli exprimi potest Vis enim attractiva Terrae 
in eius superficie et in punctis , quorum sinus latitudinis geographicae = Y^j 
habetur quam proxime = % — ^ , si radius D ad haec puncta refertur. 
Quamobrem, <lenotante P longitudinem penduli simplicis, quod in his Ter- 
rae superficiei punctis intra temporis t intervallum oscillationem integram 
absolveret, si vis centrifugalis non existeret, et a rationem senuperipheriae 
circuli ad radium, per principia Mechanicae evadit 






Hinc sequitur 



et quum praetereahabeatur (n) = -^, ubi T tempus revolutionis anomali- 
sticae Lunae designat, expressio praecedens ipsius — transit in 

(a) ~ V. M^m P ' T J 



Digitized by 



Google 



SECTIO IIL 



CiENERALIS AEQVATIONVM IN PRAECEDENTIBVS EXHIBITA- 

RVM EVOLVTIO. 



1. 

JLn theoria planetaram, qualis in theoria mea IotIs et Satmrni exposita 
est, non quantitatem ^, sed loco eius et in prima et in secunda ap- 
proximatione statim w computayi, et formulam perturbationes secundi 
ordinis respectu massarum ipsius (n)^ suppeditantem ita comparavi, ut ^ 
non contineret, quare hac quantitate opus non erat. Quantitatem vero (n) ^ 
et in prima et in secunda approximatione compntavi, et valore huius quan- 
titatis eo, qui in prima approximatione erutus erat, opus fuit ad pertur- 
bationes secundi ordinis ipsius n(^) computandas, quia formula pertur- 
bationes secundi ordinis hnius quantitatis suppeditans fimctio est perturba- 
tionum primi ordinis ipsius (n)^. Qua quantitate inventa, mutanda t in t 
ipsam (n)s elicui. 

Hoc vero loco aiiam ingrediar viam, qua neque /3 neque ^ ipsa com- 
putabitur. Formulas evolvam quae immediate z atque w suppeditant, et 
in his formulis perturbationes ordinum inferiorum ipsarum £^ et /3 elimina- 
tae et pertnrbationibas eiusmodi ipsamm z et u; redditae erunt. Tali modo 
formulis oonstructi^, computatio perturbationum multo brevior reddita est. 



Digitized by 



Google 



126 

r(Uoniain tennini in S P^^ (^ — moltiplicati , qui in valore ipsius z qui- 
dem evanescunt, quonim vero numerus in ^ praesertim in approximatione 
secunda et altioribus admodum magnus est, omnino non adsunt. 

Ad hoc propositum assequendum quantitatem T, quae, integratione 
priore respectu ipsius t instituta, respectu ipsius t integranda esset, primum 
respectu ipsius t integrabo, et deinde, mutata r in I, alteram integrationem 
respectu ipsius t peragam. Qui integrandi ordo etiam adhibendus est, si 
formulas nostras ad cometarum perturbationes, quae ope quadraturarum me- 
chanicarum, quas dicunt, eliciuntur, investigandas adhibere velis. 

Quum in motu Lunae non modo termini secundi ordinis respectu vis 
perturbantis, sed etiam termini nonnulli tertii ordinis vim habeant, formu- 
las valorem ipsius z et ipsius w suppeditantes usqne ad quantitates quarti 
ordinis omnibus partibus e^qjiietas evolvam. 



2. 



Resumamus fbrmulam 



dr 

quae, indicata diflperentiatione institata, fit 

j, \.drdtJ \.dT^ J KdtJ 

yjiJ KdiJ 

Quum secundum art. 18. Sect. II. ^ sit quantitas cuius terminus a vi 
perturbante independens unitas ipsa est, ponamns 

Cf ) = ' + Cf) 

ubi igitifr \^j terminos solummodo continet a vi perturbante prolatos. 

Substituta hac expressione in praecedente expressione ipsius T, habetur, 
si evoiutio nsque ad quantitates quarti ordinis perfecta erit, 



Digitized by 



Google 



129 

~ KdtdtJ ~ V. dS^ JLd^ J + L rfT J \~d^J V. l^ J VitJ ^^^ 

ubi notandam est, quantitates (^j^J 5 VdiJ ®* CsdeJ ^®^^ *P^* quantita- 
tes primi ordinis, quas cum diJBferentialibus respectiyis ipsius S^ permutare 
nobis liceat. Expressio praecedens suppeditat 

— ^+C^J(;tesJ+ tJCjJ~Crf^J Crf^J^^Crf^JCrf^^JCdfJ 



dxdt 



3. 

Quum sit/^=:€ (secundum art. 13. Sect II.), habetur 

sive usque ad quantitates tertii ordinis, quae in hac quantitate sufficiunt 
ad quantitates tertii ordinis in T retinendas, 

atque 

dv = i («+.)'+ j Cf)" - i Cf) («+" 

Habetur porro 

6lh = — (S+a) 

6lr = w 

6y = V) 

Valores incrementorum reliquarum variabilium designantur praefixa iittera 
d, ita ut sit 

(»)t = r + («)« 
f=' + &) + *!^ 

P= {P)^6P 

p = (P)4-«p 

K = i + dK 

17 



Google^ 



Digitized by VjOOQ 



130 

» 

Valores ipsanim (P), {Q), h in Sectione secunda expiicati sant. Denique 
aequatio 

h = (fc)c-(«+0 

praebet usque ad quantitates tertii ordinis, quae suf&ciunt ad quantitates 
tertii ordinis in ipsa ^ obtinendas, hanc 

(2) h = (h) [1 - iS+e) + l («4-e)T 



Quibus positis, reyertamur ad expressionem ipsius T, quaiis inart. 16- 
Sect. II. data est, scilicet 

T= |2»f cos(„-A)-»+a^;^^ [c..(„-»)-llj(^ 

+ 2» • rin (v-X) r C^ - -ig»L . L^ 
' r \ i J K,dr^ x(itf-Hm) dt 

Posita 

T = |2» i c« (. -l)-»+2 ^;^ [c. (. -»)-lI Cf ) 
+2*f .ia („ -i) , Cf ) 
habetur 

'^^J x(itf^iii) rir 

Quum Q sit functio ipsarum ^ et /3, habemus ope theorematis Taylo- 
riani usque ad quantitates tertii ordinis, quae sufficiunt, quia y est quan- 
titas ordinis primi 

+ '-^HiS+e) - '-^6^Ci)-HmS+^)H9y Cf) (S4-0 

ubi io) yaiorem ipsius q ope elementorum constantium (a), (e), (c) et (n) 
computandum denotat. 

Differentiata aequatio praecedens suppeditat 



Digitized by 



Google 



(4) 



131 

-'^«fCSD+i'-^(«+'r+2(.)'CfX^0,-(«)tS^>+') 

Substituto hoc ipsius -—- valore, nec non valore ipsias h per (2) 
dato, aequatio (3) transit in hanc 

*=-+;Ssr-r+^«-<"<^0+''-;ir'«-'-r<^>««"Cf)O! 

Si in hac aeqnatione valor ipsius T ex (1) petendus substitutus fue- 
rit, difierentiatione invenientur aeqnationes usque ad quantitates tertii et 
resp. secundi ordinis accuratae hae 

f=CS)-Cf)G©-CS)C^+im)l^+^'""0!l 

dz \.dt^dtJ V. dt» J\.dTdtJ V. dx J Vdi^df J V dz^ J\.dtJ 

+»7M4^)l~rf^+-5;^ld7J+-lfei-'^---drV.i;5-J («) Lrf^rjj 
d'r rd*g-^, (n)y(ft) rf' (9)' 

• dt^ y.dt^dtJ'^ *iM-\-m)' «Jr» 

qoibus infra utemur. Porro, quum sit 

uj — (.jj— x(MM-m) • "ir 

— ^ o o 

denotantibns (T) et (T) resp. eos ipsarum T et T vaiores ex elementis 
(a), (e), (A), etc. pendentes, in quibus ^, (S^-j^O? *^9 ^^^* omissae et 
I^? ^ atque g' resp. loco (n)^, {n)z atque (n) is' positae sunt, aequatio 

o 

praecedens inter T et T inventa suppeditat 

'■=*-*+<'^-|^j^-KSO+'^>-'-r<S)+«'>'Cf)CS^! 

( 

et si hic ipsius T valor in ultima art. 2. aequatione substitutus erit, emergit 

S^^-^^^+^^^+CSCS-Cf^-C^^+CSOCS-OCSDCS) 

-.^,r-^«-<.)-ci^o«^«--^<^)+««-cf)c^o 

17 * 



Digitized by 



Google 



132 I 

5. \. 

o 

Quantitas T functio habetur variabilium ^^ Iq^ Ih, z^ Ir^ z', lr\ P, Q 
atque K. Si igitur ope theorematis Tayloriani usque ad quantitates tertii 
ordini$ evolyitur, habetur, quia T ipsa est quantitas primi ordinis, usque 
ad quantitates quarti ordinis accurata formula haec , 

+ #'«+^» 
+''-^«-+S^«...+£iS«..»+£^«.w..+r£ig«... I 

+'^-+S^"-+S^'.""-+'gS«'-'^^-<--'»-'+'^-- 



+ft^».-+^,«.'«+g-j2'"" 
+^-+J^»<"'-+'^,»''^£$«'-<"«+^Sg»- 

J-^ll^SIA ;»PX^!i^«ft A04.fi^m Jl»^ 



+£Si^»)--«+£S<-)-- 



+i^>a*r« 
Positis vero 



Digitized by 



Google 



i 



,133 

nbi etiam valores pure elliptici coordinatarum ope elementorum (a), (e), 
etc. computandarum ubique substituendi sunt, expressio ipsius T in art. 4. 
data monstrat esse 



dlQ ^ ^ \ dt 



'''^^^ =(f)+^^2U 



dlQ . dlh 
dlh' 



z=z(T)-{.SV 



unde 



«P(T) d(T) 



dT . dlQ dv 

«P(T) _dm . n dV 

dr.dlh — d« "T" dr 

d'(b _ d(T) , d'(g) 

_^>_ - r ^^ 4-2r -i^ 

dth.dr ~~ dr ^* dr 

d^jf) _ d(f) , d»(S) 
dlQ.dg dg "^ dg.dt 

d^ih _ d(T) , 2^^^ 



dlh.dg ^S ^ 

etc. = etc. 

Substitutis his valoribus quotientium differentialium, nec non valoribus 
ipsarum dJ^, Slq^^ dlh^ dlr, 61/ in art. 3. datis in praecedente expressione 
ipsius T, evadit 



Digitized by 



Google 



IS4 

+.^«'+.^a0'-'^O-*^'"*+'^-»f«*+"+«™(^' 

+i,t,(^,s+,)+iiB(i^(s+„+v(^(s+.)+HtX»-)'-i'-^(H')' 
+3i,cs+.)- + g*at.(.)M-'£^»£..+£^«.W«+/J$«...- 

+ £4i«" + £^«'«+£S«" 

-C#«'-+''-#*'+#''>«+-#^-+'-i-+'#«+^»]Cf) 
-i[gS«'-+'Sf-+gS«''+^l^-'+^"^'«+S-3(f) 

-l['-^(")'=+''#-+'#'>»'+-^+'^"+'#«+^^»*]w« 

+'[SSI«'-+'^-+5^'^''+-&^^+SS"-+Sl'«+^"]'*+« 

-r4'")'=+'^+^f^)''+4"^+rp'<'<'0'»+« 

+j'-^W».'+'5^(.J»...+««. 
quae aequatio usque ad quantitates tertii ordinis reciproce suppeditat 

cn=fJ^6i+i(T)(^+ii^(^^+UTH^^^^^ 

dg ^ ^ dr <ig' d/ dP dQ ^ dK 

e qna differentiata elicitur haec 

'#=#-^'«-»'-#o+»*(^)+«^(^)+»'4wH.:-rc*f.. 

et usque ad quantitates secundi ordinis hae 



Digitized by 



Google 



Porro, qaum sit 



135 

djT) _ dT^ 
dx dt 

o o 

(T) = T 
dS , r-dSl-^ 



dS 



et respective 



erit ^ functio variabilium Ihj Zj Ir^ z^ Ir^ P, Q atque K, unde habetur 
ope theorematis Tayloriaiu 

,d^(S) , ^(«)ap ^(«)An ^'(^AK 

d(y) _ dS 

dt ~ dt 
<^(.S) _ li^(y) 
dg .dt dg.dt 

etc. = etc. 

Substitutis his ipsarum (f), ^, ^1$, l^ , ^, etc. valoribus in 

dextro membro expressionis praecedentis pro T — fTJ, nancbcimur, si 
termini quarti ordinis et ordinum altiorum ubique negliguntur, 

f-fT,=3|-«-jT(^f)-i(^(f)-,f(s+o+if(«+.)-.<'W.; 

-'|l«-'fc'«Cf)+*'^<^+«?«C^O+ *^C^O'+»fC^' 

-1 T^^fJfSf.;-} ^(^f)(S+.>H J^Jt(»+,J_J T(WH"fH.)' 

+ Sl'(S+.J.-2^(S+')W».-2'"(S+>)"'-»^(»+') «».'-»' ^(n-.)"' 

o o 



Digitize(d by 



Google 



196 



Ex hac expressione quantitates T, -r- atque -^ ope aeqaationam (4) 
in art. 4. datarum eliminandae sunt; quo facto emergit 

-«•OCS^-iOGSD-OCII-i^^+iCmS) 
+'Cf)CS)CS+K*f.)(f)(S3+.©'f+Ks+o<jtj 

+"^«C^0CD+'<S)^'-K^'''GS-K^Of+K»+')= 

'^.HS^CS^^W.mi^V-.i#--<S?)+»'-^Cf)* 



dt 

k2 



X(M+III> 



.d(g)*rdSi 



-«^CS'»+''-^W.)M^<JD+iO(^0+'«-'»+'>CS)l 

ubi brevitatis caussa posui 



dg dr dg dt^ dP dQ dK 

dg dr dg ar dP 

.2^(SH-0««-2^(S-H*)«Jr 

H- ^SI}(„)Sz . 8Q H4^-^(n) fc . SK 



\ 



dg.dq" 



dg.dK^ 




^U^J^„..(„')a/H-rr'fig«.«.H.ryip..«P+r^».«e 
dr ) dr.d^ dr. dr' dr.dP dr.dQ 






^tft 



-•^-'"'-^j$<"'>'---'-js<^''"*j^^"''«*s^-)H 



-i 






d^ (T) 



ac.dfr 



^ dK^ 



Digitized by 



Google 



In hac ipsius X expressione teminos tertii ordinis omnes, nt praesto 
sint, adscripsi, quamqnam maxima eorum pars in motu^Lunae nullam yim 
habet. Praeter terminos enim tertii ordinis, qui in terminis secundi ordinis 
expressionis praecedentis implicite continentur, .termini tertii ordinis^qui. 
ex producto quadratisque^ipsantm (n)dz et w jendent, fere sunt, qui 
vim habent. Receptis his terminis nec non maximis reliquorum termino* 
rum^ in motu Lunae poni potest 

ag ar ag ar aJr o^ 



'-fl 



'•W- 



o o I 

-+-2l?(S4-t)'-2^(S+«)(»)to- 2r ^(S4-0«-H^^(n)»ib»-+-rP^(n)&.» )cft 

quae expressio iam terminos nonnullos continet, qui oitutti potubsent. 

t o o ' 

Substituto praecedente ipsius T — {T)^{T) valore in aeqnatione ultima 
art. 4., emergit denique 

-<f)'(S)-K©C^3-'<&0(S)-O(^0(S-»«-(^ 

-<J)(D-«-O(S^S"S-"»-«<^)-»'«-'(^0(a0 

-"'(SOs-K-O-C^-K^-^m^-^^-O-S 

<.'M(S)-«©(SO-«(?^-'<-'(SO! 
-''-^"l(©-<«-'-<^0-»(1fO'-«->(S)-'<»*.,-|| 



x(M-Hin) ] 



6. 

Secanduin ea, qaae in Sectione secnnda tradidimus, expressio modo 
evoluta primum respectu ipsius t integranda est , quo ^ obtineatur, et con- 

18 



Digitizeid by 



Google 



138 

stans arbitraria huic integrali addita, quae fiinctio ipsins I erit, ita deter- 
minanda est, nt fiat 






Qoibus factis, expressio respectu ipsius t integratur, cui integrali tamquam 
constans arbitraria functio ipsius t in art. 15. Sect IL definita et (^) n€>- 
minata est addenda. Tali modo ipsa ^ inventa, mutata r in I ipsa 2 
prodibit. In sequentibus vero aliam ingressuri yiam, ordinem integratio- 
num invertemus, quo factum erit, ut formulam simpliciorem nanciscamur. 

Cuius calculi fundamenta nunc exponamus. 

dH 
Quantitas -^-^ generaliter sumta functio ipsarum I et r est, quani 

per 9 (r, I) denotabo. Tum habetur 
(5)........ ^ = qp(r, Odl 

e qua integrata elicitur 

g=/<p(r,«)df+Ft 

ubi Fv functio adhuc ignota ipsius i est, quae huic integrali tamquam 
constans arbitraria addenda erat Hinc^ mutata t in t^ nanciscimur 



2J = W<p{v,t)dt]^Ft 
Aeqaatio vero (10) art. 9. Sect II. est haec 



(6) —— r^ — C«)y 

^ dt ~~ vrfr-/ rd.Ax^ 

quae, substituto valore ipsius Cr) ^odo eruto, suppeditat 



C d.Ax -\ 



(7) - -^ = \S<fir.t)dt]-\-Ft- 



Qua aequatione per dt muUiplicata et integrata, ipsam 2 nancisciraur, cui 
integrali vera constans addenda est. Quibus absolutis, ad indolem ipsias 



Digitized by 



Google 



139 

Ft investigandam -^ methodo illa computabimas. Aeqaatio (5) etiam 
suppeditat 

itaque 

-^=/<p(t,l)dr+^« (8) 

ubi ijyt denotat functionem illam, quae tamquam constans arbitraria integrali 
huic addenda erat Mutata t in t, obtinemus ex praecedenti integrali 

Conditio igitur in huius articnli initio memorata submimstrat 

y. ds J 

Valore ipsius 'i^t ex hac aequatione elicito et in (8) substituto, emergit 

d?=d</9)(r,0dr-d«[/9(T,l)dT]--^-d« 

y. dz J 

unde* 

? = (?) +fdtf<pit, t)dt-fdt ir^pix, 0*] - /^^ * 

Hinc, mutata r in t, evadit 

« = (*)+ I/^/^-Ct, 0*] —fdt{fH^,t)dv]—r^^dt 
atque hinc 



dg _ d(») ^ d.[fdtfq>it, Qdt] ,^^. .. ,. (^)y 

d^ — -dT ^ di L/SP(^^OdtJ — j^j^ 

Si hic ipsius -^ vaior cum Taiore dusdem quantitatis sub (7) dnto 
comparatus erit, inyenitur 



Sed manifestain est, esse 



18 



Digitized by 



Google 



140 

CUl ^» Ufff -^ 



atque 



quibus expressionibus in valore praecedenti ipsius Fl substitntis, einerg;it 

unde 

dt 
Hinc colligitur, ad ipsam z immediate ex expressioue ipsius ^-^ 
in art. praec. data eliciendam, expressionem hanc primum respectu ipsius 
rintegrandam esse, cui integrali tamquam constans arbitraria -^ addatur, 

deinde, mutata % in t^ valorem ipsius T^r^ hoc modo inventum in aequa> 

tione (6) substituendum esse, e qua denique ipsam j^^ integratione respe- 
ctu ipsius t iterum peracta, elicitum iri, cui vera constans addatur, quae 
nihil aliud est quam constans (c) in art. 15. Sectionis secundaeintroducta» 
quae anomaliam mediam temporis epochae respondentem denotat. 
Ex eodem vero articulo habetur 

^ ==1-6 + ^(1-6)1+ Bf 

(secundum art. 20. Sect II. enim in motu Lunae statuitur J2.=o), ubi bre- 
vitatis caussa posui 

^ = 2g]co8(^ + 3(c) 

B= g-;cos'(90 + 6(e)[gco8(^) + f[l+4(er] 

ubi (^ et (9)) functiones ipsius (H sunt, qnae ipsa functio ipsius | cen> 
senda est. Habemus igitur, si tertia et altiores ipsius | potestates negli- 
guntur, 

^ = ^' + 4^"^(^> 

B =1 B 



Digitized by 



Google 



141 

nbi A et B^ fimctiones ipsarnm (q) et (9) sunt, quae ipsae non minus 
quam quantitates reliquae, quibus formulae in hac Se^tione ^eyolutae com- 
positae sunt, ope ipsius f et elementorum (a), (e) et (c) computandae 
sunt. Quantitas d(P vero hac datur formula 

dA, __g> (n)8in(y) 

nnde nanciscimur 

^jdf+B=^„ = 3[g;co3'(9)+12(c)gcos(9)+2|g^^^ 

cui accedit 

^, = 2^^Jco8(9>) + 3(c) 

Qnibus positis erit denique' 



({t 



= l_6 + 4(l-6)|+4,r 



Ad integrationem primam expressionis pro r-J- instituendam animad- 
verto esse 



*) Vide.Uiit. ab«r die gegeas. Stonuigen dei Jnpiten ond Satami pag. 8. 



Digitized by 



Google 



142 

, i^^+<f)(£D^icm=i'-^^^ 

-K«+')'CS>«*+<f)f=-^^^^^ 

His positis nec non substituta 

y = y, + in)y,t 

ubi secundum art. 7. Sect. II. jf^ et ^^^ non minus quam (n) verae con- 
stantes sunt, expressio pro . -j-J^ in art. 5. evoluta suppeditat usque ad quan- 
titates quarti ordinis accuratam expressionem hanc 

1'= ,+^+>t(^^+iCf)'-us^,^Qf)+ns+,Y.iQf)- 

-KCf)C^D-wC^D+«*f<S)+«*+.)<^0 
-««+'>'CS)+«*+'>' ■ 

ubi posui 

, ..K».t<'>-yiCgD-iCt)C^O-<^^i(^)C^Oi-« 
■""n-i^^yjCf^+es+o-^^O-iC^+JWoCf^+w^fo-H 

+isi(«)'/c^)"«-*'-^yicf)+(«+.)!'<«i 



Digitized by 



Google 



143 

Antequam integrationem subsequentem aggredimur, propositum est ae- 
quationes praecedentes ita transformare, ut in aequatione finali ^ et ^ non 
adsint. Quem in finem aequatio praecedens ipsam j exhibens ipsa prae- 
bet usque ad qu^titates tertii ordinis 

e qua diiBFerentiata elicitur haec 

^ = f +iCf)C^O+ *f C^O-«*f <^^ 

atque nsque ad quantitates secundi ordinis siccuratae hae 

dt 
tPdt _ dW 
dz'^ ~~ dx 

dx^ ~ dT» 



Porro habetur 



(A) 



x(i»f-H»i) (o)*(»)Vfi(i)r 

f = («+o-»mCf)' 

unde usque ad quartum ordinem 

C§D'= (^0'-6^(«4^)"+12^^(«+a)-8^' 
et usque ad tertium ordinem 

Quibus expressionibus adiuvantibus , expressio praecedens ipsius -^ 
facile transformatur in hanc 

■I- = «+'»'+«f|w'+*«^i+^"M-WS+.)i (9) 

et expressio ipsius W in hanc 



Digitized by 



Google 



144 

(10) ir= -b+ j,(t-^i)i+J„S' + X 



llla, mutata r in f, snppeditat 



1 y^ 



= 1 + W-^-^-lCD + ^«<l?)j +«'11-«'+ Weji 
ubi ^ et p nec non quotientes eanim differentiales ubique eliminati sunt. 



Ut e\ hac aequatione -^^ derivari possit, necesse est —^ — ^;^ derive- 



tur. Quum secundum art. 13. Sect. II. sit 

erit 

1 f' ^' 



rd^^ (a)*(«)V,-Zt;^ 
«t qaum r sit fonctio solius Tariabilis 2, habetur 

rj;p^ - („)ViZi^ {(-^ + ■(^^"^'^''+^(Sw^"^ ** t 

itaqne aequatio (6) transit in hanc 

— d ^ w» iH" 

*- - LdiJ-i7iqijr|(-^»+-^W«s+i-rfp-W «* I 

y» («)< ((»•)' , "'(rr . . . 1 y,„ («)'<' (r)" 



Substituto valore ipsius (^j modo eruto in hac aequatione, nancisci- 

mur valorem ipsius — , qui ip^ (n)dt multiplicatus et integratus sup- 
peditat 



Digitizeid by 



Google 



m 



(n)s = (c)+(n)<-f.(n)i 



(rr 



JF+(„)d,|(f)-^-^ 



S" 



00! 



Kl-(»)' dg Wl-^e)» <? 



(n)«j 



^dt 



|L^(n)/54^d<--^(n)^^^ (11) 

-(e)*^ i/ (flJ* Kl-(e)» c/ (fl) Kl-(e)\/ (o)*^ -^ 



ubi (c) est constans huic integrali addita, ita ut termini ipsius (n)z e r\ 
perturbante independentes sint (e) -|- (n) t sive ^. In hac formula etiam 
quotientes differentiales ipsius W respectu t in quotientes differentiales re- 
spectu ipsius / converti, id quod in calculo numerico commodissimum est. 

Haec antem formula terminos omnes usque ad quartum ordinem respectu 
vis perturbantis continet, et in hac concinna forma perfacile in usum yoca- 
tur. Ceterum, si excipiuntur quae ad ipsam y spectant, haec formula fere 
est, cuius in fine art. 30. Commentationis meae de perturbationibus lovis 
atque Satumi mentionem feci. 

Superest ut quantitas W amplius explicetur. Si in valore huius 
quantitatis sub (10) dato substituitur expressio ipsius X ex art. 5« sumen- 

o 

da, nec non yalor ipsius (T) per (T) expressus, obtinetur 
FF = — 6 + 4(l-6)| + ^„r + Z 



ubi 






1 , I .d(T) , 



1 d(ry 



V(S+o- 



(n) dg ^ ^" ^(n) dr ^ (n) dg ^ ^" 



«P- 



(n) dP ' (n) dQ 



^ ''(''')iq+±.''-^9K- 



y„ 



(n) dK 



Vl_(e)i dy 



(oy 

'""-(n)i 



-i-^r'lS^(n)S,.^^Pil(n)»..eP+JLpn(„),..,Q 



(n) dg.dr 



\n) 



2^ 

dr^ 



(n) dg.dP'^ ' (n) dg.dq' 

w.dP+yLr il^w.dq + ctc. - ^"' 



d(T)) 2 , t d^(T) 

• r— — i}u>*H r — - — -. 

dr ) ^(n) dr.dP 



'(")'■ 



>dt 



(n) dr.dq 



Vl-M* di 



(n)«J« 



+^li'>'-*'-|^(-+<»+*]«'l 



19 



Digitized by 



Google'^ 



146 

Fost eyolutionem in seriem termini onmes ipsius Z qui e t pendent 
insigni gaudent proprietate, magnum calculi compendium afferente; quae 
quidem proprietas infra explicabitur. 

8. 

Revertamur ad perturbationes logarithmi radii vectoris, adiumento for- 
mulae (12) in art. 11. Sect il. datae computandas. Quum sit 

Ss = Ir 
erit 

'y^ o?^^ ^•'5'» _ (g)(g)8i rt7 
Az sive —j— — - 

atque 

d.r^ 



S,s (e)7 8in/ _ ^ dz 

A,z ~ (a)(l«(e)*) — ^ iarWVTK^* 

Quum porro fzz=: b^ unde fz = o , atque 



formuia iila transit in hanc 



/-. 



d.r^ 



ubi C constans est et 

«-^ciD-cf^c^o+cm^^D 

quae fomiala usque ad quantitates quarti ordinis accurata est 

9. 

Ad quantitatem Y erolTendam differentietur aequatiu (9) art. 7. re- 
spectu ipsius v, unde emergit 



Digitizedty 



Google 



147 

hinc, reiectis tenninis quarti ordinis et ordinum altionim, nanciscimiir pro- 
dacta haec 

Cf)C^)= Cf) f + Cf)T+*f CS)^+ <f) " s 

^dtJ y~dTO-~\.dTJ dx 

Adiumento harum expressionum formula art. praec. ipsam ¥ exhibens 
transit in hanc 

Sed aeqnatio haec 

suppeditat usque ad terminos tertii ordini^ 

dr~ '^KdzO^^y.dtJK.dx^J 

quae, substituto ralore praecedenti ipsius j-f, neglectisqoe terminis tertii 
ordinis, subministrat 

dt~ ^ rfr "2*'^ dr» "T"^* P rfr 
habemus porro usque ad terminos secundi ordinis 

CS^^fs+o-^o 

Eliminatis adminicuio harum aequationum quantitatibus ^ et T-j^ ex prae- 
cedenti expressione ipsius F, emer^t 

Denique -^ evoluta evadit 

-^ = («) -^ + («) -rf^ («)««+ 2 (n)-^(«) «Ss, 

unde 

19 * 



Digitized by 



Google 



148 

4- _^(„) >1! 4. (f)? („)&(»)« 
+ ^;^(„) >1\„)V 

^ \/x_C«)'^ ^ dg ^ ^ 
Substitotis his expressionibua in aeqaatione (12) art. 8., elicitnr 



r^i4.f„)tfs(r— W— 1— ^ w y„ '^\ ri\t\\ 

— ^T^-iCnJ/i (r)« (<w 

/■rf (j2! /;i of /;j (jO! 

^(„)/_^dl4-f -^(n) / -^(„)/d/+i^^(„)/-^V)Vd* 






quae formula terminos omnes usque ad quartum ordinem continet Ter- 
mini tamen tertii ordinis in logarithmo sinus parallaxeos horizontalis Lunae 
nuUam fere vim habent, et solummodo integritatis caussa et ut monstra- 
rem quomodo hi termini se haberent, terminos tertii ordinis qui expressioni 
logarithml radii vectoris insunt onmes eyolyi 

IQ. 

Restat nobis ut constans C definiatur, quae secundum art 11. Sect. II. 
adiumento aequationis huius 



«, = i(s+o-*«CD 



determinanda est. Termini sub signo integrationis in expressione ipsius w 
in art. praec. data existentes post eyolutionem in seriem terminos constan- 
tes continere nequeunt; quodsi igitur ad terminos constantes tantum respi- 
cimus, aequatio haec suppeditat 



Digitized by 



Google 



149 

Quantitas qaoque 8 constantem terminum non continet, quare aequa- 
tio praecedens sub eadem restrictione praebet 

His duobtts Taloribus termini constantis comparatis, emergit 



C = term. const. in f — |- 1 {t:J\ 
quae ope aequationis huius 



dP- 



ubi terminos tertii ordinis, qui nullam vim habent, omisi, abit in hanc 



dm 



c = ^ c»t ta |-i,g+^g-:+ ^.^w*.]i 



Posito vero 






dt ' «ft 

habetur usqae ad quantitates tertii ordinis 

j 00! 



rf/4: 



. d» j »t_ (Ol_i r^^-^* y, roo! x ^ _ _(«)!r„-kA^l_ Ikl. ^ 

AT"V"ir(^(a)* aV-°«ft>' Virw;L(a)»"<ft rf^ W"*J l-(e)»(fl)* 

itaque quum S — terminuin constantem non habeat , et terminus con- 



dt 



stans in ^^^~^ ^^(it)6s, quia per (c)* multiplicatus est, minutis- 

simus sit, elicitur 

C = term.constin{-i ^^^4-|r«^^Y+ | -i^'!^^ 
qua aequatione constans haec perfacile computari potest 



Digitized by 



Google 



150 



11. 

Formulae in praecedentibus evolutae monstrant ad in)z et w usqne 
ad terminos quarti ordinis computandas, terminos et primi et secundi or— 
dinis ipsius S-\^e requiri. Qui quidem termini facili opera adiumento 
huius aequationis 



«4-. = 2«.+i(J; 



computantur. Substituta enim evoluta quantitate l T-Q in art. praec. da* 
ta, elicitur formula 



+ 



S,^)t (r)' j y,' (r)* 



usque ad terminos tertii ordinis accurata. 

Si quantitas S non modo per hanc formnlam sed etiam calculo di- 
recto computatur, computatio perturbationum numerica confirmari potest, 
et caiculi errores, si forte adsint, detegi et corrigi possunt. Directo vero 
modo ope theorematis Tayloriani invenitur usque ad quantitates tertii 
ordinis 

-tM!w*='<«+/SV*+/&.*+/^^o-« 
+/£S*«-* 

cui formulae praeter € constans non est addenda. 



12. 

In quantitatibus P, ^ et K termini expliciti tertii ordinis nullam vim 
habent, quamobrem ad hos non respiciam. Itaque, habitis aequationibns 
(49) Sect. II. 5 quae P, Q ei K determinant, pro functionibus ipsarum 
Ih, (n)z, Ir, (n')5, lr\ P, Q et K, erit 



Digitized by 



Google 



dp — 

— ~ = — sin ^ (I) 



dqJ "" Lrf/J co8i(/) 

Habitis vero valorilms generalibu» ipsarum (^^ atque T— J et pro 

fanctionibus ipsamm P atque 9^ «^ pro fimctionibus ipsarum / atque JV, 
invenitur 



(16) 



, , d'(P) .. dHP) j,„ , d^(P)j.^ . d^(P).j^ 

+ "- dTdP"' +dr:dP^P + dTdq^^ -^ dTdlr^'^ 

ubi in quotientibus difFerentialibus ad dextram valores elementorum eon- 
stantes in praecedentibus definiti ubique substituendi sunt; et similes ae- 

quationes nanciscimur pro ^ et ^. Quum in iis aequationum (49) Sect. II. 

terminis, qui per dp et dq^ multiplicati sunt, perturbationes ipsarum P, Q 
et K negligere liceat, prima harum aequationum transit in hanc 

f =- w.e- v=ICt) -• i'+i<^\ o^ 

-1 ^cos 4(/)co8 [« -i;-hA:-(w)(a-hJ7)<] ^cos J(/)8in [« -i;^-A:-(w)(a-f-w)f] 

et eodem modo reliquae duae aequationes (49) abbreviantur. Quum se- 
cundum art. 27. Sect. II. valores constantes ipsarum /, N^ P^ Q et R 
substituendi sint hi 

N = V 
P = o 

g = 2smi(I) 
quumque sit 

C08*i/=1— ^P^_^9^ 

sequitur ponendas esse 

rf.cos^f/ 



Digitized by 



Google 



152 






quae adiumento aequationum 

C08 5 / ^ C08 f l 

aN= dP "-^|^> - dQ '^^^?^ 

et positis N^^zv et I=(I), suppeditant 



^dP^ J ~\ dN ) 28ini 

r d^Sl->. _ / '^(S) '\ 1 _ ( ^^T^ \ 1 

V^/P.dQ^~"\ dl /co8J(/) \ rfiV /2siu^ 

V. dQ' J "" \ <// / 



2siui(/) 



C08 § (/) 

Ex aequationibus rero differentiatis his 

rd9r\ _ rd^r Y^ni^N—v) , /^d^*^co8(iV--iO 
V.5P J "" V dlJ C08 § / » V(iAJ 2 siii \ I 

JqJ ~ \JiiJ cos f / V^J 28ini/ 

elicitur, positis post differentiationes Nzizv et Iz=z(I)^ 

(S) 



rf/ / "~ yJlI.dNJ 2 sin i (/) \~dNJ 4 8in* i (/ 

( ^\.Jpy \ __ r d^si ^ 1 |^rfa-\ 1 

V, dJV J ^^dN^ J 'Zemiil) •\.dlJ coim) 

( ^y^dO \ _ r_^^_JL_ _i_ c^^~\ ""§(^> 

\ d/ / "" V d/* ^ co8i(^) '^V.d/->'2cos*J(/ 

(^GqJ^ _ r_^^__i___ r^"^ 1 
dN / ~ ^dl.dNJ CO8 i (/) LdJvJ 28in J 



2cos*J(/) 

1 
28inK/) 



Digitized by 



Google 



153 



itaque 



y.dP' J~\.dN^ ^4sin»A(/) "T^Lrf/Jasiu^C/j €08^(7) 

rfP.rf§-/ ■~Ld/rfiV-/2sinA(/)co8§(/> VrfAV4sin*§(/) 
r d^Sl -\ _ r d^Sl -N 1 , /^rfa-^ ginj(J) 

^ </Q* >'— L rf/^ J C08*j(/) "T^Ld/JacOS^i^/) 

lam po^ita 

ubi Yalores constantes elementorum ubique substituendi sunt, aequatio (17) 
differentiata praebet 



dt.dh 



d'(P) _ ,_^dA , d^iP) r ^ .dA d^(P) r.dA 



Positis porro 

D=— _<^«V t r <^'^ -^ C08K/) _ /^tf^-\ cos^H/) I I rda-\ j 

ViH^.|Vrf(/).dy7 28ini(/) Ldi/-/48in»i(/) """«VditJI 

K^_ _JS!L-ifJl^ \ rdSl-^ sin j (/) ^ 
Vizsj; ( V d (/)« J V^(/)>' 2 C08 f (/) 1 

ubi itidem valores constanies elementorum ubique substitaendi snnt, erit 

d^=(">^' dr^=-(«)«+(«)^ 

Positis insuper 

jg_ _(a)_f/^_rf£_-\^08^|a)_ / -<fa -\ 8inf(/) > 

Vir(^.|V dv ^28in§(/) K.dkJ 2 j 
F— _<g)_(f «P^ ^ co8'i(/) . r dH^ cog|(/) xr.^BS\) 

Viqijrl ^ rfv^» ^' 4 8in=' i (/) "T" Vd(/)>' 2 8in I (/) 4 Ldi;-d*>'| 

/s— _ig)_|r <^'^ "V cogH/) _ r</ia^ i-t-sin'j(/) /" d^a^aa^ci) .^dst\) 

ViZwT ^ Vrf(/).rfv>' 2 8in J (/> V «fv ^ 4 sin^ J (/) Ld(/) . d*-/2co8i(/)"^^J) 
ubi quoque Talores constantes elementorum ubiqne substitaendi snnt, aeqaa> 
tiones ipsi (17) analogae pro ^ et ^ suppeditant 

20 



Digitized by 



Google 



m 



dt.dh — W«. dt.dg — ^^^ dg ' dt.dr — W»" ar ♦ dt.d^ ^^dg" 
(n)r'-- ^-f„U + WF. ^^^-(n)G- ^>-r„l^ • 



^''^m 



dt.d^~^^ dr" dt.dP~~^ ^^^ ^ ' dt.dq 
j^d-iK)_ Binf(/) rf'(iir)_ rinfd) rf^. 

<fe.rfA~ 2co8»j(/)'- -^ ' df.rf^~ ^cos^A^/)^"-'^^ ' 
dW_ '"•n}(/) dA . dW_ 8inj(/) , .dA . 

*.rfr~"" 2co8«f (/)'•'' dr ' «fc.rfc''"" 2 cos^^f (/)'■-' dfi" ' 



(/) ^ ^ dr * dt.d^ 2 cos^' §(/)'■-' dg' 

,d-(jr)_ 8inf(/) ,d^. rfW_._?miaL(„)D+ 1 r„^B. 

df.dr' 2 008" §(/)'•-' dr" rff.d/»" 2cos»f (/) ^- -* ^ 4co8"i(/)'^^ ' 
«W)_ 8in§(/) lH-ain'|(/) . d^(Jir)_ 8in§(/) d^ 

df.dQ — "2cos»i(/)'- -* " 4cos*J(^)^ -^ d<.dJir~"2co8"i(^)^ -^ «^* 
Substitutis his valoribus nec non valoribus ipsarum a et tj his 

j^ = ^ + in^tjt 

in aequatione (16) et in similibus pro ^ et ^r-, inveniuntor post exactas 
integrationes hae 
P = - 2 dn i CO «,(")« - •in i (1) a„ (n)H^ + (n)fAdt 

+ w/r ^/^'->., l'='>»3W C08[»'-v+t-(n)(«+,)t]d^(n)/r -^il-lcoa JC/).iii[«'-»+«^(n)(«+^)t]rf' 

(-^C«+0 + ^ W3* + r ^ » + g C«';««/ + r' ^ «^ I 



^ |+D8P-«,a«+Ji»9 + ^ 



SK 

ih 



« = 2miC0 + (")/«<" 

- w/rrT^W,l"=*"i W •«[»'-*+*-C")C«+'7)«]rfK'«)/r;r--^^lco8 S CO CO.[«'-r+fc-C»)C«+1Z)0'" 
»/ v.(njco8iaL>' •# V.(n;co8i at./ 



J-BCs+O + gwa^ + rg^ + gcnOa^+r^f?» 
*-' 1+ «,ap+ Fdp + G«e + ^ «ir 

V alE 

« = fe + „, C») t + J .»„ C") '»* - ^^^ C«)/^ * 

+ f-/((wj^)^^-'f*'-+*-^-^^«+''W*-f»>^^ 

•i.iC/),.,/^-^^*^-^^+g^-^''+%T«'+|?^"'^'" + '''>j 

-2co8»JC0 J U-DSP-^-Eiq+^AsK I 

^^</ |4co.«JC/) 4co.*iC/) *) 



Digitized by 



Google 



I6& 

ubi a et a ita detenmnandae sunt ut in P, et ri^ atque i}^^ ita ut in K 
termini resp. tempori ipsi et temporis quadrato proportionales evanescant 
Formula praecedens valorem ipsius K exhibens monstrat, maximam raloris 
huius quantitatis partem facillima opera ex yalore ipsius P deriyari posse. 
Functiones quoque ad p^ et q^ computandas requisitae, in art. 30. 
Sect II. definitae et ^l atque (ft nominatae adiumento quantitatum, quae 
in aequationibus praecedentibus continentur, evolTi possunt. Comparatis 
enim aequationibus (57) Sect II. cum (49) Sect 11. , facili computandi 
ratione invenitur 

onde evidens est, maximam ipsarum fl et ipt partem ex computatione ipsa* 
nim P et p iam notam esse. 



20 ♦ 



Digitized by 



Google 



SECTIO IV. 



EXPOSITIO CALCVLI, QVO APPROXIMATIO PRIMA AD VALORES 

VEROS PERTVRBATIONVM LVNAE OBTINENDOS 

INSTITVENDA ABSOLVITVR. 



1. 

JtJLucusque formulas omnes ita comparavimus , ut non modo ad motum 
Lunae, sed etiam ad motum planetarum investigandum adhiberi possint. 
Factis enim y = « = i^ = o , formulae prodeunt eaedem , quas ad plane- 
tarum perturbationes computandas alioquin dedi. Evolutio quidem gene- 
ralis in Sectione praecedenti instituta ab evolutione generali in Theoria 
mea lovis atque Saturni data differt, sed non est dubium, quin haec illi 
in theoria quoque planetarum praeferenda sit, quoniam terminorum per 
t — t multiplicatorum, quorum numerus non est parvus, eliminatio calculi 
compendium non contemnendum adducit. Quantitates porro auxiliares in 
hac Lunae theoria introductae cum quantitatibus auxiliaribus , quibus in 
theoria planetarum usus sum, plane conveniunt; quantitates enim in Astr. 
Nachr. No. 244. per P, P et y^ — (p denotatae, postquam arcus ibidem 
designatus, ut praescripsi, subtractus est, et quantitates hoc loco P, Q 
et K denotatae, factis y = a-=rj=o^ eaedem sunt; porro quantitates 
ibidem p et ^ nominatae sub iisdem conditionibus cum quantitatibus hoc 



Digitized by 



Google 



157 

loco p^ et q^ denotatis identicae smit, denique quantitates in Astr. Nachr. 
No. 295- { atque t denotatae cum quantitatibus hoc loco p^^ atque. q^^ de- 
notatis congruunt. 

Sicut in praecedentibus formuias tali modo exhibuimus, ut, factis 
y:=i a-rriri — o^ ad motum planetarum investigandum statim adhiberi pos* 
sint, ita in subsequentibus evolutiones speciaies instituendas perficere nobis 
liceret, quia quantitatis £1 eyolutio, qua potissimum opus erit, in Lunae 
theoria eodem modo atque in pianetarum theoria peragi posset; sed quum 
distantia Lunae a Terra quadringenties fere distantia Solis a Terra minor 
sit, maximam utilitatem commodumque haud spemendum nobis parabimus, 
si in theoria Lunae quantitatem perturbatricem Sl in seriem infinitam se- 

cundum potestates ascendentes ipsius -^ progredientem eToIvimus. Qua ra- 

tione inductus evolutionem ipsius Sl hoc modo instituam, et haec huius 
Lunae theoriae sola conditio est, quae ad planetarum theoriam applicari 
nequit. 



2. 

Revertamur ad ipsarum {n)z et w expressiones quae in Sectionis 111. 
artt 7. et 9- sub (11) et (13) inventae sunt. Si in his expressionibns 
termini secundi atque tertii ordinis omittuntur, habetur 






d.m 



W 

ubi secundum art. 7. Sect. III 



^.'"' 



»r= -»+4fi+»j«+^„r +/m*-,v%w/-^<« 

secandum art. 10. Sect. III. 

C = term. const. in |— 4 — ^ ^A 
et secondum art. 17. Sect. II. 



Digitized by 



Google 



tS8 

et ubi constantes omnes integralibns addendae iam apfiositae sunt Tejr— 
mini per ^^ multipiicati proprie quidem ad quantitates secundi ordinis re-» 
ferendi sunt, sed quum nihil obstet, quo minus eomm ratio statim habea— 
tur, eos in hac a^proximatione prima omittere nolui. 

Formulae praecedentes monstrant, ad perturbationes primi ordinis ob** 
tinendas ipsam (T)j et quum (^2'^ sit functio ipsius i3, ante omnia h%f%^ 
quantatatem in seriem infinitam evolyendam esse. Qnem in finem animad^ 
verto ex praecedentibus haberi 

Ir = l? ^w 

< = 7' + (n)y't + «- 

quae in approximatione prima abeant in has 

«, = (f)-{-(n)yt-\r^ 

r = (r) 

< = (/';+ r«;y*+«' 

r' = (r') 

ubi (f) et fr>-ope anomaliae mediae g^^n^t-^-^c) et elementorum 
(a) atque (e), (f) yero et (r') ope anomaiiae mediae g' = (n')t-\- (c') 
et elementomm (a') atque (e') computandae sunt. Quibns praemissis, z/*, 
sicut in Sect. II. art. 25. data est, posita brevitatis caussa 

£r= co8^ifJ)cos[r/J — r/j + rnKy— y-2i2;* + 2t] 
+ «"' i (I) cos [(f) + (f) + (n)(!/-\-^-\-2a)t -f 2v] 

ubi (I), *, V resp. loco I, K, N substitutae sunt, in approximatione 
piima abit in 

^ ==(r)' + (r')'^2(r)(t^)H 
ui^de nanciscimur 

8i expressio haec in seriem infinitam secundum potestates ascendentes ipsios 
p- progredientem evoluta fuerit, obtinemus 



Digitized by 



Google 



m 

Perturbationes Lnnae e termino secundo et tertio huius expressionis 
onmes pendent, terminus enim primus in quotientibus differentialibus ipsius 
Si requisitis evanescit, et terminus quartus et multo magis tennini reli- 
qui ne minimam quidem Tim habent, id quod calculo numerico com- 
probayi. 



Breyitatis canssa ennde loco signorum (a)^ (n)^ (e), (I), (a')^ 

(n), (e)y etc. simpliciter signa a, «, c, /, «', n , e', etc. adhibebo, 

semel animadvertens elementa ilia subintelligenda esse. Quibus positis, 
expressio ipsius H in art. praec. data suppeditat 

W= cos*§Jcos'[/-/'+r«Xy-y-2i?)«+2A] 

4.2cos'iIsm'i/cos[/-/'+f«Xy-y-2i?)*4-2*]cos[/+/'+('iiXy+y'+2«j<4-2.'l 

4- sin*i Jcos* (/4./'4.c„xy4-y4.2«;<4.2v] 

fl*= cos'fJcos^|/-/'4-f»Xy-^'-2i?jl4-2*] 

4-3cos*iJsin'iJco8*[/-/'4-rnXy-y-2i?;«4-2*]co8[/4-/'4.(nXy+y'+2«;<4-2i'| 
+3cos*iJsin*iJcos[/-/'+f«Xy-yr2i?;/+2*]cosV+/'+f»Xy+y+2«jt+2i'l 
+sin*ilcos' [/4./'4.f«Xy+y'+2«;i+2»'] 

unde, transmutatis potestatibus cosinuum in cosinus lineares, neglectoque 
termino sin* ^ / cohibenti, qui perturbationes sensibiles proferre nequit, 
nanciscimur 

fl*= [i--8in'iJ+.iB'^J] 

+[i— sin'fJ+isin*:JJ]cos2[/-/' + (n;(y-y'_2.?>« + 2*] 
+[sin'^J-sin*fJ]cos2[/+fnXy+«— !?;<+»' + *] 
+[sin»|J— sin*f Jlcos2[/'+rnKy'+«+i?;<+»'-*l 
+i8in*fJco82[/+/' + rnXy+y+2«>*+2i'J 



Digitized by 



Google 



160 

'\-li-Uinm-{-^.\n*iI]cos3[f-fi-(n)(y-y'-2n)t-{-2k] 

+ [fsin^XJ_3sin*l/]cos[/+/'4-rnXy+y+2«jt4-2''] 
+ [|sin^f/-|sin*|/]cos[3/-/+rnX3y-y+2«-4^;(-f2«'4-4*] 
+[|sin^i/-|sin*^/]cos[/-3/'+rnXy-3y— 2«-4i?X— 2^-f4*J 
4.|sin*f/cos[3/+/'+rnX3y+y+4a-2i?;t+4r4.2*] 
4- f sin*i/cos [/+3/+fnX5^ + 3y+4o+2)jX + 4i'— 2*] 
uude 

![J-|sin'i/+|sin*|/] 
+ [^-|sin^|/+fsin*i/]cos2[/-/' + nra^-y-2i?X + 2*] 
-|-[4sin^i/-fsin*^/]cos2[/+nry + «-'2X + »'+*] 
+ [isin^i/-|sin*^/]cos2[/' + nfy+«+,^)<+v— *] 
+ |sin*i/cos2(/+/'+nry+y'+2«X+2.'] 
Si=-I^l /[i-fsin^iJ + '^sin*i/]cos[/-/+nry-y-2>?;< + 2*] 

^•^"'1 l + [|-^sin'i^+^sin*iJ]cos3(/-/'+nfi^-j^-2.2X-h2*] 
\ + [jsin^x/_»si„*ij]eos[/+/' + n(^y + y + 2«X + 2»'] 
|+f^{+[^'sin^iJ-fsinH^]cos[3/-/'+nr3y-y+2«-4i?;<+2r+4*] 
1 + [^^sin' i /- L^ sin* i /] cos [/- 3/'+ n(y-3y'-2aAri)t - 2v+ik] 
[+V^sin*i/cos[3/+/' + nr3y+y+4«-2.?X + 4r + 2*] 
^V'«n*f/cos[/ + 3/' + n(^y + 3y+4« + 2i2X+4i'— 2*] 
Denotantibus i et i" numeros integros, sint 

J cos 2/ = 2JtS 9'." ««s ig- ; ^ sin!^= IJt^ t>i'' «n i^ ; 

^=2^P^^ cos i^ ; ^^ cos 2/ = 2JtS Gi''> cos iV ; 

^. sin ^ = 2^ Gi'' > sin «Y ; ^=^12 K«'> cos «V ; 

(1) ^ ^cos/ =-2:i:^^.')cosig-; -Jsin/ =2^^.''sini^; 

J cos 3/ = 2?i: B« cos i^ ; -J sin 3/ = StZ ».'' sm i^ ; 

^ cos/' =2;i:;crco3.V; ^ sin/' =-SJ::CrsiniV; 

^ cos3/'= i/i: D<f'>cos.V; pj- 8in3/'=2;i:si>rsin.V; 



Digitized by 



Google 



161 

quibus conditiones adiungo has 

9« = pt-O ; G^ = G<-« ; ^« = ^(-0 ; etc. 

gj^ =~gi-*i ; G«' =-G.'-«; ^W =-^(-« ; etc. 
p(0 __ p(-0 . jj;(0 _ jj(-0 

tum, adhibitis aequationibus generalibus his 

2tZEi'^cosigX-21ZF^Pcosrg' = St^StZE^^^FV^^cosiig + rg') 

StZE^f^cosigX^t^Ffhmrg' = 2?J:s:2ysJS«Frsin(i^ + iV) [» (2) 

-Si^S^.Osin ig-X^FrsiniY ^-^tZ^Ei^^FpcosOg^rg') 

ubi E et F gunt quantitates quaecunque, quibus conditiones insunt, ut sint 
l?f = i;j-') ; £.<0 = — !;(-') ; F^P = FS-« ; FW = — FJ-^ 

habetur statim 

-^ = -^ -Si: -SiS P^*' -K"'» cos (i^+,V) 

porro, quum sit 

cos 2 [f-/' + n {y-y'-1ri)t + 2*] 

= [cos 2/ cos Tf' + sin 2/ sin 2/*] cos 2 [«(y-y'-2i2)t + 2t] 
+ [cos y sin 'if' - sin ^ cos V] sin2 [n(y-y'-2i?)« + 2*] 

habetur primum 

T^ co82[/-/'+n(y-y'-2)2)«+2i] 

= ^.^^\g':^G»'-g^^G'P\cos{ig+rg')cos2[n{f,-j/-1ri)t+2hy 

+ ^^±:«^Pi''Gr-9i''Gr'hin(i^+iV)sin2[«(y-y-2.?)l + 2*] 

=i|^'Si:-sj::lPi''Gf)-pi'->G<''>-9«Gr>+^')Gr)^ 

+i 1^^ ^l^ifGr^-pif^Gr^+^f^Gi'»- 9if)G?')| cos [-ig-rg-\. ni2y-2j/-^)t+U] 
=i^^^\^:'+ g^r\\GV-Gr^\cos [ig+rg'+ni2y-iy-lkn)t+iai\ 

+i|^^-Si:^9<.')-9<''|^G<'')+Gi')^cos[-i^-,V+n(2y-2y-4)i)<+4*] 

sed prior horum coefficientiiun, scriptis — i loco i et — t loco i", transit 
in honc 

21 



Digitized by 



Google 



162 

qui posteriori, et posterior coefficiens, iisdem mutatiombus factis, abit in 
honc 

qui priori aeqoalis est. Hinc seqaitar at sit 

llcos2|/-/ + nCy-y'-2i^)< + 2*] = 

^.I^I^l^^^+g^J^m^^-Gricoslig+rg^+ni^y-ay^-iti^t+ik] 

et eodem modo termini reliqui ipsius H in series infinitas eyolvuntur. 
Quibus faciis, substitutoque valore ipsius -^ — . -^ in art. 20. Sect. II. 
dato , et posita 

et 



invenitur 



«i2,=-^[|-|sin*iJ+|sin*|/]P<'^K"''cos(i^+iV) 

«/2,=-^[|-fsin'i/+|sin*iJ]|9fH€>:^UGr-Gi'''|cos[i5'+»V+n(2y-2y'-4i?)<+4*] 

«i33=-^[fsin'iI-|sin*i/]^9«+9i*'fK('''cos[i^+iV+n(2y+2«-2i?)*+2v+2t] 

m 

aia^^-^^lsin^il-lsin^i/^POlGr + Cncos^i^+iV+nC^y+^a+^ij^l + ^f^-^*] 
«.«5=-^.|sin*f/|9« + 9i1|G?HGncos[ig'+iY+«(2y + 2y + 4a)l + 4.'] 
«'«6=-nMG3ti-^«^'i^+V'«i"*f^KH4''HC'.'''-C<'''|co8[ig'+r^'+n(j^y-2i^^^^^ 

m 



Digitized by 



Google 



163 

aia8=-^rj)[fsin'fJ-?^sm*iJ]{^.H^.'>ilCf>+Cncos[iff+iV+n(^^ 

m' 
m 

««.o=-^G)[V'«inV-fsin*f^l4H^i^^lCl'''-I>f^lcos[i^+iV+n(y-3y-2a-^^ 

ubi ultimos duos per sin^ ^I multiplicatos tenninos ipsins Si omisi, quia 
perturbationes sensibiles proferre nequeunt, id quod calculo numerico com- 
peri. Summationes et respectu i et respectu i', quarum signa brevitatb 
caussa suppressi, in expressionibus praecedentibus a — oo usque ad +^ 
per omnes numeros integros, inciusa cifra, ubique sunt extendendae.^ 

4. 

Quantitatem igitur £i in seriem infinitam secundum cosinus multipli- 
cinm anomaliarum mediarum progredientem eyolyimus, cuius seriei coeffi- 
cientes faciliima opera accuratissime computari poterunt, si expressiones ge- 
nerales transcendentium G^^, G^^, Q[^^ Q^J\ etc. notae fuerint. lam quum 
expressio cos nf^ ubi n est integer, ad seriem finitam huius formae 
J[ cos'/, ubi i quoque est integer et ^ constans, reduci possit, et 

cos f hunc — \-a "" habeat yalorem , eyidens est expressionem 

r^ cos nf ad seriem finitam huius formae Br^, ubi m integer et JB con- 
stans , reduci posse. Quum porro expressio sin nf in seriem finitam hu- 
ius formae j4 cosffsmf transmutari. possit, et sin ^ expressione hac 

^"^* . ^ reddi possit, manifestum est expressionem r*sinw/* ad seriem 

finitam huius formae JB 'J^ reduci posse. Quos calculos peragamus. 

Aequationes 

r 1 — e^ dr erin/ 

a l^ecos/ ' adg VTT^ • 

suppeditant 

/1 , 1 — ^* . ^ V 1— e» dr 
= +a , sm/= . — 
e * er ^ ^ ae dg 

itaque quum sit 

21 ♦ 



Digitized by 



Google 



r^ 1*2 f2 ^2 |.2 

^cosy=2^co8'/— ^ ; ^sm2/=2-^ 
nanciscimur 



4..»v=2^-4i^.4 + ^-^ 



a 6* o* 



^, sin ^ _ ^j^^ • ^^ y^j^j • ^^ 

pono ex 

-?lcosy=2^co8V-^; ^siny=2^cos/sin/ 
nanciscimur 

a» . „^ 2«»(l-e')l d.f-' , o»(l— e"»)» d.f-» 



porro 



— COS f =- — j- H 5 

a^ ^^"^J— 4fl*e * rf^ 

--r- COS f = 7- + : 

f* •^ er* ^ er* 

a* . ^ a'vT=? d.r"* 



demque 

^cosy=4^cos7— 3^cos/ ; ^sin 3/=4^co878in/- ^sin/ 

^cos3/=4^cos7 — 3^cos/ ; ^sin3/=4^cos7sin/-^sin/ 
suppeditant 

l!cosV=4^-12^'i-% + 3*=^r'-i=^r' 
a* ^ e' oe* o'e* a'e* 

*■' • a^_,>- (2(1— e*)' d.f» 8(l-e») rf.r» 4-e» d.r*, 

^sm ^-ri-e«| „.^. • -^ 3^ip- • -^+j^ • -rfj-| 

«* „.q/'_A£!Ilz:f!>! .Q gHl-e')' . o g' (4-5e'-t-e*) o*(4^e') 
-pC08^_4— p^;,^ 12 ^,^. +3 ^j^^i ;t^^ 

o* . _, ^. (4o»(l-e^)» d.f-» 2a*(l-e») d.f-* a'(4-e«) d.f-» v 

^8my=-)<TZT«(-3;i ^ p--*-^ + -3i5 dr! 



Digitized by 



Google 



165 

quibus formulis transcendentes nostrae ad potestates radii yectoris quo- 
tientesque earum diflferentiales respectu anomaliae mediae reductae sunt. 
lam sit 

ubi 

supponitur, hinc est 

et formulae modo inyentae transeunt in has 

^co.2f=^l^R%^'J^R% + '-^R%\cosig 
^smQf=fIZr^2t^if^^R%-^R%\smig ; 
-Jcos /=2?J:Sjt=l*B«) -^-Jicojcos;^ 
J^.Xnf^-^^St^iR^^siaig 

-^cos/ = 21Z \^-=rR%- -^R^ \ cosf^ 
^sinf^^^I^iR^sinig 

■^^i^¥=r^^^if-^m'-^-^^R^'-^R^\Binig 

^cosy=^jl^'>!iiLV^iiL«.+^i^:^ 

Comparatis his formulis cum (1), elicitur 



^g 



Digitized by 



Google 



166 

pw^^^Um - 4 ^B<«; si excipis 9<->= 2^*1' + ^il<«)- 4 ^B'." 

6 c c 



ei>=^R%—^R% 
ep=i^^R% 

siexcipbB<"=i^MH(^iir.)+ 3(4-5eW) j^,,_4-3g^^,> 

I,« = ,y,4;.ji(^'i,^_2(l-e^B^^ + i^il. j 

quarnm ^, P, Jl et B ad indicein i pertinentes ope excentricitatis Ln- 
nae, G^ K, C ei D vero ad indicem i' spectantes ope excentricitatis 
Terrae compntandae sont. 



Quantitates omnes R^^ in art. praec. introductae ad quantitates Ri\ ^%j 

dR!'^ dR^*> 

T^ ^^ l^ reduci possunt. Quem in finem diJBTerentiata aequatio haec 



dg va*-' 



\^rr? 



Digitized by 



Google 



167 

sappeditat 

-_=n(n-l)(^-J .^-^n(n-l)(^-J _cos/+n(^-J ecos/ 
quae , eliminato cos / ope valoris eius in art. praec. dati , abit in hanc 

Signa vero in art. praec. introducta praebent 



dg^ 



^-St^eR^cosig 



unde aequatio praecedens subministrat aequationem ab ill. Bessel primo 
datam hanc 

— fil<?==n(2-n)ili%(l— e')+n(2n— 3)il2L3— n(n— 1)J12L, 
qnae in casu peculiaii, nbi i-=.o, abit in 

o = (2-n)lli;l, (l-e')+ (2n-3)ie3 - («-l)ie, 

Positis deinceps n=-3, n=-2, n=-l, nz=o, n = l, n=2, n=3, 
n=4, aequationes modo evolutae praebent 

—i^U% = — 15(1— e')ll!?7 + 27 lli?6— V1R% 
—i'R%= — 8il—e^)R% + UR%— 6R% 
— i*ll(f), = — 3(i—e')R%+ 5R%— 2R% 
— i^HC.) = (i_c^)B(l^_ll(o 

—i'R^2 = 2H«— 211« 

—i^R^o^^ 3il—e^)R%+ 9H«?— 6«^? 
— i' «« = — 8 (1— e') ll(^> + 20R^{^ — 12 H^? 

quae omnes etiam in casu, ubi t=o, locum habent; in hoc vero casu ac- 
cedit aeqnatio haec 

o = 2R^lil—e^)—3R^l + 111!^ 

Qnom statim habeator 

H^g = ; si excipU R^t^ = 1 



Digitized by 



Google 



166 

aequationes hae monstrant omnes R^^ compatari posse, si Rp, A'^, R^^ 
et Ai^ notas esse sapponitnr. Resolutis igitur aeqnationibus praecede^ti- 
bus respectu harum quantitatum, emergunt 

R(0 _ ^(^y+iee') ^,.-, . 35.-^(l-e')'-188-64g' ptn . ^li^-^-idee^-mi-e^r „fo . 154-«-l61e' ,,, 
■"-'"" 120(1-6^*"^ 12U(l-e=')* -»"*■ 30(l-e*)* *"•" 60(l-eV ~* 

R'0 7,- „«,, 3.-'(l-eT-2 8„,» 7.-' „,, 35-9(l-e') ,t> 

-*~ 24(l-eT ' 24(l-e")* -»^ 6(1-^')» -"'^ I2(l-e^)» "* 

n(0 — _ __*!__ ii(«) _ _?_n(o 4. ^*' R") I 5 nc) 

-s- 6(l-e^) ■"« ^(l-e")''-"-»^^^-^»)» '^3(l-e») -* 

n«)_ _L_R(o__iL»(0 
■n-3- i_e2-"-2 i_e«"« 



••« 



jl(p=._3(^i{(0+_6.^(n 
B(J>= _^B<o_^B(o 



ubi casus i ::p o excipitnr, pro quo aequationes praecedentes resolutae 
praebent 

^-7 — siUe^r ^-^ 



8Hh24eM-3e* 
8(l-e^/ 






DCo) ^"•*"^^^ DCo) 

^-5— 2(l-e«)' -"-^ 

»(0) — ^"^^^ ||(o) 

•""♦~ 2(l-e^)^ ^-' 
1 

«1^^ = 1 

ll^5> = l+3e^ + |-6* 

Ipsis jR^p et il^\ ex his aequationibus eliminandis inserviunt aequa- 
tiones hae 



Digitized by 



Google 



169 



de 



= — 2 — cos/ 



qnae, snbstitato valore ipsius cos / supra dato , evadunt 

de ea e 

^(.TJ _ 2a« . 2fl^(l— e^) 
unde 

de e ' ' e * 

quae, excloso yalore i=o, suppeditant 

' — 2 de 

-« ~ (!—«=')»-» 'T' 2 (l-e^) de 2(l-e*)»de 

quibuscum il^/^ et BE\ eliminatis, emergunt 

HlO _ f*(47-t-16e') pffl t'e(6a4.223e'-4-32e*)-t-4f*e(l-e')' rfflW . l^OH-^^Ge^-t-aie^-^-aSt-^d-e')* „(q 

-'~"120(1— e»)» "" 120(l-e*)» de ''" 120(1— e")» "» 

, 154e-t-161e»dfi(£>. 



120(1— e»)* de ' 

llto ___I*1_R(0 «•'g(12-«-'?3e')dit(0 ■ 24-f46e'H-3i»(l-e')» ,n . 26e-t-9e* dflCQ 

-*~ 24(l-e»)^ » " 24(1— eV de "*" ^^(l-e^')* -»"^"24(1-^»)» de 

11(0 _ _il_n(0 «•*e(3-f-2e') «jjyft , 3-*-2e« ^ . 5e rfit!0 

-*~"6(l-e*)-"» " 6(l-eT rf* "•" 3(l-e»)' -» 'r' 6(l-e»)» de 

il(0 __ __£^«i^? 4. _JL_il(0 . _^^ 
-*~ 2(l-e»)* de ^ (l-e*)» -'^2(l-e'} de 

ij(0 __ '•'g rf»? I _1_ «(O 
"-3~ 2(l-e*) <ie ^ 1-e» "» 

iim=-|-il(o 

|j(0_ « «^^1* 

' - ~2~dr 

22 



Digitized by 



Google 



170 



R^i^-^-^m^-^"^ 



3e dR(V 



de 

ubi tamen casus i =io excipiendus cst. BUs quidem aequatiombus omnes 
R^il ad il^2^ '^^s c^ ^^ quotientes earum diflferentiaies respectu excentrici- 
tatis reductae sunt. 

Substitutis his yaloribus ipsarum R^^ in yaloribus transcendentium 
Q^l\ P^iS G%\ etc. in art. praec. datis, nanciscimur denique 

9i0 = ^rZ^i j|-i^_?li^£!>il<oj . ,i e,eipis 9<-' = o 
p(0 — iico 

^' = ^-*'« -1-^5 siexcipis^-?=-^e-V^c' 

^J-' = p-Z;^ j^^-- 3. ii(Oj . si eicipis ^'r= 

,, _ 36-51e'-^-15e* l ^-Q.^^.-^d-.Q^ d^ , giexciDisB'-) — »e' 

-D^ — 2e' ^ t^e* — ^^ , siexcipisn^ — -^e 

quae omnes ope excentricitatis Lunae computandae sunt, deinde 
^' — 3e^ ^» 6(l-e^) rfe ^^3(l-e») *"-» 3e rfe » «' excipis C» , _ o 

*'• — [1-**! 3e rfe ^^3e»"-*l 

Ktf')— _ *''g «^^^.'^ 4. _L_ n»'). si excinis K<*>— ^ 
^ - 2(l-e») ^T + l-c^ ^-" P "" (l-e")l 

Cin-J^RCn !2^_^+_2f_ i{('') + ._i ^. «i excinis (?•>— ^ 

^* - r 1-«' J6(l=;^)^^^ 3e(l-e') "-»| 

D^n-.ilS^nRin I ''-^'-2r(l-e-)- rf^>_ 2e'-^r'(l-e^)» ,,, 2 rf^>. • i,^(.,_^ 

^''~ 30c' ^» ^^ 15e^(l-e*) rfe 15e'(l-e») ^-»+15e» de . ««excipisiy. _o 

^,.,_ f g.^d-c") „(o _ f^(2-^3e') rf^2 4- ''tg-HSe') „,n_f_ dm£h 

•"•~~M-*| 15e' » 3Ue»(l-e*) rfe "f l5e»(l-e»)-"-* 3e' rfef 

qoae onuies ope excentricitaiis Terrae compntandae sunt. 



Digitized by 



Google 



ITl 

Habetut vero 



2 r»cY 

^^^=" i/i.3...i i*"rriC"23 +i.2.(t-Hi)ci-H2}C"2J "^1.2.3 (iH-i)(i^2)(i^)CTJ -^*^i 

ubi tamen t = o excipienda est. Ad coefficientes R:% inTestigandos 
habemus 



unde 

«^ _ . 1 df 



r^ yxir^ dg 
Si sit 

ubi igitur 2L^^ coefficientes notos aequationis centri designant, erit 

-^ = 1 + 22?« iL''^ cos ig 
dg ^ ^ 

unde 

il^ = -^ 1.^'^ 

ubi signum superius pro positivis, et signum inferius pro negativis ipsius i 
valoribus locum habet. Eaedem aequationes suppeditant 

quo eToiutio transcendentium nostrarum peracta est» 



6. 

Per analysin artt. praecc. coeflicientes eTolutae quantitatis £i ad ex- 
pressiones finitas reduximus, quibus coeflicientes illi computari possunt, 
quantaecunque sunt excentricitates. Quum Tero excentricitates et Terrae et 
Lunae minores sint, eTolutiones harum transcendentium in series infinitas 
secundum potestates excentricitatis progredientes in calculo numerico per- 
turbationum Lunae adhibere praestat. Qnem in finem transcendentes A^^ 
et B!-!}^ eTolutas primum appono, 

22 * 



Digitized by 



Google 



112 

R'f = 1+4«' 

«(0 =-e+± e^ - ife «* + ^«'-«t«- 

BC? = -4 e' + ^ e* - ^ e- + ^ e' :^ etc. 

ilT=-4-e' + }|e'-^e'-etc. 

il<S>=-^e*+^e«-^e':tetc. 

Rf = — 2g| e' + ^ e' q: etc. 



160 ~ 1120 

m 

16 



_,,, 2401 . ^ 



e qiubus differentiatb emergunt 

^^ = 3c 
ae 

-dT — — * + T ® 192 ® + 9216 * ^ ^**"- 

-^=--^e + -3-e - jg-c + jgge ^etc. 

d«^V _ 3 , , 45 . 567_ , 
-dT" ="" T * + 128 * 5120* - "^- 

dRW 1 9,2^. 8 r ^ „.^ 

-5r-=--T^ 4- _e -^e rtetc. 
diKs) 125 . , 4375 . _ 

-5r=-384* +^® ■""**=• 

-dT — 80 * + 140® -^^^- 

~dr — 46080® -***'• 
dm) 128 r_^ ^ 

-dr=-3r5®-«*«- 

deinde ex notis aequationis centri coef&cientibus coniputayi 



Digitized by 



Google 



173 



«-^ = .-7=^ 



nM I 3 j , 65 5 , 2675 , , ^ 

B(a)=,^e'4.^e* + |ic* + etc. 

n(3) - **^ 3 ♦'^ 5 I oyu 7 I . 

«_, — -g- e — 128 « -r i^ c -t «»«• 

-» "~ 384 9216 * ^ ® 

iifSi=^e«:petc. 

"^^ ^~ 9216 * ~*~ ^ 
e quibos differentiatis emergont 

de "~(1— e')l 

i^-14-Ae'4-^c*4-^e'4.etc 
^T — * + X ® + 192 ® + 9216 * + ***'• 

^-Ae4.-2.e'4. ^e'4.etc 
^^ _ 2 e -t- 3 c -t- 32 c -t- etc. 

dRO}, _ 39 , 125 » , 2751 « , 
"dT — f ® ~ 128 * + 1024 * + ***'• 
rfJPj) 103 , 387 ,, ^ 
-df- = l2 ^ -80-^ +«*'=• 
rfi»^ _ 5485 4 116347 , , 

de — 384 ® ~ '9m ® "T" ^**'^ 
rf flffl _ 3669 5_ 

dm, 330911 , 

* — • c =P etc. 



de ~ 9216 

qui qoidem termini in Taloribus hamm transcendentiom appositi ad per- 
torbationes Lonae quam accuratissime obtinendas sufficiunt. Sobstitotis 
his Taloribos in expressiombos ipsarom P'«', ^*^, G^p, etc. in art. praec. 
datis, emergont 



Digitized by 



Google 



174 



9'^' = -§-«' 

^3, _ 1 19 3 I 1053 , _ 

Vc— -2-«— -16« ■TiJigo®-^ *"• 

0(6) — ^ e* ?51 e« -f- ptr 

V» — 16 160® — "^' 

0(7) _ 2401 . 
"• ~~ 3840 ^ 

9«) = g.e«=Petc. 

g(-« = g(0 

^ ? = o 

9C0=,_|_e+§e' + |-e^=^etc. 

t>? = 4---1- *' + 4 «* - fl®'^«^- 

^r« 1 19 ,, 1087 5 

9» = ^ c- ^ c + ^ c :?: etc. 

gC;) = 4c»--^e* + ie«=Petc. ' 

_,,, 25 , 1075 . , 
^- = 48 ® --W® -«**=• 

9(6) _ _L e« ?^ p« -4- pic 
• ■" 16 160® — ^**'^ 

0(7) - 2401 ^s _ ^^^ 



3840 
32 
45 



9*«) = II e' H= etc. 



9'7« = -9'.« 



Digitized by 



Google 



175 

P-) = -.|.e» + ^e*-^e«:t=etc, 

P(3)=_^e'4.4e'=^etc. 

PM)^_^e*4-^e«=i=etc. 

384 ® ~ ^**^* 

p(«) = L e« ^ etc 

160* —**^* 

p(-0 — pV) 

^•=T + 16* -384^ -«*«• 

^3)=,_^e'+ge*=;:etc. 
-^e' = — -jg c* ±: etc. 



95 

768 



^<«=— ;^e*d:etc. 



e :+: etc. 



^'=' = o 

^."'=-x« + w 

^?'=-:^e' + .^e*:;:etc. 
^M' = _ 2. e» -j- etc. 



Digitized by 



Google 



176 



B'°'=- 


35 
8 


e' 


B<'' = 


57 , 
16 * 


— rr^e ziz etc. 
236 


B<«=' 


9 
4 


1 33 ,_ , 


m^ = 


1 
2 


^^^+S»*--*- 


B'*' = 


3 


-§e-:i=..c. 


Bf = 


15 , 
16-* 


-fe-ietc. 


B<«^ = 


4'- 


^ etc. 


Bfr> = 


343 4 
256® 


=? etc. 

B<7'» = B? 


■ B<°> = 







B<.« = 


16 ® 


--e-.e.c. 


Bi^ = 


9 
4 


e+|-e'=feu:. 


B<3' = 


1 
2 


■3e'+le-^e.o. 


B**' = 


3 

4 '■ 


-%e-^^. 


Bf> = 


l^" 


:_-e-.e.c. 


B<? = 


i^' 


HH etc. 


B'r = 


343 ♦ 
256® 


=?: etc. 



B'7" = — B'." 

quae omnes ad indicem i pertinent et ope excentricitatis Lunae computan- 
dae sunt; deinde 



Digitized by 



Google 



m 

G'°> = o 

GW — — — *.'* _L *^ ^'* — « 

G?' = 4-e'-f e":i=etc. 

Gf« = ^e-_l^e'*-etc. 

G«> = ^ e'^ =p etc. 

G'^ ^ 32 *'* ^ ***'• 

^(„ 228347 „ 

*^" = -7680-* =^«*''- 

Gf7''> = G<r> ^ 

GW = o 

G';>=-4-e' + ^e"=Hetc. 

G?'=-f —!-*"+§*'*-«*«•. 

G?>=^c' — ^e^ietc. 
G'«=4c"-^e'*±:etc. 
G«> = ^e"=!:etc. 
G<«>=^e'*=Petc. 



228347 ,5 

— e =!= I 

G<7''> = — &p 



• 7680 



K<°> = ^ 



K<'> = A e' > § e" + etc. 
K<«>=4-e"+4-e'* + etc. 



23 



Digitized by 



Google 



118 



fi'3) = 


16* 


r 4- etc. 


K'« = 


§ 6'* + etc. 


»« = 


1773 
256 


e'* + etc. 

K<-'') = K"") 


C'? = 




e' 


(1- 


-c'»)l 


cr = 


1 

2 


4-§e- + etc. 


C'« = 


3 
2 


e'+ 3 e^ + etc. 


C'|> = 


53 

16 


e'" + etc. 


C'« = 


77 
12 


e'' 4- etc. 

c'-/) = CT 


c';> = 


: 




C." = 


1 
2 


+ ^«'^4-etc. 


cr = 


3 
2 


e'+^«"+etc- 


C'3> = 


53 
' 16 


e" + etc. 


C'*' = 


77 
■ 12 


c" + etc. 

C'7''> = — Cf) 


i)'°) = 


: O 




D'c" = 


1 

- 16 


e" 4- etc. 


D'? = 


= — 


1 e' 4-4 ^" + «*''• 


D<|) = 


1 


— 3c" =i= etc. 


D'« = 


5 

- 2 


e' lle"— etc. 




Digitized by 



Google 



179 



Df = ^" c"- etc. 
i)»)=^c"-etc. 



D<°' = o 
I>'o=^e- + etc. 

l>'? = --^e'4--|-c"+etc. 

1??'=-^ 3e" — etc. 

i?'*> = -|- e' — Ue" — etc. 

D'«=^e''-etc. 

I?'«=^-|?e" — etc. 

UfT*') = — D'.'"' 

quae omnes ad indicem t pertinent et ope excentricitatis Terrae compu- 
tandae sunt. Termini harum serierum hic appositi ad perturbationes Lu- 
nae usque ad millesimam minutae secundae partem computandas satis su- 
perque sufliciunt. 

r 

Secundum praecedentia quantitas perturbatrix Si formam induit hanc 

ai2 = [i , q, cos iig + rg' + H,) 

ubi X index est ad quantitates decem i3j, Si^^ etc. in art. 3. introductas 
deinceps referendus, et H, arcus decem, qui ipsi ig-^-i^g in yaloribus 
ipsarum Sij^ Si^^ etc. adiuncti sunt, deinceps denotat. Est igitur 

[,-, r]. = -^ [|-f sin^i + f sin*^/]P« K«') 

[,•; ?],= -^[f-|sin'^i+j8in'^J]^9<« + 9'i>|^G'''>-Gn 

ni 

etc. 23 ♦ 



Digitized by 



Google 



180 

H,z=o 

H,=zni7y—2y'—iti)t + ik 
etc. 

Qaum in expressione finita ipsius £i arcni v^ semper qnantitas nfft ad- 
iuncta sit, erit 

« (S) = -^' t'"' *^' ^*" ('^ + '"^' + ^'> 

obi Talores decem ipsius f^ sunt 

• /i = o, /, = 2, /3 = 2, /, = 0, /5=2 
/6 = 1, /7 = 3, /8=1, /,= 3, /„=1 
praeterea quum prior ipsius Si pars per r* et posterior per r* multipli- 
cata sit, habemus 

nbi Talores decem ipsius h^ sunt 

*i = ^. = *3 = *4 = *S=2 j 

/rg = ft7 = Ag = ^ = ii,o= 3 

I 
8. 

Revertamnr ad expressionem ipsius T hanc 



8* 



»^r 



+V7f^ 2 -^ sm (/-9) «»• Ct^J - ^ . -^ 

ubi, designantibus f anomaliam veram Lunae adiumento t^ ei (p eandem 
adiumento r computandam, /-{"^^^4"^ ^®^^ *^ ^* (p -{- nt/t -^-st loco A 
substitui. Positis 

=i2^os^0cos/+;-^{]+2?sin^[->/+g]-;;^-lj=^ 

^{2|^cos9).^8in/-2|sin9).-^cos/j=2;j::2i:X'';*sin(xy+*^) 
ubi K et k numeri integri sunt, habetur 



Digitized by 



Google 



181 



dar\ m ^'o2 

dy 



Si in hac expressione yalores ipsarum a \j-) et orC—j ex art. praec. 

petendi, et valor ipsius — j— ? mutata I in r, ex art. 4. sumendus sub- 
stituti fuerint, emerget adiumento aequationum (2) 

T=n2;ii:2lSlX»i VX«iy,j[i;»^,dn[xH-(H0ff+iV+H,]+«^.2±:?xJl<J' sin xy (3) 

Ad X^i^ et X"^* explicandas pono 

2^cos9= 2?±:;S<:>cosKy 

2 - sing) = StZ ^V sin xy 

-^ cos/ = 2tZ N '■t' con hg 

■^ i\n f z= 2^m;i ivalig 
1% = « t^^r cos ftff 

-5^1^ = 2S: r<r sin fcg- 

2^n^)=^i2FC»)cosxy 
hinc nanciscimur 

^ 21S 1S<.^> [iV'?+ r*]— 5<;'[iV'*'4-t;"'?]^ cos (xy-f *^) — 2±» F"" cosxy — 1 
j2 ^cos^.-^sin/— 2-Jsin9.-^cos/j = 2;±:2;iS lS^J^iV^r-'S^;'iV^*'^m(xy4.i^) 

Si expressiones hae cum praecedentibus expressionibus ipsarum X''^'^ et 
X^i^ comparatae erunt, emergit 

V 1 — «* ^ / 

x-i* = -1= jscx)[iv(j)^ t^(t)3__ s(K) [^(j)+ t^cj)]j 



Digitized by 



Google 



182 

si excipis 

Xr = ^;A_J5(«)[2V(0) 4. 1/(0)] _ i7(«)j 

et si denuo excipis 

. X'>: = ^^ J5W[iV(04. t^w] _ F(»>— 1| 
Ad transcendentes has evolyendas habemus 



2 



2 — cos cp = j^ 

2 -^ sin cp = 3 — 

a ^ ea dy 

unde statim nanciscimur 

dR^^) 



S^?^ = - 



de 



e 
deinde secundtun art. 5. 

Ad ceteras transcendentes obtinendas animadverto esse 

et eodem modo, uti in initio art. 5.^ differentiatam quantitatem t^ suppe- 
ditare 



d^lr 



r.2 



= 2-^(l-c^)-3 ^-+ -^=^i: ^2(l-e*)ilL']-3iri>+llL*^icos*^ 



unde 

a . ^ V^i^ dlf vr^ V.4-» 1 



f- sin/= ^.-^ = 111^' 2;±: -^ j2 {l-e')R^l- 3R^j!}y\-R^ ^nkg 

cui integrali constans non est addenda. Deni(|ue 

cos/_ a 1 _ 1 ^4^ pf,) . 1 



siii/ 1 dr 1 



oev^i-e^ r/^ ev^i-e» 



2;j::;*ii^?sin*^ 



Digitized by 



Google 



183 

itaque ope formularum art 5- expeditur 

2V(J) = ^-I^Hi^) + ^H^? ; si excipis N^i> = - ^^^— 

U^t' =— £■ B^a^; si excipis I7(;> = — j~ 
TJik)_ k_dR^ 

quibus formulis tran^cendentes nostrae ad coefficientes evolutionis ipsarum 

r^ et r"~* et earum quotientes dilQFerentiales respectu excentricitatis reductae 

sunt. Substitutis his formuiis, quantitates X^;'' et X^;^ per easdem^tran- 

scendentes expressae erunt. His Tero quantitatibus forma concinnior attri- 

bui potest. Quum sit 

a j, dlr a sin/ 1 d.lr, 

cos7 = — r— et — ^ = T— 

T ^ de T y\^t* e dg 



pono 






ubi casus i = o excipiendus est Hinc habetur 

^^ — de 
si excipis 



Porro fonnolae praecedentes suppeditant 



R^m 



3 



itaque posita 



AV"i— 



= F^*> 



habetur 



Digitized by 



Google 



184 

si excipis casum quo k ~ o. Hinc coUigitur esse 



*v=.^C^)-C^)*^ 



xv=«S(;-^)-C^)t^ 

si excipis 

et si denuo excipis 

quibus in formulis no^s est 

ubi casus ^ = o onmino excipitur, porro 

~2(l-e») de **(l-e^) -=^ *=' de 

sive, id quod ad eius evolutionem in seriem commodissimum est 

fF<*>=:y]l=f!ii!fi4. ilil'*) j de 

si excipis 

quibus integralibus constans addenda non est« 

Transformationem quidem ipsius T in theoria nostra lovis atque Sa- 
tumi explicatam in theoria quoque Lunae in usum vocare nobis licubset, 
sed quum illa ad formam hanc 

coeflicientiyim ipsius T perduceret, coefficientes igitur ipsius [i, i]^^ fun- 
ctiones indicum %j h^ x ei i forent: calculus supra adhibitus, qui coefB- 
cientes hos functiones indicum x^ h ei x absqne i suppeditat, hoc loco 



Digitized by 



Google 



185 

praeferendas erat. In theoria rero planetanim, ubi ratto illa simplex inter 
T— ^ et r Tt-J' ^^^^^* — hxifx^ locum non habet, et ubi \-^tj et 
r* y-Tj)^ quoties reciprocae duorum planetarum perturbationes computan- 
dae sunt, ex Si, ei r (-t-j facillima opera obtinentur, transformatio illa 
praeferenda est. 



9. 

Theorema illud in art. 8. theoriae nostrae lovis atque Saturni demon- 
stratum, secundum quod termini aut ipsius T aut ipsiusyTdf, etc, in 
quibus sine respectu signi algebraici % maior est quam 1, ex terminis fa- 
cillime computantur, in quibus x = l et x — — 1, etiam in Lunae theo* 
ria locum habet, et ad calculi perturbationum tum primi ordinis tum or- 
dinum altiorum compendium maxime confert. Loco huius theorematis, cn- 
ius in theoria planetarum adhibendi demonstratio loco excitato invenitur, 
hoc loco theorema generalius demonstrabimus. 

Sit r functio huius formae 

r=G^cos(p4-H-^sin9?4-i 

ubi G, H atque L functiones solius yariabilis I sunt, quas in series infini- 
tas secundum sinus et cosinus arcuum at -^ ^^ at -\- ^, etc. progredientes, 
denotantibus a, ^, a, /)', etc. constantes, evolvere licet. Si in hac aequa- 

tione loco -^ cos €p atque ~ sin (p evolutiones earum in series in praecedentibus 

datas substituerimus, nanciscimur 

r=L—^eG—iG2:tS. ^^ cosxy — ^^^-^ H27J2 «ii<J) sin «y 

ubi sub signis summationis yalor x = o excludendus est, quia terminum ad 
hunc spectantem separatim adscripsimus. Secundum hypothesin statutam 
ponere licet 

— iGz=2Fcos(at4-|5) , |^^H=2;W^8in (a^-f^) 

u)ide 

24 



Digitized by 



Google 



186 

r = A — I e€? 4- 2 Slr^ «(«> cos [xy4- «f-f fl 

ubi in SDinmatione efiam valor x= o excludendus est, quia termini omnes, 
i(i quibus x = e est, extra summationis signum appositi sunt, et ubi 



*(x) 



pj^4.fr»iiw 



Positis deinceps in hac aequatione et x-|-l, et — «, et — x — 1 ioco x, 
elicitur 

„(-x) _ yj^_jf^^m) 
de 



a' 



.(-'«-I) 



r^t!l_fF(^+i)B(x4..) 



ubi F et n^ ubique eaedem quantitates sunt, quoniam e tc non pendent. 
Eliminatis (jleinceps V ei fV ope primae et tertiae harum quatuor aequa- 
tioQum, nanciscimur 



F = 



W = 



a(x) _ ^(-x) 
2xjR(;) 



q«ae in seeunda et quarta aequatione substitutae subministrant 

ubi X absolute, hoc est sine respectu signi sui algebraici sumenda est, 
et ubi 



M 



^ | L de J (x-4-1) 



JJ(x-+i) 



K^') 



x-S»» 



r =i- 



Habemus igitor hoc 



IV de J (x-»-l) J2(''+'>l 



^de J 



*m 



Digitized by 



Google 



18? 

Theorema. 
Quotiea F est functid huius farmae 

r — Zr 4- G ^ cos 9 4- H ^ sin 9 

ubi Ly G atque H indolis supra designatae sunt: ope aequationum (^)^ 
quarum prior ad terminos ipsius JT, m quihus % positiuus^ pBsterior vero 
ad terminos^ m quibus x negatitms, adhibenda esty termini, in quibus x 
sine respectu signi sui algebraici maior est quam 1 , ex iis^ m quibus 
x=l rfx= — 1, faciWma opera computantur, unde in evolutione ipsius 
r ceteroquin instituenda non nisi ad terminos, in quibus x = o , % = 1 
e* X = — 1 est^ respicere opus est 

Facile quoque reperitur theorema idem locum habere, quoties G for- 
mae Vsin J^at^P) et H formae W cos (a* + ^) sunt. 

lam facili computandi ratione expressio ipsius T in initio art. praec. 
data pro approximatione prima in hanc transfertur expressionem 

unde manifestum est fTdt eiusdem formae esse ac JP, itaqne adiumento 
aequationis (3) terminos in quibus x maior est quam ± 1 computari non 
oportere. 

Infra monstrabitur , quousque theorema hoc in approximationibus sub- 
sequentibus locum habeat * 

10. 

Transcendentium X*i'' et X^;^ erohitiones in series infiifutAs in theo- 
ria Lunae commodissime adhibebuntur, quare per formulas supra traditas 
computayi 

dW(o) 1 1 , 1 ^ . 

w _-— e — ^«-— j^ « *- jgi^ c — ew. 

24* 



Digitized by 



Google 



hinc emersenmt 



188 

|Kr(4) 71 4 129 g , 

~192 320 -r^^^- 

Wis)—^ » 10039 , , 

^ —1280 ® ~~ 18432® "retc- 

^ ' = 1920®* **''• 
yp(7»- 355(fel , •. 

• "645120 ® ***'• 

— 24 ® 128 * ^ 1024 ® + *"• 

F(«-!03e*_*l^«_Letc 
~~ 192 960 "^ 

r(«-i5?!e'-i^e'+.etc 
~ 1920 ® 230400 ® ^ "''" 

' ir(6) _ 1223 , 

'^ ~ 1920 ® ^^'^' 

„(„_ 47273 , 

'^ — 64512 ® ~" ^*''^ 



V 1-c» ( J-*-V 1-«») 

Xr= 2-e*+^e* + ^e« + etc. 

XV=-3e4--|-e'- ^e* + etc. 
XV=-^e*-ge--etc. 
Xi'»= ±e_2e'-^e'-etc. 



Digitized by 



Google 



XV 



189 

_ _7_ »_ 3 » , 



^ " ~" 48 32 



VI 3 — "^^ * ^^ * I 

• ■" i^ * ~ 512 ® "T" 
ir-i4 103 i 277 , 



X\* 



24 48 — 

19Q 



Y-, 5_ 1097 * 68429 . , 
• ~ 192 9600 * "1" ® 

5/600 

*'•'= 1^«* + «*^- 



f 

X''° c= — e 



+ w*' + ^*' + «*«- 

X-i.-= l_e» + ^e*- ^e' + etc. 
XV=--|-c+-^e'+ Ae« + etc. 

xv= x^' + il-^^ + S^^ + ^*^- 

X-M= -|-e--|-e' + g|e' + etc. 



Digitized by 



Google 



190 

XV=-§e' + ie' + etc. 

^v= S^*-i«* + «*^- 

Xy= ^V-§e' + etc. 

XV=-^e* + f e« + etc. 

Yi,4 — _ c' etc 

-*■ • — 960 ® 

^ , , 523 ♦ 1451 , , , 

*V=-^^' + etc. 

*V= i^4«"-«*«- 

V , 6 ' 899 s , 

X-i.«= jgoe-etc. - 

Yo,6 ?^ e' 4- etc 

-*• — 320 * ^ 

_- , , 355081 g 

^•'= 16080 ^-^'^- 

x-j'-* = — X^'* 

Praeterea computavi 

rft) - ^e^^e' oe' + etc. 

92^3> = -g- e g- e* — etc. 

,,> 125 125 , , 

648 
V'' = 625 ^ - ***'• 

,,, 16807 
V" = 15552^ -«**=• 



Digitized by 



Google 



191 

P=-4e'-etc. 

Hi termini appositi ad perturbationes Lunae usque ad miilesimam minu- 
tae secundae partem computandas satis saperque sufliciant, ultimos enim 
terminos ubique fere abscindere licet. Substituto yalore numerico excentri- 
citatis Lunae in seriebus "praecedentibus , quantitates X'*;''^^ — X^i''f, pro 
dirersis ipsius x valoribus fadle computantur, et quatuor quidem casus se- 
cundum art 7. ademnt, nam valor numericus Ajp =: 2 cum yaloribus nu- 
mericis fg—o et /, = 2, nec non valor numerictts Ajp rz 3 cum vaioribus 
numericb fs—\ ei f, =z 3 una existit. 



11- 

Computatis adiumento aequationis (3) omnibus ipsius T terminis in 
quibus x = — 1, x = o etx— 1, termini aderant ipsi .x=i respon- 
dentes hi 

2n 2:^ Xl" [-*, o], 8in (— y) + n ^^^ (- l)iiy) sin (-y) 
+ 2n271SXV [*, o].8iny + i, -^ (4. i) nm sjn y 
Quodsi hi termini cifrae aequati fuerint, habebitur 

y. - — Roj r^^ 

quae est expressio analytica ipsius y^, qualis in approximatione prima eii- 
citur, qua quidem expressione facile demonstratur y^ semper esse debere 
quantitatem positivam. Concinnius vero computatio haec et subsequentes 
computationes ita explicantur. 

Computatione terminorum ipsius T, in quibus x= — 1, x=oet 
X = 1 est, peracta, habetur 



Digitized by 



Google 



192 

sive 

quam^ quantitatem ita repraesentabo 

(5) T=n2»ii''*'sin(7iy^ig+rg''{'H,)^n [r;°''-r:.°j^]siny+n^^^il^>siny 

in qua expressione ipsi x solummodo valores — 1, 0, et 1 attributos esse 
supponitur, et 

ubi tamen sub signo summationis casus in quo simul x=l, i^^zo^ i=o^ 
xz=l et casus in quo simul x = — 1, 1 = 0, $z=zo^ x=ii excludendus est, 
quia terminos ad hos casus pertinentes separatim adscripsi. Integrata au~ 
tem haec expressio suppeditat 

/Tdt = - S^^y^' cos[^y+ig+ig'+H^]+nt[9^i °' '-O^l^i ']siny+w<-T^it!;^siny 



ubi Vg coefficientem ipsius nt in H^ denotat ,- et ut supra u loco — scripta 

est. Itaque ad teiminos per 7it sin y multiplicatos toUendos habemus ae- 
quationem hanc * 



w if, R(i) r 



2R^V 



l-€'^ 



atque tum 



(7)........ fTdt=-2^ cos (y.y + ig+ »>'+ H,) 

f-HI U-^Vx 

cuius valoris ipsius y^ ope non modo termini formae nt sin y sed omnes 
termini in fTdt per t multiplicati sublati erunt. Omnes enim huius for- 
mae sunt 

nt [9^^'' — riV] sin y.Y 
ubi ipsi X positivi tantum valores attribuendi sunt. Theorema vero in 
art. 9- demonstratum et ad hos terminos applicatum suppeditat, scripta ©'i®'^ 
loco a^^^. 



Digitized by 



Google 



m 

sive, substitutis valoribus ipsamm rf^^ et 0"^^^ 

unde 

(x-H-l) iR<»*+o x/2<*) 11' •-.•.';' - 

Ergo quum coefficiens ipsius y^ su^ %y in valore integro ipsii|S fHdi sit 
ipsi X ii^2^ proportionalis , coUigitur valore ipsius y^ sub (6) dato terminos 
omnes in J*Tdi per tempus ipsum multiplicatos sublatum iri; id quod sem- 
per fieri^osse in art. 5- Sect. II. iam demonstravimus. 

Aequationes igitur (5) et (7) monstrant, deletis terminiii per sin y 
multiplicatis, /Tdff ex T, multiplicata ^V'f P^^ factorem t-:^— -, inver- 

80 signo algebraico producti et jnutato sinu in cosinum , obtineri. Si pro- 
ducta haec simul per rf^\ rf^^ ^ etc. fl'*^, etc. multiplieantur,' termini ipsius 
fTdt in quibus x = 25 x = 3, etc. x = — 2, x = — 3, etc^ sunt, statim - 
obtinentur et valor integer ipsius fTdt huius formae erit 

- ^SSb^»^ ly + ('-1)^ + 'V+ HJ - ,.^^/os py + (i -2) g-+,V+fl,]-etc. 
^*-"'" cog[-y+(.-+l)^+.V+flx]- 7?SSr-««>*[-2y+0'+2)^+»V+HJ-etc. 



l+l+fw+V, L /^ I V I /6 > S ' xj iVS+i^M+Vx 

quae forma generalis est, nec allam patitur exceptipneni, 

12. 

Secundum art. 2. habemus 

sive 

fF=-6+..rf,(i-6)l4-^„r-+/:rctt . 

quare ante omnia A, et A,^ eTolvendae sont. Art.. 6> Sect. III. suppeditat 

25 



Digitized by 



Google' 



194 

^^^ = 3 -J cos' «p + 12c -^ cogg) + 2 -|- co8> — -^p + iOe' 

qoae ope fonnularam artt 4. ct 5., matata < in v, facile piiimun tran»- 
formantor in 

""* «'o' e^a "^ «»p «• 

et deinde in 



^, = — 22^-^co8»y 



Ideo si pomtor 

^; = ^t -<** «08 ^ 

erit nobb 

" ? ~" ' e de 

qoae in series evolatae prodant 

^') = 2— -|- e' — -^ e* — etc. 
^») = e~-|-c' + etc. 

J^« = ^e'— etc. 

^» = 3i^c*-etc. 
etc. 



Digitized by 



Google 



m 

etc. 
Substitntis hki valoribns , nancisciiniir 

W = - 6+^ f(l-6)|^4.r^| co8iy4-2?«'i''.'co8(«H-fg'+»V4-H,) 
obi A 



et notandam ^st, propter Talcnrem, quem ipsi y^ attiibuimiis , esse 

a^^»' = o 
Hinc matata r in I elicitor 

ubi 

P'''»' = o^''''* 4- «'r''*'- ' + etc. + a':r;''''' + etc. 
Ex art 2. vero habetmr 

i„)^ = g + nfWdi-^nf^dt 
ex quo sicuti ex eo quod est 

-^ = l+fc» + 22??il«co8.-^ 
emergit 

ubi in ultimo termino sub signo 2 valores speciales indicum , pro quibus 
terminos separatim adacripsi, exc||pi4ndi smnt. 

25 * 



Digitized by 



Google 



1^6 

Quibus computationibus peractb, arbitradae b et i ope aequationam 
determinandae sunt harum 

quo facto, in (fi)z praeter terminum nt qui in ipsa g continetur, nullas 
terminus neque tempori proportionalis , neque per Ah g multiplicatofl 
adest. 

Substituto valore ipsius 6 ex priore praeoedeiitiHm aequationum de- 
sumto in posteriore, emergit 

quae aeqi^atio , qu?idratica valorem ipsi^s $ suppeditat, pro quo ea aequa- 
tionis huius radix habenda est, cuius yalor approximatus est = 

/i,o,i_/-i,o,i_2y, ■ _ * 

V 1 — e* 

.1 — ^^''-^,; 



Praeterea habetur 

qui ipsarum 6 et | valores in coef&cientibns ipsarum sin 2^*, sin 3^^ etc. 
expressionis praecedentis pro (n)z substituendi sunt. 



13. 

Ip art. 2. allata est aequatio haec 



w 
ubi 



et 



i 

C = term. const. in j- ^^^ . (■!)'} 



Digitized by 



Google 



m 

Valorem veto ipsiiis W in art. j^raec. datum ita quoque eii^hibere licet 



ubi 






81 excipis 

si denuo excipis 

^0,0,1 __ft 

in quibus ralores numericos quantitatura, quas continent, secundum regulas 
in praecedentibus traditas computatos substitutos esse supponitur. 
Hinc habetur 

"^^ = — 27x4'*''' sin (xy+ig^+iV + H,) 



dy 
atque hinc 



(^) = 27^M'.. 8in (ig. + ,Y + H,) 

si ponitnr 

p*,*',. _ ^ cj-i,*'.*_ 2<4-»''''' — etc + «!?'''•' + 2«'+*''''' + etc. 
porro 



et 



ny — ^r^<?« = 21?? JR'? cos i^ 



Term. const. in j— (— ) j = — 1 — f c' 
Substitutis hia Taloribas in aequatione praecedenti pro to, nanciscimur 

quae aequatio yalorem ipsius w perfacile computandum suppeditat. Qui- 
bos absointis, art. 11. Sect XII. suppeditat terminos prhni prdinis ipsius 
(54*0 9 V^ in perturbationum secundi ordinb computatione in usum vo- 
candi sunt, per formulam hanc 



Digitized by 



Google^ 



m 

ubi 

^ dz d% ^ 



dt dt ^ 

cuius quantitatis valor nuinericus ex compuiationibus praecedentibus iam 
praesto est. Eadem rero aequatio conflrmando calculo numerico inserviet, 
si praeterea S calculo directo computktur, id quod fit per formu- 
lam hanc 

SJ^t - eJ- -j=2? !'^''^' C08 (f^a.,y4.H,) 

Valoribufi numericis ipsius S* 4* ^ ex his duabus aequationibus , quae con- 
gruere debent, elicitis et comparatis, errores in calcuio numerico pertur- 
bationum, si qui forte commissi sint, facile detegi et corrigi possunt. 

14. 

Formulae perturbationes primi ordinis ipsarum P, ^ et K exhiben- . 
tes secundum ^t. 12. Sect. III. sunt hae 
dP «. , N • T ^ an rdSl-^ 



djf ^. . • I T on r-dSir^ , • 



ncoftat ncofltat 






ncmf dt ' ^ ^ «.-ri/j „eo»»'d« v i »/ j 

dK . 1 «n r'*^"^* i r 

+ 4 « —^^ «g i 'co» [«'-H-Mf«+i)0 -i « —^, <K i '•«"[«'-•'+ ^--fH"?) *] 

9 coi t at 11 cof t at 

Pars ea ipsarum ip'^ et d^' cuius caussa attractio Lunae est, £oninm hAr 
bet hanc 

dp' ^ j m sinZ t»V / cos [/-+-/-4- n (y -4-^-4- a — i?) ^ -*-»'-♦- v -4- *L 

d^ I m sinf fl^/ r sin [/-4-/-4-n(y-»-y'-4-a— i/^^-Htnc^-HV-l-fl) 



Digitized by 



Google 



m 

ei tcffimni non ^ periedici aiiriMCtioite pla»etiimiii ia nHKtu orhitlie terrae 
prodliidi stMt lil 

ubi 6, ft^ <; et c quantitat^s MMeiicae sunt ex «oto l^oUs iuottt desumeii- 
dae. Quas formulas, positb. 

*' "" - ^ sin B 



n ii*(a-»-^) 



-^=-ftcw^, 



c, 



sub hac redigere licet forma 

neostat ^ a-*-iy / ' ' 

Substitutis his yaloribus in, expressionibus praeeed^Qlibus ipsanun dP «t 
^Qj neglectisque excentricitatibus in yaloribus ips^rum dp et dfg^, id quo^ 
licitum est, nanciscimur in — terminos hos 

at 

- n^ cosf Icos [n(a+jj)*~3r'+ v-*+B] - -^co8il8m[n(a+tj)t-3if+v-k+B} , 
-n*t(i^coaj;Icos[n(tt+i})i-n^ + v-h+B,] 

+ 



i_m_ . j no, co8[ff-<-g'-Hn(y-»-y'-t-2«)<H-2»]i 
»M.«-m ao'|_coi[g'-g^-t.ii(^— y' — 2i2)<.t.2*]l 



et in — ^ hos 

at 

-n^cosf /sin^nCc+i^^l-jt^+if-t+B] + Acogi Jcos [n(«+i^)t-«'+v-*+BJ 

- n'<^ C08 f /sin [n{« + ij) t - V+ V - *+ B ] , 
+ X " gin / — f •''nU-^/'«j.«(irH-y-+-2«)<-t.2v]j 
2 M-H» ««'|-^8io[ff— ^'-♦.nC^-y— 2i?)<-t.2*]l 



Digitized by 



Google 



200 

In his terminis ponere licct — nf -{- P *—k:=:z — ®, uU, uti iki art. 34 
Sect. II. (lenotat longitudinem nodi ascendentis orbitae Lunae c«m ecli- 
ptica tempori t =: o respondentem. 

Substituto hoc valore in expressionibus praecedentibus per dt multipli- 
catis, nanciscimur pdst integrationes peractas in P terminos hos 

et in ^ hos 

+ -^ cos f /cos [it(«+ij)*- 0+B] + ^. cos \ Jcos [fi (c + 1^) I - + BJ 

- AC».2a'»(l-^.«I^iy'^!2«) '=**^tg+g'+"Cy+y + 2«)t+2i>] 

-^ ^aiKi-u^iy-^^j ^^^^tg-g^nCy-y-^i?)^^^] 

Expressio ipsius Si haec 

«i2 = [;, ,"], cos {}g + iV + H,) . 
in axt. 7. definita suppeditat 

-' " Cdj) *^"* 2 ^ = ^* P» n* «®s (»5^ + »Y + ^x) 

ubi P, et Q^ functiones ipsius / sunt, quae ex differentiatis expressionibus 
ipsarum a>J2, , aSl^, etc. in art. 3. datis inTeniuntur. Differentiatlonibus 
his institutis, emergit 

p _ i gJn j f— ; giii^ § f-H3 sjq' f f £) _ ' 

'~ f-a8iii*if^.|8iii*if ' Vi— » 

P, = 2sini/, 9,=: 2sini/ 

_ 1 — asin"! f -j _ 1 — 2gin'f f 

^3 — " sinjf ' V3 — - ,inx/ 



3 ' 



^*— ^* ' ^^—"^iT 



Digitized by 



Google 






m 

p- V8in§f-x}Agin»|/->-V.m'|/ ^_ ri„XJ 
^6- |-V8iM*ff-*-V8in*ff •' V<— su»a4 

P- V»in§f-V»in»ff-KV.in»ff ' _ , • x, 

-^7— I— v«i""if-t-V«"*ff ' ^'~' ^*"a' 

p _ |8injf— Vgin'§f^l5gtn*|f ^ _ cog^ff 

.«"■ Jgin»ff— V8"»*if ' ^8— " iin§f 

P— V 8»» f ^- V "'"' § !•*• V 8i"* f ^ CL— ^-3»in'i^ 

''9— Vsin^i^-V»!»*!^ ' ^" Sr|T~ =" 

Sttbstitutis expressionibtts praecedentibus in fonnoBs pro ^ et — in hu- 
ius articuli initio allatis, emergunt post integrationem, si perpendimils esse 
»(y + j/ + 2a)*+2r=:fli, n(y-.y'-;?i2)< + 2ft = fl; 

y + y4-2a ?= ^8 j y— y— 2ij =1^6 

Talores ipsarum P et p hi ' > " 

dP = - jji^ cosi Z«in [„(«+,2)<.e-|.B] -^ C08il8m[ii(«+i,)l- e+^1 

m a sin I * • r * \ rr V ' 



JL. -4= 2? /*P'''J' »m(i^4-iY-i-il,) 

"VT^ <-*-ft<-H»« VST^ST */ 



d9 = J_cosiJco8[«(«-h)«-©+B]-t-*c<«iJrco8|;n 



m aginf ' 



co8<g'— ^-j-ja^s) 



wic^i— gi i , ^y*> coaP^-Kg^+fl») ■■'' -''■••• •"■:"^^ ••"■■'' 

■ i',1..- . :..•:, 1-. ' (.i^-m/h; ■'■•i . I) (■•.^.,.IJ •ijf:)ii h^..-',;-- 

In hoc ,ip8iiu P yalore terpniivu e {<>>,<^|t P^^d*;.^?^?^^"'. ,5^*1^^' 

•; 7, 2«nif v^ ;; - :^ , 

Qmun valor nomericas ipsias -^ cos J J sit circiter 1,*5> «* val©r«« 

*^ 26 



Digitized by 



Google 



(9). 



numerici coefficieiitiuHi expressioDifiii praecedentium per m^ miiltip)icatprum 
circiter 3": sequittir in valore ipsius K terminos e dp e\ dq' emersuros 
optimo iure negligi |>c^siei' Quibtis positi^, formnlae in huius articuli infiV 
tio allatae statim suppeditant pro approximatione prima ,,. 

* "^ = «tg^ f / ■ 
His computationibus omnibiis peractis, ^pproximatio prima ad pertui'- 
bationes Lunae of)tinendas absoluta est, sed antequam computationes ap- 
proximationis secundae explicabimus , necesse est ostendatur quomodo per- 
turbatioiles longitudinis mediae lo^arithmique radii vectoris Solis ad for- 
mam hdc.loco requisitam redifi^antur. 

r V ' /-- 15. . - . 

Formlilae praeccderites omnes supponunt, expressioHem Terae Solis 
longitudinis ad formam hanc n •• ,; ^ , 

,U :„..,,,_,.; ..<.= /-+V' + «'. , .. , •• . ... 

redactam esse, dum in theoria nostra planetarum, ipsa y non continetur. 
Perturbationibus Solis (siveteifcae) ad f ormam praecedentem redig^ndiis inser- 
yiunt, ut iam explicui, formulae s^rt. 15- Sect. JI. Suppono igitur datas 

A.' = ^^ 4" ^ 

ifbi qp et q\ ex data qoantitate ^ et ^equationibns ipsis (13) art» 13. Sect. II. 
plane similibus pendent , et inveniendas esse ' 

I «q' = z^' + |3' ..„;^,, \; 

ubi q> et p ex incognita quantitate J^' eodem taiod(y qiio illaeet» f'^, pen- 
dent. Consideretur nyt quasi inctemeiltumjp^ius Jr''^ : quodjqmim ^it et in casu 
quem nunc tractamus, incrementum excentricitaiis non existat, aequationes 
(W*) W/'ri:;^ Wiptis /4-«/^^ it, it^ loco Wo et k lotd'co %ii^ 

(e), suppeditant, si tertia altioresque ipfius Wl potestates iiegli|g^nYnr, -^"' 



^ 'a - i A".' \ ' ^. 2 t2A% 

>?= W^«y*' ^ = -2(1=?^)"^' 



Digitized by 



Google 



• Poiditis ^porro' in aeiiaatifn!bai i(Q6) et (27) ^ectv JL^ n' Uc^ (n), ^ 
loco (g), f/ loco T, e' loco (c), a' loeo (»),; ^ Ibco (^j Q^ locb (^^ 
^ — ^/ loco (^), nec non valoribus praecedentjUbus ipi^ar^ ij et | et prae- 
' terea 6 zr o et (c) = o, nanciscimur ♦ ^ ^ ^ - " 

«'^ = «'&'- ^ Ve/I sinr«'<it'H- ^-^ ««y-f/f e' j! anVTCli*^ | ci* ^ !n'd&' 

^ = ^''-*-,4^'»'4«^v'-^j(i^"Vvj«'Kfw'*^+a'0|Wj .,.■ . 

quibus aequationibus problemavnostrum solutunl est "^). 

Neglecta primum y'*, positisque^/ ®^. ^/ fesp; Joco. Q et ^, aequa- 
tio prior post integrationem pcractam praebet 

Si in hac aequatione ponitur ^^^ — o, habetur 

pro valore Tero f/ =: p necessario esse d^bet 9^' ir: o , unde T =z ^. Ae- 

quationes vero hae 

^''' .■'• ■■. ■- • • . ■ ' , ..(".. . » ■ • . ' %•■■">. 

. -/ _ ViT?! . sin 1/ 
®^ ~ cosi/— e' 

ex aequationibus ipsia (17) Sect^I.smLl^gb derirajtae suppeditant osque 
ad quantitatea tortii .ordims' respectu ij^iiis y 9 ' ; 

quo ipsius ^ valore snbstituto, aequatio prior (9) etiam suppeditat X'=:nf. 
Hinc ae^[uitur integralibua, quae ?in valoKe pr^^cedepti ^ius ^ €0||%f^tq|r,j 
conat^ntem arbitrariam addendami noti easei ToMtn^ , . : 



(to) 



habetur 



'^ ' 



d.^Blnjp; 



*) Vide aliam huiiu problematlt ■olutionem 10 iltUr. fi^achr. No. 296.. art. 76. '• •• . i\ 

26 * 



Digitized by 



Google 



284 

Substitnta faad aeqaatione in (10), n^lectaqae tertia ipsios y potestaie, 
emergit pbst integratione^ pevactas 

^ =ft'+e'l^"^-^;-e'2-f^.je'|:sin^^;+(l-e-)l^co,^^^^ 
Si hae aeqvationes fonnnlanim artt. 4. seqq. admiiiiciilo evolatae, simul 

substituta, et ir in f mutata fuetit, habetur 

+^^l«'i'-4^!""-v 

Tennini ipsaram 2/ et t&', qni in motu Lanae vim habent, hoius fofmae 
sant 

n'»; = n^i+c^ + t^-aWsiniXn^l+c^^+l^cffcosi^n'*-!-^') 
+f*i;^p(.'>sini(n'«+c')4-«'2?-^<?cosi(B'«+c') 
+Z8in[^-.g''+n(y— y'— 2i?)<+2*] 

«>;= f 2;^t<?cosi(n'«+c')-f« 2;^ t«Bini(n'«-f<^) 
-i-f^J^fltiJcosi^n^fTi-c)-!-*'^?- fl«sini(n'f-f.c') 

ubi ultimi pw coefficientes Z atqne ^ multiplicati termini pertuibationes 
a Lnna ipsa productae sunt. Substitutis Iiis Taloribus in aequationibns prae^- 
cedentibns, positisque 



et at antea . 
emergunt hae 



«-v^«y,=(«) 

i1i)t + d=g' 



Digitized by 



Google 



+*'j^^;'-Jf^>yj4-*'^r{Pi''+^W;.-e^B^ojeos.-^'- 

^Zsmlg—g'^„(y—j/^2ri)t^2k] 
v/= tSft^Pcoaig^^tSrU^^-^^iRf^smi^ 

^t^srl^-^m/^i^-^^^R^^^ig^ 

■\-Wcoa\g—g'^7t(tf-y' — 2n)t-{-2h] 
In his aequationibus qnantitates y' et ^^^ omnino arbitrariae sunt, et 
ad libitum determinari possunt, rei tamen accommodatissimum est y' ita 
determinare, ut terminus in (n')z' per tcosg', et ^^^ ita nt in (n')a' ter- 
minas per t' cos^' multiplicatus eyanescat. Ideo habetor 



„(1) 
^' ~ 2nm') 1 *-*"■ 



^" «*JK«) r*— «^ 2 «*(>?<« )•*•'*" 

ubi non minus quam in formulis praecedentibus R^^ adiumento excentrici- 
tatis terrae computanda est. Quoties y' et y'„ ita determinantur, non mo- 
do termini in (n')z' per t cos g' et t»cosg'' muitipUcati evanescunt, sed 
etiam propter relationem inter terminos t cos ig' et t sin ig' aiio loco de- 
monstratam termini omnes in (n')z' per * cos ig', termini omnes in lo' per 
t sin ig^ et terminus ih w' per I" sin g' evanescere debent. Deletis igitur 
his terrtunb ex expressionibus priecedentibijs, omissisque terminis reliquis 
qui vun non habent, emergunt denique 

(n'ja' = g'-\- /«(.« sin/+ <a»> sin 2g' + <* f|?'i' -f- e'ny| sin^ 
+ Zsia[g—g^^(„)(y-.y'—2ri)t-{'2k] 
w' = «e<2>-f. «t<j) cosg^.\. fc«) cos Sg^-f <« ^fl(j>_x eVy;^| cosff' • 
+ Wcoslg—g'^(n)(ff—y'—2ri)t-{-2l!] 
qui eont ralotes ipsanim (n')a' ** to' m hac Lonae thepria adhibendi. 



Digitized by 



Google 



mmm 



S E C T I O V. 



EXPUCATIO COMPVTATIONVM APPROXIMATIOMS SECVNDAE 

ET SVBSEQVENTIVM. 



1. 



S^i in fonnulis art. 7. Sect. III. tennim tertii brdinis abscinduntur, habemns 

(1)........ („).= ^+(„)yjF+(„)d.[(^>^'-f^]+.'jctt , 

ubi 

IF=~6+^,(l-6)|+^„r+Z 

Hae .igitar expctssioaes tenniiids' omiiei ipiius (n)^ tttm priitii tmn 



Digitized by 



Google 



m 

secundi r ordinis .eontineiit, et .quum . in ^pproximati^ne prima terminos 

/(l>dfr— ^j:^^ -— - ^on^ secunda ter- 

mini reiiqui expressionum praecedentiun considerandi smrt 



Ante bmnia Decesse est qtantitates auxiliaref , quas expressio ipsitis Z^ 
reqnirit, expliceqiur. Suat autem faae ;..*; ,<l. , „ 

■ rf(7o ^dcf) djf) ,'dif) 'aicf) hH' ^(fy 

xnnatio prim^ ipsam (T) explicito fuactioiitm ipsaniin g* atque .^' . suph 
peditabat , qnare ad hos quotientes differentialefi obtiaendos cBffereritintior^ 
nes et respectu g- et respectu g^'dmmediate institui possunt Ad ipsam l^ 
explicandam moneo in art. 5* Seei. IIL statutarii esde 

V = 2«^^^ [cos (. -2>-l]«(g) (2) 

in qua formula qiiantitatum, quas continet, valores pure elliptici et adiu- 
mento elementorum (n), (a), (e), eic. computaii substitiendli sunt. ' 
Adiumento computationum Sectionis praecedentis facile inTenitur ' 

Positis igitur * 

E"'* - —L- C'^' j,^^^ ^^'^- t» ^^ \ 

si excipis * . f i-ox 

habetur ^ ' 
atque hinc ^ ^ — ^ 



Digitized by 



Google 



M6 

(4)...... I/ = nSE^^Mi, n, sm [nr^(i^h)g^ty^H,] 

quae fonnula, si forma eius mutata erit, cum illa in theoria mea loTis at- 
qne Saturni data plane congruit Formuta (2) perfacile monstrat, U ita 
quoque exhiberi posse 

unde manifestum est, V functionem eiusdem formae esse ac functionem in 
art. 9* Sect. praec. F appellatam, itaque theoremati ibidem demonstrato 
subiectam, quare in eyolutione computationeqne numerica ipsius U ope for- 
mularum (3) et (4) absolvenda ad valores xi=:o, x=l etxrz — 1 go- 
lummodo respicere nos oportet, unde magnum calculi compendium addu* 
cimus. 

Si vero, peracta ipsius V computatione modo descripta, adiumento 
theorematis hnius, hoc est adiumento formularum (4) Sect praec. termim, 
in quibus sine respectu signi eorum algebraici x est maior qoam 1, com- 
put^ntur, calculus numericug confirmari potest: nam restitutis his termi- 
nis mutataque t in t^ U cjfirae aequalis fieri debet. 

8. 

Quantitates E^'^ formulis (3) datae, in series infinitas evohitae ita 
se habent: 

9 

^-=-l-^e^-3^ge-~etc. 

E'^' = o 
£-.»=-.e+i-e'-^e' + etc. 



Digitized by 



Google 



£='♦ = 2e* |-e'+etc. ' 

£''« = — -^c^ + etc. 

i'-! s 655 4 , 625 g . 

£».5=1= ^e'— etc. 
2o6 

JS?''5 ^- e* -J- etc 

!?-'.« = -§ e'+etc. 

^'^*^ w «'-«^*^- . 

„.,7 117649 , , , 

^ '= —46080- *+ «*«• 
£-"'-* = £».* 

qaaram numerns in theoria Lnnae satis superque sufiiclt. 



4. 

o 

Reliquae quantjtates atixiliares perfacile ex (T) computantur. Statuta 

O 

ubi non minus qnam in U ei in (T) valores pure elliptici coordinatarum 
adiumento elementorum (a), (it), (e), etc« computandarum substituendi 
sunt, facile inyenitur 

- 27 ■; 



Digitized by 



Google 



210 

10) — r -^ — F— (T) + U ^ 

Qamn antem in art. 3. Sect. praeo. ipsam Si in partes dec^ £i„ £i„ 
etc. distribuerimos, qnas generaiiter £i, denotavimas, ita ut sit 

et ex art 7. Sect. praec. habeamus 

o (^^ = -2;»/,[i,r],8in(/g-+,v+H,) 

ex his aequationibus et ex indole ipsarum i2, elicitur 
iPSl 



(7) 



«^^D+^^Cf)"^ ^'°^'' [hnscosiig+z^+H,) 

Si igitor significationem analogam introdacimus hanc 

if) = 2^if), 

o 

aequaiiones (5) et (7) cum yalore ipsius (T) comparatae suppeditant 

F=27»fc,(t), 
unde ex (6) emergit 

(8)...... r^ = Z'f (ik,-l)(t),4. l/~^ 

Quum Si sit functio homogenea ipsarum r et i^ dimensionis — 1, ha* 
betur aequatio haec 

unde 

-'Cf)=''C-^)+'Cf)+"'(^> 

Qnum Tero sit 



Digitized by 



Google 



211 

aequationes praeceden|es moiisfraiit esse 

O / O 

quae, substitutis yaloribus ipsarum (T) et V per (T), expressis, suppe- 
ditat 



d/ 



= _2;-(A,4.1)(T), .....-(9) 



5. 



Formulis aeque simplicibus reliquae qoantitates auxiliares computantnr. 
Propter aequationes 

dpJ~K.dvJ2smiI' K.dQJ~K.dlJeoHil' VulxJ^^dkJ 
habetur 4 

+ 2~smrr-A)ri . . K , - -. 

• V^i_e» r V / -^ Vdr rfv^28in§/ 

;, 2— 8inrr-A)rf ■ ,, ) j^ 

Consideremus expressionem 

quae, substitutb valoribus ipsarum T^) ' ^JdoJ ^^^ Cds3 "*^^® ^*" 
tb nec non yalore ipsius iK hoc 

2oos*|/ 
in art 14. Sect praec. inyento,-transit in hanc 

27 ♦ 



Digitized by 



Google 



212 

quae, habita ratione aequationum (8) art. 14. Sect. praec, transfertiiT 
in hanc 

o o 

Comparata hac expressione cum expressionibns ipsarum A-^^ -4^ at- 

o 

que -i— 2 modo datis et cam expressione ipsius (T) , elicitur 

o o 

ubi QT)^coig(7ty + ig+tg'+Hj,') est (T)jp ipsa, in qua post eyolutionem 
in seriem infinitam sinus in cosinus mutandi sunt. 



6. 

Expressionibus artt. praecc. quantitates auxiliares perfacile computan* 
tur, quibus calculis peractis, ante onmia ipsa Z computanda est. Ha- 
betur Tero secundum praecedentia pro approximatione secunda 



dZ 
dt 



(10)......| +MSP+iV*p-i^^_i^^(„), 

ubi 

^ = -'^^Jl7W*cotg(xy+,-g'+r^' + H,) 

C08*|/'- -" 

O O 

scripsi, et ubi loco U^ "j^' ^■J"^' ^^^' ''^*^®'"®* earum in praecedenti- 
bus explicati substituendi sunt. 



Digitized by 



Google 



213 

9 O 

lam- explicationes praecedentes quantitatum U^ "T""^' ^ d"~^' etc. mon- 
strant, has functiones eiusdem foTmae esse ac functionem in art. 9* 
Sect. IV. Fappellatam; praeterea -^^ , quum sit aequalis ipsi 2 ^^'" ^^ , ei- 

dem formae se aggregat. Hinc sequitur, quantitatem --, qualis supra pro 

approximatione secunda exhibita est, si terminnm eius ultimum excipias, 
theoremati 1. c. demonstrato esse subiectam. Consideremus nunc terminum 
ultimum. 

Quum ^^ sit quantitas primi ordinis, ad terminos secundi ordinis ob- 

tinendos in factore ipsius rp= 9 hoc .est in quantitate 

a* dy a dMy l-^ + ^+^J 
termini primi tantum ordinis recipiendi sunt. Formulae vero pro approxi- 
matione prima suppeditant 

ubi terminum Bi^ omisi, quia secundi ordinis est: qui quidem terminus, 
quum minutissimus sit, in theoria Lunae omnino negligi potesit. Substi- 
tutis Taloribus ipsarum (T) et A his 

^ = 2 -^ cos 9 + 3e 
in praecedente ipsius W expressione, nanciscimur 

W= 2-?-cos<pjG + (l— 6)ij +2^sia(p.H—3S—b 
nbi breyitatis caussa feci 

« = ^je -/+ ^ocf ) + T •'»/•' cf )! <« 



Digitized by 



Google 



Ex hac ipsiifs fV expressione nanciscimnr differentiatione 
atque hinc 

+ 2 -^ cos qp . VT^ • H 

Quantitas igitur ^ ^ — f -^ [JF + /8 + e], qnalis in approximatione 

secunda adhibenda est, non minus quam ceterae ipsius Z partes, functio 
eiusdem formae est ac functio in art. 9- Sect IV. F appellata, ex quo se- 
quitur, theorema illic demonstratum in approximatione secunda pro Z 
quoque, et quum sit 

^ = — 6 + (l-6)fC2-|-co89+3c)+Br + Z 

etiam pro ^ locum habere, dwnmodo non nisi maximus terminus in B 
recipiatur, qui satis superque sufficit^}. 

Ex indole ipsius W in fine art. 7* Sect. III. Bsqne ad qnantitates 
qnafrti ordinis exhibitae, et ex iis quae in praeceden^ibus protulimus, sta- 
tim elncet, terminos tertii ordinis, qui ex quotientibus differentialibus ipsa- 

o 

rum U et (T) pendent, eidem tlheoremati subiecto^ esse; iam quum in 
termino 

d ^ 

pro approximatione tertia ii ipsarum — ^ W ei S-^- e valores substituendi 

sint, quos approximatio secunda protulerat, quumque modo demonstraveri- 

' mus, hnnc ipsius fV valorem eidem iheoremati subiectnm esse, et deni- 

que reiiqui ipsius W termiui tertii ordinis secundum praecedentia eadem 

proprietate gaudeant: sequitur in tertia quoque approximatione quantitatem 



«) Ck>e£Rcien8 maximi termini in B^ aequalif eit 0/0$9, i«Hqtii igitor termini optimo iore 
negligi possunt. 



Digitized by 



Google 



216 

W eidem theoremati sabiectam esse. Quum igitur in apfproximatione pri* 
ma, secunda et tertia W hdiC proprietate gaudeat: concludere licet eandem 
proprietatem in approximationibus omnibus subs^quentibus locum habere'*'). 
Hac proprietate magnum calcuii compendiMm iucramur, sive evoiutio- 
nes anaiyticae amplius producuntur, sive perturbationes secundi altiorum- 
que ordinum per methodum computantur, quam nunc expiicabo. 



Consideremus septem primos expressionis ipsius -j- \n ari. praec. ex- 

hibitae ternunos, quorum quisque duobus constat factoribus, quorum ai- 
ter ipsam t non continet* Hi fectores partim computatiVinibus approxi- 
mationis primae dati sunt^ partim eO modo, quem in praecedentibus expii- 
cavi, obtinentur. Omnes vero factore^ series sunt, quae secundum sinus 
et cosinus angulorum y^y-^-ig-^-t^ -{-H^ et resp. ig-^-tg -^-H^^fxoc^Ami^ 
quarum serierum coefficientes rapidissime conTergunt. Habetur 

'"*(i^:^' »"*(i^-' »*(^^ = -Sft.^-^cosCxr+fg + iV+flx) 
ant (S+t), autor, aut iQ — 27 A'-''''' co» (»,«■ + »>' + H,,) 
ant (a) 6% , aut dP = 2 X'" '''*' sin (i^g + i/g-' + H^) 

in')6z' = Z sin (g-— g^ + fls) + («)« 2Ja<'''> sin i// 
u/ = W 008 (g—g' + H6y+ («) * 2 t^''"> G«s rg' 

ubi f et i' nunieri integri sunt, qui tum ab a et t cUversi, tum his aequa- 
les sunt, index x tum ab indice x diversus, tum buic aequalis est, et in 
quaque quantitate coeffioientes tfi'''* et A'"'''''' a se invicem diversi sunt. 
Muitiplicatis hi» quantitatibu» emergit 

-i2^.''.'.A''.''''''.sin[«y+(r-i)g'+(/-/V+H,+fl„] 

♦) 9u^ tlieerena iafra rigorote demoitttrabftiir; 



Digitized by 



Google 



216 

(n) ^' -" («) dr ' («) ^ 

+ §^5i'''.'.;L'"''.;'.sin[«y+0-0^+(i'-iV+fl,-//J 

(4) ^ W «»' = i Z^^il-''' sin [xr+0+l)5'+0-'-l)^'+i7,+fl6] 
-^Z'2;fi^.''.'sin[xy+(,-l)5'+(i'+l)/+if,-HJ 
^^(«^«^«^'.'.«('''^sin^xy+ig^+O^+i;)^'^»,] 

-f(n)«2;()M'.'. «<'.') sin [xy+ig-+(i'-i;)g'+Hx] 
(4)''' ^»'' = ^ W'2iY''^\n [xr+(i+l)^+(i'-l)/+H,+HJ 
+ f»''27fli''.'8in[xy+(i-l)g-+(i'+l)ff'+H,-fl6] 
+Kn)<^6i'''''.e"'''sin[xy+ig-+(i'+i^^'+HJ 
+i(n)«^fli.''.'. e".') sin [«y+t^+O-i^^^^+H,] 
Snmmae et differentiae H^-\-H^, atque iT, — JT. partim eosclem ipsius 
Hg valores decem denuo producunt, quos in approximatione prima evolu- 
tione quantitatis Sl iuTenimus et in artt. 3. et 7. Sect. praec. adscripsima&, 
partim novas quanlitates analogas gignunt E. g. quum sit Hj = o, erit 
semper pro valore x =1 

H,-\-Hi = H, — Hi = H, 
atque pro valore x = x 

' H, — H^ = H, 

Quum sint 

H, = «(2y— 2y-%)f + 4fc 

Hi = niy— f,'^2ri)t^2k 

H, = B(3y— 3y— 6»?)«4-6* 

emnt pro valoribus or = 2 , or rr 6 

H,JrH„ = H, 
H^~H,^ = H, 

et sic porro, pro valoribus vero ;r=:2, x^ = 1 habetur 

ffx + H„ = M(4y_4y _8^)«-|. 8t 

qui valor in decem ipsius H, valoribus approximationis prim^e non inest. 



Digitized by 



Google 



et sic porro. Qaamobrem eonciiiinas in' Ins nniMplioatioiiibas introdacJnntar 
significationes hae 

nfy-f-a — iy)f -|- v-|" ^ = ^ 

Hinc factum est, at 

H,= o 1I^= o—o" 

H;— 2o--2id' IT^= 3o — 3a/ 



H^=*2o 



IT — 3o)— o' 



1/5= 2o3.f2cD' ^ H,^= g)^3g/ 

et termlni generales factonim supra exliibitorum sint SU ( ^y 4" 'S" 4" '"fi'' 
+ i"03-i-iV) et respective JlS(ig^ + iy4-i/oi.f i;V). His introductis signi- 
ficationibus , anguli in producti^^ sapra exMbitis contenti has iodaa|it 
formas: 

et xy+o-og' + (,-'-»;)g' + (i''-i;)c+ (,--.i;)oi' 

quae in simpliciore hac 

«}'+»^+»V+»"c+»'"«' 

continentar. Hinc sequitur terminum generalem omniam horam prodacto- 

rum esse 

* sm (xy-f- i^ + iV+»"c).f i"aO 
et resp. 

fc'sin(xy+ig-+tY.f i''Q4-i'''o)0 + (n)^ fc'' sin(xy.f ig-.f rg^-f i''o>^ 
designantibus A, /k' et h" coeffieientes constantes. 

Inter yalor^ ipsios f"Gi-|-i."G>V qui aid terminos pertinent, qaomm co- 
efficientes in approximatione prima vim non. habent, quatuor adsunt ad termi- 
nos spectantes , quorum coefScientes in approximatione secunda negligere non 
licet, qui quidem ' Yalores , ' compatatione numerica indicali, sant: 4b • — 40/9 
4q — 2oi' 5 2oj — 40}', et 5(0— So). Posit^ igitur ,1 

If„= 4o)— 4oj'z=n(4y — 4y — 8i?)t4.8* ^ 

H., = 4o3 — 2o)' = n(4y— 2/^ 2a— 6^)^+21^4-6* 
Jf,3 = 2o3— 4«' = n(2y—4y — 2a-^6ij)t— 21^+6* 
H,,= 5o3--5o3' = n(5y— 5y--^fOi?)f+10fc ' 

28 



Digitized by 



Google 



Acnwnils geaeivlu pffodadtMwi jmQrum ita ae ^sdiet 

et resp. 

K sin (xy+ig-+,V + fl.)4-(")« *" 8« («y+»5-+»V + Hx) - 

abi index or quatuordecim yalores accipit. 

Perturbationes igitur approximatione secunda productae eiusdem fpr- 
mae sunt ac perturbationes approximationis primae, si eiccipis terminos 
praecedentes per (n)t multiplicatos et quatuor yalores 1,1 ^ 12, 13 et 14 
indicis x. 

Ex approximatione prima praeterea notae sunt S-^-^-^-W et — sub 
formajiac 

S+t+?F=27ei''V*cos (ley+ig^+iY + H,) 
^±;2^^M''-sin(^y+i^+iV + H,) 

ubi ^Jj*'»* = — ^cfi'''*, porro 

(-£-)' = ^/^'^'cosxy, 4^ = 2r''siB«y. 

libi 'P"*» :± — K ir*>; hinc sequitur 

(ly^zr ^|i7^M'.-.Jl'j'9in[(«+«)y+i^+,V + HJ 
+ |2;^i.'''Ml(V sin [(x-x,)y+ig'+iV + HJ 

-l^[W^+S+e] = i^Jgi''.'.^^» sin [(x+x,)y+^+4Y+-KJ 

-^2;Si.''.'.V<'''> sin [(«-«)y+»^+iV+HJ ■ 
Quum quantitates 

(%+x,)y+i^+iV + Hr atque (x-^«^^)y+i^+fV + lt 

in forma hac xy + ig + Tg^ + Hg contineantur, tenhinus generalis horum 
productorum est 

rsinCxy+fff+iY+fl.) ^ 

idem atque in approjQinatieBe ,prima. 



Digitized by 



Google 



219 

8. ■ 
Sicut in approximafione prima pertarbationes Lnnae aggregato duo- 
rum prodactorum constant, quorum factores habent termihos generales hos 

denotantibus ji et B coefficientes, qui in praecedentibns expltcati snivt^.ita 
in approximatione secunda perturbationes ag^gregato productprum nonnullo* 
rum constant, quorum factores habent terminos generales hos 

CZi^Y + ig + 'g' + IQ^^^«m:ii.g + i:g' + H,,) 

qiios in art. praec. explicayi. In approximatione prima haec producta in 

series, quarum coef&cientes sedindnm potestates excentricitatum incliiiatio- 

Bisque mutuae progrediuntur, nm evolri, sed potius factorum eoeffi-^ 

cientium valores numericos, deinde horum valorum adiumento producta, 

demque perturbationes ipsas computavi. Hinc effeci, ut sine respectu 

semper dubio ordinis analytici terminorum, perturbationes approxima-^ 

tionis primae ukqne ad fixum in initio calculi mihimet ipsi propbsitum 

limitem numericum nactus sim. Eadem ratione praestat in approximatione 

secunda et subsequentibus prodncta, quorum indolem in art. praec. exposui, 

nec non producta reliqua, quibus opus est, adiumento valorum numerico- 

mm coefiicientiam factorum eorum computare, quo facto secundae quo- 

que approximationis et subsequentium perturbationes usque ad fixum deter- 

minatumque limitem numericum accuratae obtinentur. Haec methodus per- 

turbationum computandarum tutisMme ad finem propositum perducit, et in 

analjseos statu hodlemo sola est, qua praecisio ad quemvis gradum evehi 

potest; evolutio enim ut dicitur analj^tica semper dubia et fallax est, 

quia coefliciente& numerici quantitatum, quae in hoc evolutionis genere 

• parvulae qnantitates primi ordinis habentur , saepe permagni sunt , unde 

efficitur ut termini complures revera ad ordinem pertineant eo ordine infe- 

riorem, cui pro compositione sua analytica adnUmerandl sint. Fieri igi- 

^ur potest ut termini, qui propter compositipnem suam analyticam ad or- 

dinem negligendum pertinent, ideoque in hoo evolutionis g;enere negligun- 

tur, revera maiores sint quam ut iure Hegligi possint 

Quoties vero adiumento valorum numericorum coefficientium factorum, 
qui ex computationibus approximationis primae usque ad fixum limitem nn- 

28* 



Digitized by 



Google 



m 



mericum accurati sunt, producta computantur, absoluta cuiusque, termim 
magnitudo praesto est, et, nuUa adhibrta consideratione secui^daria, ter- 
mini limitem propositum superantes recipi, termini vero hoc limite minores 
omitti poterunt. Usque ad hoc tempus iam perturbationes longitudinis me- 
diae Lunae approximationis primae et secundae hac methodo computayi, 
et celerrime hanc computationem absolvere potui, quia series, quae facto- 
res productorum repraesentant , rapidissime convergunt. 

In hoc computationis genere multum interest, ut in serie argumento- 
rum perturbationum ordo certus simplicissimusque conservetur, quare ordi- 
nem argumentorum simplicissimum et in methodo nostra se ipjsum offep 
rentem exponam. Primum valores^ indicis x distribuunt argumenta in 
tot sectiones quot x habe( valores, et in quaque harum sectionum valor^ 
diversi indicis i' tot subdivisiones eflBciunt. Quibus statutis , in quaque sub- 
divisione procedant argumenta secundum valores indicis f, i(a ut ^. g« pri-« 
mum locum teneat argumentum, in quo i maximum valoremnegativumiiabet, 
et ultimum locum argunientum, in quo i maximum valorem positivum habei. 
Ut haec res clarius intelligatur , adiungam seriem argumentorum ex omnibus 
sectionibus, quarum coefficientes vim habent, electam et ut habeatur termi^ 
nus comparationis, apponam argumenta aequipollentia secundum notationem 
Viri iU.' Damoi^^u cum numeris qui ordinem ab hoc geometra adhibitum 
denotant. Designant igitur in tabellae sttbsequentis ultima columma t elon- 
gationem mediam Lunae a Sole, x anomaUam mediam Lunae, y argu- 
mentum latitudinis Lunae et z anomaUam mediam Solis. 



Seriei argumento- 


Series argiimentorum sepun- 


ruin lecnnduin 


dum Ul. Damoisead cnm 


BO*. 


eorum numero. , 


g 


1 


X 


2g 


2 


2« 


3* 


4 


3x 


etc. 




etc. 


-2ff-g' 


21 


— (2j:-*-2) 


-e-g' 


19 


-(*-^«) 


-«' 


16 


-» (* 


g-ef 


18 


X — z 


ig-ff 


20 


24r— « 


etc. 




ctc. 



Series argumento- 

rum secundum 

nof. 

ff-2g' 
etc. 

etc. 

g-*-H» 
etc. 



Series argumentorum secun- 
dum iU. Damoiseau cum 



eorum numero. 



23 
17 
22 



Tacat 
61 
44 

vaoat 



— (X-+-22) 

— 2« 
4P— 2« 
etc. 
etc. 
2t— Sj:-f-2« 
2t— X H-2» 
2t-^2aj 

etc. 



Digitized by 



Google 



VA 



Si^riep firgamento- 

lum secimduiii 

nos. 




H. 



etc. 

etc. etc. 

^-^H^ 
etc. 

2fir-+-2g'-t-H4 
etc. 



Serie^: argtnaentftriun secan 
divprill. Daaeiaeaa ciua 
, eorum numero. 



Seriea ^rgumento- 


Serles argumentorum 8ecaap| 


rum si^cundom 


dum 111. 


Damoitteau cum 1 


nos. 


^ eorum numero. 1 


-rw-H//* 


vacat 


— (2t — 22^H-2-l-x) 


g^-t-H^ 


55 


-(21 — 23^-H3) 


g-^g'-t.H, 


Tacat 


— (2t — 2y-Hi-x) 


etc. 




etc. 


etc. . 




etc. 


g-+-2g'-hH5 


Tacat 


4y— 2t— JP 


2g-t-2g'-+-fl5 


vaqat 


42^-2* 


etc. 




etc. 


ctc. 




etc. 


-g-^H5 


Tacat 


t— 2x-4-a 


H, 


89 


t-— X -♦-» 


g-^Hd 


84 


<i-» 


2g-*-H^ 


92 


t-t-*-Ha 


etc. 




etc. 


-g-g^-^H* 


85 


t— 2x • 


-g^-^H, 


81 


t— J 


g-^-^H, 


80 


i (t 


^g-^-^H, 


82 


t-HJP 


etc. 




etc. 


-.2g<-+-H5 


91 


t— *— « 


g-^g^-f-H, 


83 


e— « 


2g — ag^-^Hc 


Tacat 


«^*— « 


etc.. 


* 


etc. 


etc. . 


' ' ^ 


etc. 


g^^^^H, 


Tacat 


3t-4-2-^2x 


^g-^g^-i-Hr 


Tacat 


3t-+-z— * 


3g — ^g^-hH/ 


104 


3t-4-a 


etc 


. • 


etc. 


-ag^-^H, 


Tacat 


3t— 3» 


g-Sg^-f-H, 


Tacat 


3t — 2x 


Sg-Sg^-t-H, 


101 


3t — « 


3g— Sg^-t-Hr 


100 


3« , 


4^-3^^-+-^, 


102 


3t-4-* 


etc. 


, 


etc. 


ctc. 


• 


etc. 


fiT-^H, 


• 


•?y— t — X 


g-f-g^-^He 


1 


2lf-t. 


etc. 


> 


etc. 


Ha 


• 


2y— t — X— » 


g-^H^ 


. 


2y— t — 5 


etc. etc. 


• 


etc. etc. 



Digitized by 



Google 



Sttt 



9^ritB8 fti'4|uiuontci*' 


Serie^ argnUienfbnHn «ecnn | 


rtnn seeamliHii 


dum ill. 


Danioi0e&it cam 1 


no8. 


eornm numero. 1 


ig-g^-^H, 


''*'"'*'■ 


2y -+-« — * 


Sg^g^B, 


.• 


2y-f-< 


etc. etc. 


1 i 


etd. etc. 


^io 


; > 


3t-*-3s— 2ir— * 


«••^-«10 




3e-^3s-2y 


etc. 




etc. 


2g-3e^-l-H,i 


141 


4t — 2j?-4-» 


3gr-3g' -+-//„ 


129 


4f— jr -^a 


«ff-^g^ + H,, 


124 


4e-*-s 


etc. 




«itc. 


g-i^ + H,, 


135 


4t — 3r 


a^-V + Hit 


125 


4f-2Jt 


3«r-4g'-+-H„ 


121 


4f— * 


4«f-4«'-l-W„ 


120 


4t 


Sff-^g^-t-flix 


122 


4f-HJF 


etc. 




<tc. 


2tf-5g' -+-»,, 


143 


4t— 2x— « 


3g-5g'-f-W,t 


131 


4t — *-^« 


4g— 5g'-l-«,i 


123 


4i — z 


etc. etc. 




ctti. etc. 



SeTieB ftV^tiiiletito^ 


Sertes ftrgnmentonitti gecan| 


i^Qin ■ccdniralBi 


dton ill. 


Dftteoisean cnin 1 


no4. 


eomm numero. 1 


26:«2g'-+-/l,2 


63 


2t — ^jf-H^y 


^gr-^g^-f-^ia 


47 


2e--jr4-^ 


4fir-2g' -4-^12 


38 


2t-f-23^ 


elc. 




etc. 


3fir-3g-f-H,2 


Tftcat 


2e-f-2T^— i^— » 


^g-Sg^-f-Hj^ 


56 


2e-t-2y— » 


*tc. etc. 




etc. el«. 


gr-4g^-HH,3 


139 


4e — ar-^2jr 


^g-^g^H-H,, 


127 


4e— 2y 


Sff-^g^^Hia 






4e-»-x — 23f 


etc. 






etc. 


gr-Sg^-f-Hia 






4e— jr-«— "2^ 


Sff-Sg^-hHia 






4e — 2— 2y 


etc 


** 


etc. 


etc. 


1 


etc. 


2g-5g^-+.Hj4 


^ 


5e-T-34p 


Sg-Sg^-f^^x^ 






5t — 2x 


4ff-5g-Mfi4 






5e — X' 


ctc. 






*tc. 


etc. 


' 


^^ 


etc. 



•) Aeqnatio annua; **) ETectio; •••) Variatio; +) Aeq. parallactica. 

Ex indole^ ipsius i2 in Secf. praec. exhibita facile teperitwr, quamque 
subdivisionem seriem infinitam esse, cuius coefficientes a termino quodam 
maximo antrorsum et retrorsum converg^nt. Quae quum in evoluta quan- 
titate iG ita sint/in perturbationibus ipsis etiam locum habere debent, et 
quidem non modo in approximatione prima sed etiam in approximationi- 
bus oranibus subsequentibus. Hac proprietate ducente, fieri non potest, ut 
termini limitem propositum snperantes omittantur. 



9. 

Suppono igitur, vaAribus numericis coefficientium ipsarum 17, l^, 
etc; secundum reg^las in praecedentibu^ traditas compUtatis, prbdnctorunt 

septem— 2£/(S+«), ^(n)<Sz, etc. nec non productorum -^m'!^ 



Digitized by 



Google 



atque^ — ^^:;— j^ [flf^?^''®^"^] coefipci^A^s rnumericos ^mmediate compu- 
tari ^). In hac compntatione factoram 17, -A-^9 ctc. termini tantum in 

quibus X = o, tc zn — 1 etx=:l recipiuntur, et in duobus ultimis pro- 
ductis termini solunmiodo adscribuntur, in quibus x-|-x et x — x aut =0, 
aut = — 1 , aut = 1 sunt Praeterea in his productis omnibus termini 
distinguendi sunt, qui in integrationibus subsequentibus factorem permagnum 
▼el divisorem perparvulum accijpient, qui termini hanc ob rem pluribus 
notis decimalibus apponendi sunt quam reliqui. Termini yero qui parvu- 
lum divisorem accipient perfacile a ceteris distinguiintur, et in diversas 
classes distribui possunt. Primam classem constituunt termini, in quibus 
et i r= o et i^rro, itaque ii quorum argumenta sunt if,; divisores autem 
horum terminomm omninm nlimmi snnt; secunda classis terminis constat 
in quibus i :=z o et ?= 1 sive /= — ^ 1, itaqne iis quorum argumenta 
srunt ±:^4"^*) factores autem quos 'hi termini in integratiouibus obli- 
nebunt rationi motus medii Lunae ad motum medium Solis fere aequantur, 
quae ratio circiter numero "1*3 aequatur; tertia classis terminis constat quo- 
:rum argumenta sunt ±Qg'-^n,^ quorum igitur factor numeiis 6 . . 7 f ere 
aequatur; quartam classem, quae terminis constaret, quorum argumenta 
^3g*'4"ffx sunt, a reliqtiis terminis distingui necesse non est. Omnes 
igitur hi termini in forma generali fg"'-}- Hp continentur, quibus insuper 
adnumerandi sunt termini in quibu^ x=rl, x = — 1, x-f-izro, qui 
omnes divisorem parvulum in integrationibi^s obtinebunt. Sunt igitur ter- 
mini hi 

. Y-ghy + H, 
Y +rg' + H, 

—Y +»V + fl, 

qni in integrationibus subseqaentibag divisorem parrulani obtinebunt, quo- 



"0 Regalat ultert.rM ad maltlfltcationet liu iiutltaendM In theoriae lovia atfae Satarni 



Digitized by 



Google 



rum qaidem terminus tg' + Hg divisorem hunc bis , reliq^i vero semel 
tantum obtinebunt. Termiiii praesertim dassis primae, qui sunt 

.: . . '.■„.. . H, * ■ • 

—Y + gfWs 

y^g + H, 

y +U, 

et inter hos praecipue terminus 27, maxima cnm cur^ computandi sunt| quia 
divisorem perparvulum obtioebunt. Minimum omnium divispr^n^obtiv^it 
terminus ifjQ, qui est terminus notus , quem pbservatione^ indicavisse videntur, 
euius vero qoefQcientom geoipetrae, qui ei opmim navaverunt| insenj$ibilem 
.invenerunt. Hunjc pro magniiudine appositi sequuntui; termini H4, H5, ITj^y 
ifg, H^^ H3, etc. quorum tamen nonnuUi coefficientes insensibil^s habent. 

Quae omnia non modo ad approximationem secundam, sed etiam ad omnes 
approximationes subsequentes referenda sunt. Quod autem attinet ad ap- 
proximationem primam, restrictiones nonnullae iocum habent. In hac enim 
approximatione coefficientes terminomm ubi et x = o et i ==; o,; hoc est 
terminorum formae 1"^'+ H, omnes cifrae aequales sunt, in approximatione 
igitur prima quadrata divisorum parvulorum non inveniuntur. Porro pra- 
pter aequationes G^°^ ::=: o et D^^\ = o in art. 5- Sect. praec. inventas ap- 
proximatio prima terminis huius formae 

^r + ^gd-H^ 

Ttr + ig + H^ 

^ + ig + U^ 
xy + ig + H,o 

omnino caret. Perturbationes igitur, qi(l^e divisores primae classis obtinerent, 
pro valoribus x = 2, ar = 4, x — 1 et x=10 in approximatione prima 
non adsunt. 

10. ^ >: 1. 

Computatis productis omnibus, quibus formula (10) art. 6- constat, in 
quorum ultimo is ipsius y^ valor,* quem approximatio prima prodiderat, 
adhibendns est, ne in ultimo producto quantitates tertii orcHnis recipiantur, 



Digitized by 



Google 



dum iili reljqms pr6d|lciis eamin r^f io doii habeaitiury tonsaciscimiur pjO^I ad- 
ditos coefficientes eonmden argumentoiliiii . . . 1 ; ;> 

^ 2 i^ il(o sin y + 2 i^^il^i) siny 

ubi tamen secundum praecedentia ii solummodo recepti sunt termiid, in qui- 
bus xzz:o, x=letxz=: — 1, et in duobus nltimis terqiinis §^ et y^^ adhi^c 
indeterminatae sunt. §^ rero scripsi ut hoc superposito numero 2 ihdice* 
tur ea ipsius y^ pars, quam approximatio secnnda suppeditabit. Ihter spe- 
ciales huius expressionis terminorum valores sub signo summationis ad- 
8unt hi 

(n) A?°'' sin y + (n)A!L?' sin (— y) + {nft 6^"^^ siny + ^n)** fl!:?'' sin (— y) 

qni simpiicius sub formd hac exhiberi possunt 

(n) Xl'^' sin y + (n)'f fij'^' ' sin y 

quia X!i°'' in X;»°»' et 6°1^^ in ^'°'' contentam esse censeri potest Quibns 
terminis ad terminos per p et y^ muitiplicatos tollendos adhibitis, emergit 

;io,o,i ^ ^,0,1 

Haec aeqnatio ipsius y^^ ponit yalorem , qnatenus ex approximatione 
secnnda emergit, et illa ipsius y^ praebet yalorem, qui ad illum eiusdenl 
quantitatis in approsdmatione prima ^rentum additus accitratiorem ipsius y^ 
valorem suppeditat. Quocirca denotato valore ipsius ^', qui ex approxi- 
matione prima emersit, per ^^, accuratior ipsius y^ valor eiit aggregato 
y, + ^, aequalis. 

Eodem modo quo in approxknatione prima (t. art. 11. Sect. praec.) 
demonstratur, his ipsarum §^ et y^^ valoribus non modo tenninos formae 
^^'^''siny et n^ flj'°»* sin y, sed etiam terminos omnes formae XJ®»^ sin ^ey et 
n<^'°''smxy tolli. 

Quibus statutis, habetur t 

■^ = (n)2;Ai'''''sin(xy+i^+iV+H.)4-(n)'<2;fii'''.'8in(xH-»ff4-,V+H,) 

nbi tamen termini exclii,d«Ddi simt, ,|n qnHbos simul i=.o^ t—o et ^=1, 

29 



Digitized by 



Google 



ei tehnini^ ln qinbiis lAile vedpecia si^i •coiuin algebmici ^ iBaibr est 
quam 1, adhuc desunt. Integrata hao expresrioMe^ nancisdmiir 

"■ =—• ^ .■■..^■1,; °" («i'+f?+<v+H.)- w< ^il^iu^,, "« («H-'«+-»v+-ffj 

+-^(T5^).»»(«H-*+'V+fl.) . ,' 

sinmlque, adinmento theorej^atis ^rt, 9* Sect. j^raec. compntentur termini in 
quibp$ . sin^ respec^u signi algebraici x maior est quam 1 , id quod facii- 
lima opera efficUur, quia logarithmis quantitatum Ajj*'»' et fi^'*''* ad diTi- 
siones per \-\^iu-\-Vg instituendas qeteroquin opus est. Itaque expressio 
prae(;^dens integrum ipsius Z valorem repraesentat 
Quum sit 

sive secandum computationes art. 12. Sect. praec. 

W--.h^^S\\{\—h)i ^(" + 1" ^Oj cos iy -i- Z 

emer^t, sobstituto ralore praecedenti ipsius 2^, ' 

iF=z_6+^Kl~-6)^^')4.r^m|cos,V / ' 

+2?/i''.'cos («y+i^-l-iY+fl,) +(«)* 2fci''''co8^+i5'4- ig'-\-H,) 
. +2?Ai''.'8in(xy4.i^-fi'/+H,) 

. !'•*'•* fll.'»'"» I?'''''' 

; . /« — • «--HfMH-v,' ^ ~ i-Ii-faH-Vx' ^ (t-t-f «-*-»'«) 

et vlri propfer valoEeS) quos ipsis §^ et ^^^.attribnimiu, «pnt 
/J°'' =: , ^°'' = , *2:°'' = o ' 

Hinc miitata r in f elicimus f 

, W^^: — 6 + 2;^ 1(1— 6)1^') + r -<^^ cogi^ + i;i'>''''cos (i^+i^g-^+i^) 
+ (n)« 2? Af ''''•' cos (i^+iV+H,) +2?iV"'''''sin(i^+r5'+i/,) 



(11). 



ubi 



, £'•*'•' T=/i''''*+/i-''''''+/jr:''''+et«-+/-.''''''+/ii''*'''+ 

j|£M',* — ^M',» + ^*-i.i',» + etc^ + *!j;''''''+etc. 
A''<''* = *J'''''+ *(-»•*'•' + cttt.+*i^*'-'+etc. ' 



etc. 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



.<b 



+(n)*< Jlf,°.°. '— («)»<^P^(1+ 1«») 

+(n)^(l-U)(|+|)^')+({+|)^^.)^ cosg'+(n)fif.°''+X''°''+Z'A.jcosg--(n)?^^il'J'c08g 

+(«)^f[(l-&-6)|4J]^Hf^If1cosi^(n)2^d'''>+l.'.''''|cos(»g'+iV+H,)-(n)-^2^Bmw^ 

V 1— €* 

+ (n)'# r jlf . '.' cos (i^+,Y+H,) — (n)'i^^2^ B'," cos i^ 

+ (n)^iV'.".-sin(i^+,Y+fl,) 

ubi in tenninis sub signo 2 tennini speciales, quos separatim adscripsimus, 
eKohiden^ su^t In praecedentibus iam supposuimus 

* y = y, + y„(")' + y„, («)"'' + etc- 

« = a, + «„(»)'+ «„,(«)'** + «tc- 
. «? = f, + ^(«)« + 1„ («)''' + ete- 

et qaain in formala pi^edenti adsiut temuni tempori ipsi propoortioiia-;' 
les,; &apppDp praeterea 

(n J = (n) + fi (nyt + (t, (n)»f + etc. 

onde (n) -^ sappeditat 

fft^ vero et y^^^ in approximatione tertia eodem modo determinabuntur. Hinc 
efficitur, ut pnmi ipsius (n)z termini non sint (p)t + (c) sedf(n^)dt+{c)y 
quare, ut terminorum (i(n)^l et fc^ (n)'< + etc. recta habeatur ratio, in ap* 
proximatipne tertia uMque f(njdt + (c) foco ^: et /(n J c& + (c) loco y 
substjituendae mnt. . Simplicitatis causik i:etinebo quidem signa g et y^ 
sed exinde sunt 

g =An,)dt + ic) 

r =/(^o)* + (^) 

Eadem ratione in ipsis ff, uUqWift^t loco ^, fadt ioco c^ etff^dt 
ioco ffi substituendae.flunt, id. quod iam ex ratiocinatiionibus iU|SectiQBiie 
secunda expositis patet. 



Digitized by 



Google 



PosUis tenmius con^taiitib^s aequationis praecedentis pro OO^-^j n^^ 
non terminis per cosg" «lultiplicatis cifrae aeqnalibus, emergunt ad ipsas 
b+ b et 1+ f detenninaiidas aequationes hae 

o = (l-6-6)(|+|)^^>+(|+|)^^;^ + P^°^ 



et integrata eadem' aequatione , dum ipsarum j/^^, y^^^ etc, a^ a^^^, etc., 
%t^ %it^ ^*^* ^"^.W^® ®* ipsarum ft, (*,j etc. si terminum primum excipis, ra- 
tio non habeatur, elicitur 

(n> = g+2^H(i'&'ft)t-ft^]i-+g^-f ^^°'g+-^ »-^»-1-.-^. «m(fg+rg^+H.) 

-2^2^ -^ smig^+ (n)^ 2;^:;j;^^in(ig^ -^ sinig 

+^77^^^ ;,^ iA cos(i^+iV+HJ— ,-;^^ ^cosig 

expressio in qua, praeter terminos quos g cohibet, neque termini tem> 
pori aut temporis potestatibus proportionales, neque termini per sin g 
multiplicati continentur. 

Terminos per cos (ig+fg^+Hj^ multiplicatos in aequatione praece- 
denti integritatis caussa tantum computavi, qui omnes negligendi sunt, 
quoniam maximus eQrum ad O^^^OOS tantum ascwdit 

12. 

Omissls terminis tertii ordinis in expressione (13) Sect. III,, emergit 






(12) 






Duo ig^tnr prodncta noTa haec 



(O 



2 






Digitized by 



Google 



requiruntur^ ubiproT-^^, C"d^) *t u? i! harum quantitatutli Vriores, 
quos approiimatio prima svppeditayit, adhibendi mint. Qbibus ptotiu^ 
methodo in praecedentibus satis explioata coitipatatis^) lupponp Boa inr 
yenisse 

Ex computatione perturbationum secundi ordinis ipsius (n)z habemus 
secundum aequationem (11) 

+ 2k'i''^'Bm(KY+ig+iY + H,) 

81 excipis F^^' = [(i — 6_6)|_6|]^0+f ^o ' 

et si denao ettipis FJ»^' =:: — h 
qna tamen ultima quantitate opus non e&i. Hinc habetur 

+^x*i''''' cos («y+,g-+ ,Y+ H,) 
unde 



(^) =: 2;P'.''.'sin(;g'^f,V + H,) + («)«2;^.''.'sin(ig-+r^' + H,) 

+ ^B'.'. ' cos (fg- + ,Y + If,) 
nbi 

^pUi',s rr — F'-'.'*.*-2FJ-«.''.'-etc. + F!+'.''.'+2F!J?.''''+etc. 

P'.*'' =n — A{-«.''.'-2/ii-«.''.'-etc.+ **+'•'.'+ 2 A!j?'''.'+etc. 

il'''''' =i *J-^.''.'+21-J-».''.' + etc.- iti^i'.''''- 2*t!?.'''*-etc. 

Porro habemus 



-^' («)f d<;= 2in)tir,Rf 008 iff-Si^^ 



-mt^ 



Digitized by 



GoQgle 



Digitized by 



Google 



13. 



Si et termini tertii ordinis, quos aequatio (14) Sect. III. implicite 
cohibet, -et termini primi ordinis omittantur, erit 



aM 



ubi at supra numerua litteris superscriptns ordinem indical Haec igitur 
expressio terminos omnes secundi ordinis ipMus S+t continet. Quantita- 

te» &i .6-£ et {.^■£J in praecedentibus eruimus, item 

Sit porro 

et coefficiens ipsius cos (i^ + jV + H^) in & per (&)'»'''' et in 4^ 
per ^d—^' ' sit denotatns: ium, substitutis his Taloribus, habetur 

S+ e = ^(l+|6>i r^(l+ 5eH ^O +(n)e^(l+ f e^ 

+ SJ2(tS.>''''+(]«^)'''".i>"-,-.^c.'jc«s(iy+i^'+HJ " 

+ 2;[^B-o+-r^Cv^f-¥«0]-'?+2W'pfe^«'?««'* 

Si praeterea temiini secundi ordinis ipsius S+e adiumento formulae 
(15) Sect. III., quae propter ea quae in praecedentibns exposuinius nuUa 
indiget explicatione, computantur, calculus totus confinnari einsque er* 
rwes, si qui adsint, dete^ et corrigi possunt. 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 






Sint 



D— 



sinf / dB 



Rt 



2co8'|/ dk 



tam differentiationibas , qnae in expressioifibiis ipsarum A^ By D et F in* 
dicatae sunt, j^astitgtiis ^ laejiU opera inveniaotur 






0» 

1-t 



3-98m''j/-t- 68iVi/ 
}«iu4/ 



SsiVf/ 



^» 



§-4gin»i/-H38ia*f/ 
"v8in'i/co8«|/ ' 
§-§8in*f/ 



Y l-t-3sin*f/ 



COfl^f/ 



Bs^ 



«7 = 



an^i/ij«»i/ ' 

O C08'§/ 

|-f.V8in''i/-tSJtBin*|/ 
l-ll8in''J/-H258iii*5/' 
?^-jfitB'f/-V8in^j-/ 
l-38lnH/-*-38in*|/ ' 

**8^ 8in'f/-V8in*i/ ' 

p _ f-f «Vf /-t,9gin*i / 
^~ *ln»f/-28iii*f/ ' 
_ f^j»in'j/-3gia*f/ 
'°~"- 8in*f/-28in*f/ ' 

Pbsitis<deidqae 



V_ i-|8in'f74-38in*f/ ' 

"^ ~ 8Jli*f/c08'f/ 

hjgin^f /-8in*f/ 

pi|.'f/M»»;f/ 
C08'f/ 



x,= 



x;,=-3 



8in'f/ 
35 
(l-ll8in»f/-i^i»8in*f/rco^fJ' 



Y — ¥-358in'f/-t-V8in*j '/ 



Y _ §4-381^'^ f - V »iB* f /4^ al»<f J 
'*'"" ar3w*f/-in3/»ia*f/jc»»*f/ 
fcos^f/ 



8in»f/-Vi 



8in'^ 



f - 5 8in* f /-(^ V rfn* i/-^Q»i»*f/ 



^ ~ (ri^p^^^Bin«17)«o«»f / 

V ^ , f-4.38in'f|-V8iB*f/ , 

'°~ ■ (81»» f/- V 8«n* f /)"co8*f / 






inyemiiBtiur 



Digitized by 



Google 



__ l-58in'ff . :_^ 1-SDiVfJ ^ ^ 

^ .i-,|»lVf.Jr4-58lVfJ ^ ■i-»MViJ^5-«ln*iJ 

mi,-^. §-Jg'Vi'/-^5wn«i^ _- f-§an*fJ . , • 

*^ 8ia»f Jcos^iJ . ' ^*""" sin^iJcos^iJ 

'„ _'3;-w|7 • ■ " - ■-'-- • ■ 

-^5 — - 8i„»i/ ' 



G.=- 



5 — sih»? / 



' ~ l-'ff8iil'|/-»-26sin*f/ ' **"* — 1-Il8in*f/-H258in*i/ 

„ |-V8in'i/-H>1^8i|l*.^/ , A, _^ f-V8»i^'g.J^V,8J»*iI „ .. 

' l-38in''i/-t-38in*f/ ' >~ l-38iii'J/.f.38iVi/ 
«, f-Vtia*§f-trY^iH*|J ^ y^l. v j^^Wi /4^ V 8in*|/ 

' - 8in*A/-y8in*f/ , ' ^'s -^- " 8i„M/-V*8>n*i/ , 

K— f-V8in''|/-i-108iii'^|J ■ _ ^-^gin^i/^lfS-Bin*'^! ^ 

»~- «in^iJ-^sin^iJ ' ; '~~ «ill'i J-asVjJ 

_, _ f-V8m'f J-i-10giV|J r — i-|"'n*4J-5»in* iJ 

??~-" »liiCif-28in*Jf » ^16^- ■■ «{,i.|i_28i,i4^j/, ,; 

Substitiitis Taloribns praecedentibns ipganunP- , ""* i j jT > ®^<'-» "*^ "••* ^a- 
lonblis. ipiarom >tf atqne j^ lA.Sfc^. pvagc^ daab» a^ uatiope a. (13^^ ^abeunt 
in has 

«P=-28in|ia(n)t-6in|J«,(nyi' 



+(«)/ 



f-^(S+^)i-^[l'/];ios(i^+r/+i?,)-tn),)22^[M^,sfn(i^+«^^^^ 
|+tr2?^{*^-J,Cfls(^+,->'+Jtf,)--(n>'^*'2^[f,i'],sin(i^^^^ 
-w'2f^^^^[in,co.{ig-\-ig'+H,)+ dP27 ^[M-l^sin^^+iV+H,)! 
[ + dp ^-i +l?^p,0,'cos(,>+r^^H4 -^ 



f-(5+0^^[^nxSin(i^+'V+H,)-(«)fc:^p^J,',acos(i^+,V+H,)l 



«9= («)/, 



^[,-,il, sin(/g^+,V+H,)-(«)fc i^-j^ 
+ trl?^^ [M-],sin(^+,,V+^,)r-(»0'«*'^;;^J^n*cos(;^,-'«*hH^^ 

-«,;2;fi^msin(i^+,Y+^)+«JP^«+^v=^i,^^ 

t+«927-^J,',,-'],sin(ig^+.V+H,) 

' 30 ♦ 



Digitized by 



Google 



Producta haec eodem modo computanda 8unt quo reliqua de quibiu 
iam disseruimns. Qno facto, aggregatnm nanciscimnr pfoductoram qnae 

2 

in dP continentur sub forma hac 

PM%'cos(ig^+iV+H,) + (n)fii'''^'cos(ig^+iV+fQ 

2 

aggregatum productomm quae in iQ continentur sub forma hac 
p''*'''sin(ifi^+iV+H,) + (n)fg'.''''8in(ig^+iY+H,) 

2 

et aggregatnm productomm in dK sub forma hac 

KM%'cosCig+iV+H,) 

designantibus P'»''»*, ji'»''»', 9''''*5 9*'''* *^^^ K'»'''' coefaaentes nume- 
ricos. Hinc emergunt . > . 

**= i5£^,""(«+''«'+"J+W5:^^.*'('«+''«'+*J 
+(T:i£s7,-'-P*+''«'+«.;)! , , . 

ubi casns specialis, in qno simul i = o, r = o, x=i est, excipitur, cnias 
loco habetur j 

"' — 28U14I ' ^'' — 26lni/ 
porro .X. 

/e=-sS^,'=«'P*+?*'+fl.)-w's^^.'»'cl«+>v+ft) 

+(i:&-™C**+.V+HJ 



quae expressio exceptionem non patitur, quia ^»°^* et 5°»°»' ii expressione 
ipsius ^ per sino multipficatae sulit; denique , \ 

dK = -< A \;, r ^P + -; — 5 smOff+«V+Hj 



. ' V> 4 



Digitized by 



Google 



sin in Qkinio tennino etiam casuB i :zz 6^ f = o, x = i exdpiendas est, 
ouins loco habetor . ; : t . 

15. 

Qmim in prstecedentibus computationes approximationis secnndae co« 
piiose ex^ilicaTerimus, de compntationibus approximgtionis tertiae, quae eo^ 
d^nf modo quo^illae perficiatitur, pauca tantum dicenda sunt. 

/In approxhnatione tcrtia termini omnes et quantitatis1nart.7. Sect.III. 
Z appellatae et aequationum (11) et (13) Sect. 111., quae (njz ei w 
suppeditant, in caiculum vocandi sunt. Quum ex approximationibus prima 
et secUnda valores numerid onmium coefficieittium , quibus in 'approxima- 
tiode tertta ut^mur, noti sint; computationis modus, quem descripsinius, 
ipse monstrat et eos terminos, qui in approximatione tertia Tim habtot, 
et 'eo#^' quos negfigere licet, ita ut nullus calculatorem attentum fugere 
possit 

Termini tertii ordinis in aequationibus (11) et (13) Sect. III. atqne 
in expressione ipsius Z duplici continentur modo, tum explicito tum im- 
plicito. Explicite enim adsunt iu iis^ ^qtn ^ribu^, implicite autem in 
iis qui duobus factoribus constant, quorum ultimi general|ter maximos 

terminos tertii ordinis suppeditabunt. ' In terminis quidem -^ (w) fo, 

r-~-^tt;, etc, in quibus in approximatiotte secunda loco (ji)izy w etc. 

harum quantitatum perturbationes primi prdinis substitutae eraiit, in appro- 
ximatione tertia perturbationes secundi ordinis earundem quantitatum substi- 

tuendae sunt, in terminis autep -j^ (nySz^ , r ^J^ (n) dz.tp,^ etc te^n^ini 

primi ordinis ipsarum (n)djs, w^ etc. ad terminqs tertii ordinis obtinendos 
sufficiunt; sed quum termini, qui explicite quarti ordinis sunt, yim non 
habeant, in terminis modo allatis aggregata perturbatioimiin ) primi et se- 
cundi ordinis ipsarum (n)js, U7, etc; substitui Jiossunt, unde statim praeci- 
sionem maiorem adipi^cimur. Eadem ration^ . substituantur in uU-oque* et 
resp. quoque factore terminorum 



Digitized by 



Google 



sig^«gata pdi«rbatioimia prbni et gecuniB ordtnfa. Qiniiciimin peitB^^ 
bationes iertii ordinis in motu Lunae nullo modo negligendae sunt , ' tiuiiai 
pauci admodum earum termini exi^nt^ q«i tiqi hab^t, quo fit, ut 
computatio haec brevior evadat quam pro specie, quam prae se fert, iV 
dicaveris. Quum vero inter terminos tertii ordinis nonnuUi haud parnili 
adsint,^ approximat^o quarta, in qua hl teri^ioi in [iisdejp fiHpnpilj^ siibsti- 
t^antur, instituatur, qa^ 9^pi[oximqitiones fii^tae enmt, ltax]ii^ p^turbatia- 
nes inventae, si in formalisr npstris denfio substttotae fui^f lU) ea^en p^ 
turbatipnes reproducerent, et formuias^ phu&ie ide^ticas radfib^il^t^ i^iquod , 
alitjer non esse debet. * . . » .» :i: ^. > 

Restant singula . quaedam explicanda. Approximati^ t^isi^ qiomtiftatei 
n<mnalla£ requirit, quae ex priorib^us appfoxinfationibu^ imnpe^&Ue 4atie 
non sunt. Hae sequeatibus ^ili negotio cpmputaatur formoiii» ; i qnnfiotr 
demonstrfitio ex indole ipsius i2 |ac^e peti potBst* , -, t, . , : ,1 * ; 

Si U in partes decem ipsjs iS^ oorrespopdea^es disteib^itwit qu^ paf«; 
tes signo 17, generaliter designabo, ita ut sit 

l7i=^I^^,cos(xy+i^+iY + HJ 
habetur 

r^= 2{°A,lA,cos(«y+^+»V + HJ 

t^^--2Jl''(K+i)U;to>0tY+ig+fg'+Ky 
etc. 

ubi fcjp eadem est atque in art. 7. Sect. IV. Porro^ posita 

C't)=.^''msCosi^y+ig+rg'+iQ 



habetur 



. • • 

^ = -i;|°,;*(T),co8(xy+i^+iy+Hj 

gg = -ZTiKTUosOcY+ig+/g'+Hs) 

'•^ = -2:}°i^(t),sm(xy+ig' + ,V + H,) 

■'r^. ,; ■. ■ '' .- : 

' ete. .1 ' -■■etc. ' / ''• : 



Digitized by 



Google 



"C^) 



Qaum:per^^:aeqnaMoBeih(6);habtiitiii; ia iermiius finitis. 

dr» » dr dr dr ~ dr ^ Tr 

et qaum posita 

dU^r^lore» pure elliptici quanlaUtani, quas contiuet, ^lummodo snbstituenr 
dispat^ aequatio (5) suppeditet u, 

dV ^ ^. , dU 
inyemtar 

>!^+.l^=r-2r+(T)-r+2rf +^-,,1^) 
quae, introducta significatione illis analoga hac, 

- ^ = ^rC^),cos(«,+f^+,V+fl,) 
ul[)i notandum: est esse semper serro, facili opera transformatur in hane 

'•'^+r# -^ 2r{(ft,-i)%t),+(2A,-i)[i;-.-(;^)Jjcos(xy+i^+,V+H,) 

Daiique faabetiir ^ 

n:' l^ =^ -M^- 1) cT)x+(v 1) [t^,- C-^) jfcos(xH-f^+.v+H,).. , 

etc. etc. 

In art^r 11. introdoximus sigo^cationes 

' g = fOOodt + ccy 
r -AnXdt+Cc) ' ' 

ubi 

(n)° = (n) + ft (n)*< + pX«)*«' + etc. 

et animadvertimus in H, ubique /yd^ loco y«, fadt loco ctl et /gd/ loco 
l|}( €ibidtit3ueiftd<|»Jesse* la i^gratioae i^ur aequationlun difierentialium, 



Digitized by 



Google 



240 

quibus (n)z et w elidtur, iiifapproidmatione tertili hanite qmntita^iii nb- 
tio habenda est. 



petesti 
tlcgnli 



raeses- 
enerali 



+xftX")''«HiKi-2x>,+ iX+r«„+rfl„J(«)V+etc. 



lam, neglecto quadrato et pote^tibus temporis superioribus in coeffi- 
cientibus; expressio (14) .infe^ata suppeditat, quia u=^etv, ipn 
»".y/+*'y/ + *"", + »*'?, aequatur, Mu 

^=-2 ^-^ cos(xy+iff+iV + fl,) 



Digitized by 



Google 



241 

Matata r in t, ex termims praecedentibiis evaduit hi 

imde mamfestam est formam generalem ipflas r^ psse hanc 

^ = 2NcosOg+rg'+H,^ + (ny i:Ocos(jg+fg'+H^)+ 27Psin(ig-+iY+fl J 

Ifi igitur ipSMis ^ termini einsdeA formae sttnt atqne ii, quos in ^p- 
proiviatione seconda, vbi in argumentas qmtntitirtes fi(«)V, a^^(n) t ^ 
etc. pro constantibus habitae. ^ant, inyemmus. Primus expressionis prae- 
cedentis terminus idem est, qui, ratione ipsarum fi(w)'t*, a,(^)^**' ^*^' 
non habita, existit, termini igitur ii(nyt% a,(nyt\ etc. in argumentis 
existentes ad tenninos per (n)t cos (ig + tg'+H,) et ad tenmnos per 
mk(ig+tg'+H,') multiplicatos, qui in, ipsa -^ aliunde i^ adsunt, notiii 
eiusdem formae addunt, ad quos tan[ien,. quunv in motu Iiunae illis multo 
minores sint, opus noa ^t respicere. '| :; 









iU\>'^ !. 



31 



, i;..i-ii 



■•■v) •. .[ 



Digitized by 



Google 



Mi 



SE (5 tlO VI. 



BXPLICATIO' COMPVTATIONVJft A» IPSAS p, ATQVB ^,, lATI- 
TVDINEM BT BBDVCTIONBM LONGITVDINIS OBTINENDAfi 

INSTITVENDARVM. 



i. 

^aantitatibus (n)z^ w^ P^ i^ et K secundam r^gulas \n praecedetitlbus 
explitatas computatis, p^ atque q^ contputaudsl^ sunt, e quibu^ latttudty 
versus planum proiectionis et reductio longitudihis in orbitst ad idenr 
planum, sive declinatio et differentia inter longitudinem v appellatam 
atque ascensionem rectam Lunae pendent. Termini fere omnes ipsa- 
rum p^ atque q^ ex praecedentibus ipsarum P et ^ computationibus*^ iam 
noti sunt, uti ex formulis art. 12. Sect III. patet. Quantitatem 

quam per P'»''* cos (tg'+fg'+ Jfjp) repraesentabo, ex computatione ipsius 
P, et quantitatem 

B-B(S+6)+^(«)da+r^u,+ ^(«>'+r'g«,'+FdP+G«9+^«K 

quam per Q^'*'' AvL^ig+ig^ + Hj^ repraesentabo, ex computatione ipsius 9 
novimus; restant igitur producta A6Q^ B8K, B8Q et j48K per methodum 
supra descriptam computanda. Propter aequationem inter 8K atque 8P 
saepius memoratam 



Digitized by 



Google 



et prodoctis JK^ aiquc B8K in fl evadunt haec j^^T/ \^8g^B8P\ 

et ez productis B8g atque jidK in —<pt haw^ ^^jj \Bdg -^ JdPi 

Positis igitur post muHiplicationes institutas 

^^jlMQ^BdP] = GM'.'cos(i«'+,V+H,) 

^^^^B8g-\-MPi = r'.''.'sin(i^+,V + H,) 
et tiuii 

sec^IP''''»'+G'''''' = jp'.'.'; gec^I9''''''+r''''«' = ^*'''' 
habetiir 

ft = n2:F^^*'*cos(ig+rg'+H,^; q>t ^—^^^'''^'sinCig+rg^+H,^ 
CoefBcientes G'»'''* atque JT'»'''* omnes minutissimi sunt et fere omnes neg- 
ligendi. CoefBcientes P'»'''* atque 9*'''' huius formae sunt P^ + wtP^, 
P^ + nfp^^, sed coefficientes nfP^ et n<9,, in integrationibus tanquam 
constantes tractare licet, quia termini ex variabilitate horum coefficien- 
tium orientes vim non habent, sicut iam supra respectu ipsarum (n)z etw 
annotaTimus. 



(1) 



2. 

Approximatio prima ad vcros ipsarum p^ et q^ valores obtinendos in 
eo consistit, quod valores ipsarum p^j q, et u^ tx integralibus approxima- 
tb C^O) Sect II. petendi in formulb (62) Sect. II. , et tum valores ipsa- 
rum /f , L atque M hoc modo orti in integralibus rigorosis (64} Sect. II. 
substituuntur. 

Formnlae (1) in expressionibus (62} Sec^ IL substitut^e primum 
subministrant 

H= tt^n2;F''''''cos(ig+iV+H,} 
L =:-uriZaf^*'^'s\n(ig+i!g+H;) 
M = ii,n2;P''''''cos(i^+iV+ff,}«9,n27a^»''''8in(;g^+i^^^^ 

ubi casus f = o, if — Oy a=i excipiendas esi^ qui valorem ipsius € sup- 
pedlitat hunc 

c = F^^»* 

31* 



(2) 



Digitized by 



Google 



Sabstitatis porro in Ips expressionibas Taloribas ipsaniJQii jp,, 9, atqaev 
ex integralibas (60) Sect. II. petendis, nanciscimar 

^ = n ^ coe r 2?FcoB (w fi«+ W^-n^wiA rZFeo9 [n(w+Y)«+ JV-f^] - »^"0 Ti^Fcoi [ii(w.v)«+ W^+B] 
Lzz-n^ 008 ri:* flin (w nt+ ^H+n^ «in rT^ sin [ii(w+ v)<+ jr^©]+ii^8in rZ# sin [ii(w-v)«+ jr+ 9] 
Mzz-n -^cofr^* 8in(wii«+ Jf>n8?nr2:| ^4^ i FJsin [n(w+v)t+ fV-e]-n sln rT |^*+i*'|*in [n(w-v)e+ »+8] 

abi ig+tg' + I1x brevitatis caassa per vft+W, et K(a^iy)a+c*5 qaia lit- 
tera or, per qaam haec quantitas in Sectione secanda denotata est, hoc 
loco ceteroqain utimar, per y reddidi, nec non indices ijf^x^ qui in 
omnibas terminis iidem sant, brevitatis caassa omisi. Qaibas ipsamm 
JH^L^ M yaloribas in integralibus (64} Sect. II. substitutis, emer^^t 

!p^ = Ki_i . sinrsin(viit — ®)"i"^JP, 
q,= ^|^r^.sinrcos(vnf— 0)4- -^1^717. cosF+d^^ 
u = -— |^Tiri.smrcos(vne— e)-|-^l^7Zi.cbsr+d« 

ubi 

• •,«(«-^^ . («-'7)^^+wv4*) e F e F 

<p, = -cotraj^F+ ;^^,];,j j.iD(wnt+»')+^inra^iBrn(w+T)t+»--e]+- .{.rS-riDrn(w-T)t-f fr+g) 

"' =-^rx[;^ ^^^J,^ j,o.(wn«+»o+^iDrzj^+.L^J co.[„(w+.).+»'-©] 

+^iTzj^;^ I ^;-;l^^ j c,.rn(w-.)e+»r+e] 

V (w ' w(w*-v*) ) ^ I / I (2v(w+v) 2(w+v)wv ) •• v 1 -^ 1 j 

o . \ +r. T— ^ U^* ["(w-v)t+ fT+ei 

2v(w— v) ' 2(w— v)wv ) •• ^ / T- T 4 

et secundum aequationem (64^) Sect. II. 2X aggregatum ex quadratis 
omnium ipsarum dp^, dq^ atque du coefficientium formatum denotat 

Quae quidem formulae terminos omnes approximationis prim^e conti- 
nent, sed in hoc statu integro ad terminos omnes computandos adhibean^ 
tur, necesse non est. Maiores solummodo formulis praecedentibus , re- 
liqui autem minores formulis computentur simplicioribus , qoae, negle* 
ctis rj et c^ respectu ipsius v nec non parvula inter F'»*''* et 0'»*''* dif* 
ferentia, ex illb facili opera emergunt* 



Digitized by 



Google 



246 



Quantitatibas |i^, q^ et u acliumento haram formularum computatis) 
accurattore$ harum cj^uantitatum v^Iores innotescunt, et quum in calculis 
modo peractis valores ipsarum p^^ q et u ex aequationibus (60} Sect. 11. 
petiti in expressionibus (3}. substituti sint, in approximatione ^cunda tei^ 
mini ipsarum p^, q^ et u substituendi sunt, quos approximatio prima sive 
formulae pfae^edentes ad illos addiderunt. Quamobrem habetur in ap- 
proximatiooe secunds^ 

m= «i£n2;F''''>'cos(ig-+iY+ir,) 

mz=z dp;n2F^^^'>*cos(ig + tg + H;)—9qnZ^^^'>' 8in(ig- + iV+H,) 

CoefBcientium ipsarom dp dq^ et Su valores numerici ex calculis 
approximationis primae noti snnt, multiplicationes igitur, quas fonnulae (4) 
requirunt, eodem modo perficiendae sunt, quem supra descripsL Ex for- 
ma ipsarum dp^j dq^, 6u in art. praec. datarura sequitur, multiplicationibus 
Institutls aequationes (4) suppeditaturas esse 

dH= n-SG''''''cos(wwt+fr) + «-5'J'''''^cos[ii(w+Y)f+ ^-0]' 
+n271[''''''cos [«(w-v)^+ fF+ &] 

^M^^iL = n27L''<'''8in(wnl+^) + iiJSJlf'''''8in[ii(w+v)f+ jr-e]( 

+ n2?2V''''''sin[n(w-v)f + ff+ &] 
"^dL+^^dM^ n2?O'''''^sjn(nwf+fr) + n2;P^''''^8hi[n(w+v)«+fF-0]l 

+n279''«'''sm[n(w-^v)f + fr+ 0] 

ubi G''*'»*, J '»''»*, etc. coefficientes numerici 8nnt. Substitutis his expres- 
sionibns in integralibus (64) Sect II. resp* loco Hy ^^^i(f — ^L atqae 
— ^i + — M, emergit in approximatione secunda 



(5) 



Digitized by 



Google 



(6).. 



246 

-^^[(-wm^-(;a^^]+f^.h'W-+'"+'^-«I 
-^=?[sr^.«-(;^P] +7 ^! - W-')'+ "'+ «] 
'^=^!7[;?^.«-.-^'']-^w!«°'(»-'+''') 

+^(7[c-i4w'-i;;^^]-°-?^.|"»'W-+'''+'^-*l 

(vLCw— v)^ — v^ (w — v)* — v*^J V w — V) ■- V • j 

ubi etiam brevitatis caussa indices i, t^ ^ ipsarum G, J, jK, £, etc. , qui 
in omnibus terminis iidem sunt, omisi, et sieut in praecedentibus formu- 

lis est 

.\vt + W = ig + ig+H, atque v = fCa-iy^^^ + c» 

quas formulas praeterea eodem modo quo ^ormulas approximationis primae 
pro terminis minoribus abbreviare licet. 

Additis his ipsanim 6p^^ 6^^ atque du Taloribus ad valores ipsarum 
^P,^ ^9/ ^^ue du^ quos approximatio prima prodiderat, accuratiores harum 
quantitatum valores nauciscimur. Eaedem formulae praecedentes tertiae 
quoque apptoximationi et subsequentibus perficiendis inservient, si hb 
opus sit. 

Quum in formulis (5) indices i, f omifes valores integros positivos 
et negativos inclusa cifra, et x valores omnes positivos quos supra expli- 
cavimus, inclusa unitate, comprehendant, existunt in his expressionibus 
termini hi 

dH— nG^°'^ +nf /^^^^^+K^^^^^^cosivfrf— e^ 

^^^JIf— -^«X= n^M^°»^ — JV^^^^^^sin^vnl— 0] 

i'^SL+-^6M= n \P'^^'— 9^'°>'| sin [vnf — 0] 

Nisi hi termini insensibiles sint, artificium in art. 30. Sect. II. expo- 
situm in usum vocatur, quo termini per tempus ^psum multiplicati, qui &L 
terminis praecedentibds in valoribus ipsarum p^, q^ atque u nascerentur, 
tollantur. Quem in finem facili opera reperitur., quantitates in aequatiom- 



Digitized by 



Google 



iunct 



atquc 



loco 



loco 

▼ 



tudo 
idem 
habei 

ubi 
ubij 

nbi i 



Digitized by 



Google 



248 

denotantibus dp^i 6p,^ 6q^^ d^, easdem in artt praec. explicataa quantilateS) 
propter aequationem quam proximam hanc y — a-^- 1^9 .habetar 



imi SDot, 
l^ expres- 



neros in^ 

)dz] 
)dz] 

)dz] 
nbi 

to — (^-\-a — i^)nt-\-v-\-h 

Qaantitates dj), et d 9, ita exhiberi possunt 

dj,, = spy^' sin (.ig+ref+H,,p) 

6,q = 2(^Y''co%[ig+i^+Hs,p) 
ubi 

Hs,p=:Us-\-p[yni—&] 

denotante ^ indicem, qni Talores 0, 1 et — 1 tantum accipit. Quibns po- 
sitis, inTenitnr per calculum, quem in theoiia lotis atque Satumi expli* 
caTi, formula rigorosa haec 



Digitized by 



Google 



249 

8= sin rsin{f+(tf+ a - ij- v) nt+p+h+ e]+j cos T sin [f+ij/+a -rj)nt+v+h] 
-\-2M^^{Pf''- Q^/'' '\sin[h{n)8z+ih+t^g+rg'+H,^ + (t/+tt-ri) nt+v+k] ' 
-\-2m^^{P*f''+g'^''''lsin[hinyiz+(h+i)g+rg'+H,,p-(y+a-i)nt-v-h] 

nbi 

ii excipis 

jl|(o) _ ^(0) _ X e 

Si in fonnnla praecedenti sinos et cosinus secundiun formulam notam 
hanc 

sin [h(n)dz + (h+i)g+ etc.] = siB[(h+i)g+ etc.]+A(n)d2 cos[(h+i)g+etc.] — etc. 

eToIvnntnr, emergit 

8= 8inrgin(/+(y+«-i2-v)n«-|-v+*+©]+-^ cosr8in[7+(y+«-i^)nl+»+*] 
+2?Af^*)^Pj''.'-9j''''^8in[(fc+i)5-+iY+fl,./,+ (y+«-.^)n*+v+*] 
^2N^)lP'^*'^'+g^';'lsin[(h+i)g + rg'+H,,fi-(y+a-fi)nt-v-h] 
+(n)fo2?A Af<*>fP^''.'-9j''''| cos[(fc+i)g+iV+flx, p+(i/+a-rj) nt + v+h] 
+(n)&2;AiV'*)|Pj''.'+pj''.'|co8[(A+,)g'+iV+ft,|,-(y+«-)2)n*-i;-*] 

in qua argumenta perturbationam aeque atque in reiiqnis tempoii propor- 

tionalia sunt. Qunm vero etiam sit * 

sin [h(n)8z + (h-\-i)g-\- etc.] = 

8in [(«)«« -f-^fc-f-Og^-j-etc.] 4- (/^—l)(n)dacos [(n)8s-\-(h-{'i)g-{.ete.] — .etc. 

atque 

sin [fc(n)da -^ (A-f-Og- -f etc.] =: 

sin [-(n)da-f (h-\-i)g -f- etc.] -f (h -|-l)(n)d? cos [-(n)*a -f (fc-f-Og-^.etc.]— etc. 

formnla ipsam a exhibens ita quoque exponi potest 

8= 8inr8in[/f(y+a-ij-v)nl+H-i+(9]+^ cosrBin[7+(y+«-i^)nt+»+*] 
-{■2M^^lPf''-g<^''''l sin[(h+i)g+ig^+H,,p+(n)8z+(i/+a-ri)nt + v+ k] 
+ 2N<^'lP'^''"+g'^*'''lsin[(h+i)g+ig'+Hs,p-(n)8z-(y+a-ri)nt-v-h] 
'\'(n)8z2(h-l)M^^\P'^''''-g'P'lcos[(h+i)g+rg'+H,,ft+,(n)8z+(i/+a-ri)nt+v+h] 
■\-(n)8z^h+l)N^^>lPy''+g'f''lcos[(h+i)g+rg'+H,,fi-(n)Sz-(f,+a-ri)nt-v--h] 

32 



Digitized by 



Google 



(8). 



250 

In hac igitor formula ad argamentomiii tenqiori proportionales partes per- 
torbationes longitudinis mediae adduntur et resp. ab iis subtrahuntur. 
Quum omnium M^*^ maxima sit M^^\ et omnium iV^*' maxima iV^""'^, 
maximi ultimorum duorum huius formufae terminorum propter factores /r — 1 
atque h -{- 1 evanescunt, duo ultimi igitur huius formulae termini multo 
minores sunt quam formulae illius termini correspondentes, quare haec for- 
mula illi praeferenda videtur. Multiplicationes vero per {n)8z, quas ultimi 
termini requirunt, eodem modo perficiendae sunt, quo multiplicationes reli- 
quae. 

Quamquam formulis nostris sinum latitudinis dedimus, tamen latitudo 
ipsa ex tabulis motum Lunae exhibentibus et hac theoria nitentibus facile 
depromitur. Posito primo et maximo ipsius 8 termino hoc 

sinPsin^Z-l-Cy+^ — V — v)wt-f-«»-f-ft-|- ®] = ^^^^ 
B ipsa loco ipsius sin J3 in tabuiam redigenda est, quo facto, tabellis, 
quae perturbationes ipsius 8 suppeditant, tabelia differentiam inter pertur- 
bationes ipsius 8 et ipsius arc (sin = s) subministrans faciii opera anne- 
ctitur. Perturbationes vero ipsius 8 in tabulis conservandae sunt, quia his 
perturbationes reductionis longitudinb ad planum proiectionis faciliima ope- 
ra computantur. 

5. 

Transmutata littera x in v, reductio longitudinis ad planum proiectio- 
nis secundom aequationem (72) Sect U. integrali datur formulae huius 

Ubi 



(9) } Pn =P.^os[ynt—0\—q^^m[ynt—&\ 

\ q,^ = g^cos [vnl — 0] -fjp^ sin [vnf — ©] 

atque 

lam imnc positia 



Digitized by 



Google 



251 

p^ = sin rsin [v nt— S] -f- d ^p^ 
q^ = sin Fcos [v n« — ©] -j- d ^y^ 

unde *^^^ = dji^, d^y^ = dy^^-^ cos T atque 

8 = 8inr8in[74.(y-|.a-q-v)n«4-i;4.*4-0]^d^^5,8inF— d^^ji^cosF 

sive 

8 = sinB -{- d8 
ubi igitor 

68 = 8 q sin V — d p cos V 

habetur stdinmento aequationum (9} 

p^^ = djp^ cos [vnl — j — S^^q^ sin [v nt — 0] 

q^^ = sin r^- 6^p, sin [vn* — 0] + ^„9, ^^^ [^^* — ®] 

Positis porro 

habetur 

dp^^ = i^jp^ cos [vn« — 0] — d ^g^ sin \ynt — 0] 
Hi = *,A«n [vnt— 0] + d,^y^cos[vnt— 0] 

et insuper 

i8 = 6q^^ sin F — dp^^ cos J^ 

6i nunc factores, qui in formulae (8) dextra parte continentur, in 
series infinitas secundum potestates productaque ipsarum 6p^^ atque 6q^^ 
progredientes evolvimus, habetur 

1 1 co« F, j^ , sin V, j. 



l-q„ 8in r,-Hj»„ C08 F, ~" 1 - 8iii r«iB F, Cl- «i« rsiii 1^,)* ^" ' (l-«in T^in F,)* 

C08* r, ._, ^ BinF.CQgF; . . I '*" ^' An' 

■T' (l-8inJ^8in F,)» ^"~ (l-sinT^in F,)» ^» *« "r" (l-8in r^inF,)» *" 

"1" rl-t^in rain F.l»™ » r1^.!n r«n r^« *" 



I-t-yr/ sin ^r/»/» C08 F, ~ 1-H8in Tsin F, ^ (I-t-sin Psin F,y ^" (l^-«in Tsin F,y 

C08* r, >„a 8in r, C08 T, , . ■ 8in F, > , 

~f"(I-*.8inr8inr,)»™""^(I-H8inr8inr,)'™ "'" 7" (IH-Binr8inr,)*™' 

I _ 1 ■ 8inr , 1 . , ■ I-t-2gin'r . « 

v^ i->.,'-t,' ~ co8r"^"coe'r^""T"2co8»r'^""'" 2co8»r *" 

y„co8 r, + J»„8UiF; = sin rcos F, + sin V^ip^ + cos F, d^„ 

32* 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



/ 



253 

Cq„ C09 V, -4-piy 8in VMdq,, gin V, — dp„ cos F,) 



-i^Csinr, + l)cosFj/^dy>„-«p,dgJ-f^£;«inr+Fcosrj/d;,Jdy>,,HjpA^ 
-f^Fsinr+Gco8Fj/<JyJdy„dp,-tfp„dyJ .- 

Porro adiamento evolutionis ipsias (1 — p^^ — ?/!)""' modo datae perfacile 
elicitur 



/ 



nCv—a-^rj) ,. v — a-4-i; . , . ^v— a-*-iy ^^^ ,. 
— a*. = =r-^ n# 4- sm T r-=-' nfoq^^ dt 



Congestis his expressionibus , propter praecedentes ipsarum C^ D^ E^ F 
atque G expressiones , quae suppeditant 

E8inF,+Fcosr=ro; CsinF^+D cosF = ^; FsinF^+G cosF = ^^ 

expressio (8} integrata evadit 

+^ "' + -^=3t?»/'».'"+ 2-jW!'»-^- f»*!*-"**^ 

ubi 

^S^ — l^tg^ATcos^F; 

et Jn constans est, quam in art. 34. Sect. 11. definiyimus. 

Quae longitudinis ad pianum proiectionis reductae expressio ab ex- 
pressione eiusdem longitudinis , quam antea dedi, eo discrepat, quod ds 
factor quoque quantitatum ordinis primi et secundi reddita est, sed in hac 
forma concinnior et usui accommodatior est quam ilia. Praeterea demon- 
strari potest hanc formam generalem esse, et huic reductioni attribui posse, 
quantumvis praecisionis gradum adipisci velis. lam ex calculo modo per- 
acto facile perspicitur, rigorosam esse debere aequationem hanc 



/ 



(q„ CQg V,-t-p„ gjn F,)(dq„ gin V, - dp,; cos V,) _„r^., ^^^ ^_ j„ A« W„ « 



(X-q,m Vi-^PnCOi V,)( 1 H-g„8ln V,-p„cos F,)Vi -,„• - ,,. 



Digitized by 



Google 



254 

designantibus fV atque X series infinitas secundum potestates productaque 
ipsarum 6p^^ atque 6q^^ progredientes, quarum fV insuper erit functio ipsa- 
rum y atque F et X insuper functio solius F. Quae est forma usque 
ad quantitates quarti ordinis reductioni liuic supra attributa. 

Maximas reductionis longitudinis ad planum proiectionis perturbatio* 
nes continet terminus expressionis (10) per 68 multipiicatus. Primus qui- 
dem factoris ipsius 6s terminus in tabulam umus argumenti redigi potest, 
reliqui vero termini tabuias duplicis argumenti requirunt, sed quum hic fa- 
ctor per 68, cuiiis valor maximus circiter ]^ est, multiplicandus sit, maiori- 
bus soiummodo ipsarum 6p^^ atque 6q^^ terminis ' in eo opus est. Hinc 
factum est, ut hic factor ex tabulis ceteroquin apte constructis facili 
opera desumi possit, et quum ad latitudinem computandam ipsa 68 prae- 
terea opus sit, multiplicatio factoris iilius per 68 ab astronomo loca Lunae 
ex tabulis computaturo sive logarithmis sive numeris ipsis perfacile ab- 
solvetur. 

Reliqui expressionis (10} termini minores sunt et in tabulas unius ar- 
gumenti redigi possunt. Sint 

8p„= l?sinPnt-f^4-Fsin[/rn* + B] 
6q^^ = I/co8[lnt^J] -{-F^coslhnt^B] 

duo quivis ipsarum ^^^ atque 6q^^ termini; hinc emergunt 

^= nlEcos[lnt^^J^nhFcos[hnt+B] 
^=^nlirsm[lnt^J]—nhF'sm[hnt + B] 

«9^^^= n^ Eir cos[2lnt+2J]+n^EE' ^n^^^^^:^^ 

+ n^^^^^^^ cos[n{h-l)t + B-^+n^ FF' cos[2hnt + 7B]+n^FF 

ipfjf^ n^EEcos[2lnt+2A]-^n^^EE + n^-^^^^^^ 

-^ n *^^^^^^ cos[n{h-l)t + B-A]+n^FF' cos[2nfe^+2B]-n^jFr^ 
unde 



Digitized by 



Google 



255 



/i 



h-l FE'-FB 



quae huius integralis est generafis fonna. Quum generaliter quam proxime 
habeatur 

aut E — E^ F= F' aut E=—E', F=—F' 

terminus aut secundus aut tertius praecedentis expressionis semper fere mi- 
nutissimum habet coefficientem, quem plerumque negligere licet. Muitipli- 
cato praecedentis expressionis differentiali per numericam ipsius 6q^^ expres- 
sionem, post integrationem secundum regulas notas instituendam integrale 

y^?,, j^?//"rf^ — ^/^//'d^l^' facile invenitur, quod vero integrale nullam fere 

vim habet. Item terminus expressionis (10) per /dy^^d^ muitipiicatus pro- 

pter factoris v — «-[-i^ exiguitatem omnino negligendus est. 

Termini expressionis (10) per tempus ipsum multiplicati usque ad 

terminos minutissimos se mutuo tollunt, nam perfacile demonstratur, maxi- 

mum huius generis terminum proxime evanescere debere. Habetur enim, 

81 ad maximum ipsarum Sp^^ et 6q^^ terminum tantum respicimus, 

c c 

ip„— cosJTsin^vn* — 0] ; $q^^ = — cosrcos(vn* — &) 

itaque secundum notationes modo introductas 



c 

V 



E = — -cosT, JET^-cosr 



Formula igitur (11) in hoc casu, ubi ad secundum ipsarum dp^^ ^^^^„ 
terminum non respiciendum est, suppeditat 



/1' 



dpn 



dq„) 



Ex art 31. Sect. II. vero habemus in theoria Lunae, ubi in casu, quem 
nunc tractamus, m = o statuere licet, quam proxime 

na zz: — (i cos*^J ; ni^ = — (i sin ^ J; nc = 2 —fisin^Jcos^/ 

unde sequitur 

vziza-j-i^; V— «-f-«^ = 2v; n— =:4qcos*^J 



(11) 



Digitized by 



Google 



Sttbstitutis his valoribus invenitur 



'»'+2-^yiH.%--*i-„%!*=»'j^r""-^ 



quae est quantitas minutissima. Coefficientes ipsarum dp^^ atque dq^^j qui 
post allatos coefficientes ^ cos / atque — cos JT maximi sunt, valorem cir- 

citer 8' cos F ambo habent; quare, quum honim coefficientium combinatio- 
nem maximum integralis praecedentis ierminum suppeditare debere, mani- 
festum sit, pono 

JB = — -cosT, JEr = — cosP 

F= 8'cosr, JF'= 8'co8r 
hinc et quum in hoc casu sit 

l = a^ri = 0,0041 

*= 2~4-2y+a+i2 = 0,t549 

i=sinC5-80 

atque habita aequatore plano proiectionis 

r = 23- 28' 
expressio CH} suppeditat l?,''^, qui cocfQciens est maximud integralis 
2co»^r J 1^9 ft "df — ^Pftlt')^^^ lisdem numeris confirmatur, maximum inte- 

S^^^coPlJ^%r9ft'^ — *P//"^1^* coefficientem vix ad unam minutam se- 
cundam ascendere posse. 



Digitized by 



Google 



mm^ 



SECTIO VII. 



I^OLVTip PROBLEMATIS QVATVCR CORPORVM BREVITER 

EXPOSITA- 



1. 

JLheoriam planetaram investigtms problema quidem qnatapr plmrimnye 
corporum tractayi, sed aliiid*est probiema quatuor corpomm, cuius solutio- 
nem nunc suscipiam. In illo enim terminos per tempus ipsum multiplica- 
tos admittere licuit, quoniam series infinitas constituunt, quae per longam 
annorum seriem convergunt, quum hoc, si fieri potest, ita solvere proposi- 
tum sit, ut termini illi omnino non adsint. Formulae ad huius probie- 
matis solutionem spectante^, ,qw infra evolvepius, ita erunt comparatae, ut 
formulamm ad problema Lunae motus determinandi pertine^tium, quas in 
praecedentibus dedimus, casum generaliprem ponant, et, abscissis terminis 
ad ' quartum corpus relatis , has suppeditent. Praeterea , additis terminis 
analogis ad quintum, sextum, etc. corpus relatis, ex hac problematis qua- 
tuor corpomm solutione solutionem problematis plurium corpomm facile 
coinponere poteris; propter singularem vero huius problematis conditionem 
ex formulis ad problema trium corpomm spectantibus formulae problema- 
tis quatuor pluriun^re corpomm compom nequeunt. 

33 



Digitized by 



Google 



•— a» ■ - - 

Non modo massas quatuor corporum per ilf, m, m', m", e quibus M 
ad corpus primarium, sive ad corpus, circum quod relativi reiiquorum cor- 
porum motus invcstigandi sunt, pertinet, designabo, sed etiam quantita- 
tes reliquas, quibus utemur, iisdem litteris atque in Sectionibus praeceden- 
tibus, aut nullum, aut unum, aut duo commatis signa affigens, quo cor- 
pus, ad quod hae quantitates spectent, indicetur, denotabo. In hoc ta- 
men a significatione in praeccdenti Lunae theoria adhibita digrediar, 
quod loco quantitatum ny^ na^ nrj, etc. et similium ad reliqua cor- 
pora spectantium infra simplicius ^, a, i}, etc, commatibus debitis af&ds, 
ponam. 

Praeter quantitates, quae potissimum ad unum corpus spectant, quan- 
titates ad duo corppra relationem habentes aderunt, quae ita designabun- 
tnr, ut numerus commatum summae litterae aiBxorum indicet corpu3 ad 
cuius motum pertinent, et numerhs commatum imae litterae affixorum cor- 
pus alterum relationem habens. 

Et massae perturbantes , et excentricitates inclinatioiiesque mutuae in 
sequentibus quantitates parvulae primi ordinis appellantur, quod ita intelli- 
gendum est, ut hae quantitates non maiores esse debeant, quam ut serie^ 
infiwtae, in quas formulae nostrae, quotied applicantur, evolvendae suiit, 
coliv^gant. Incitinationem vero orbitarum versus planum proiectionis seu 
fnndamentale quamlibet et quidem quantU^a^em finitam esse, in sdbseqiieii- 
tibus non minus quam in praecedentibus supponitur. Brevitatis ciaussa io 
sUbsequentibus formulas ad corpora mV s^tque m" spectantes sftepe Buppres* 
sums formuias tantum ad m spectanted apponam, ex quibuS) mutatis 
quantitatibus omnibus, quae ad m . . . m' . . . m" spectant, 
resp. in quantitates ad ni . . . m" . . . m pertinentes, 

formulae pro m', et postquam in his eaedem mutationes factae erunt, for- 
mulae pro m" semper eliciuntur. 



Digitized by 



Google 



§, I. Expositio aequationum differentialium Jinitartm, equa- 
rum integratione problematis solutio pendet. 



Quum secandum praecedentia sit 

rigorosa ipsios T expressio in art. 16. Sect. II. data facile transformator 
in hanc ' 



T=c^-(*.0(ft) (2f cos(t,,-A)-l+2^^^^ [c«s(-^)-l]iC^ 

-H^-(-0(.)2:^sin(,-.)<f ) + (c.-i)AC^)-^^ ±^ 
Si yero ponimus 

et perpendimusesse 

aequatio praecedens abit in hanc 

Sed y^ et T aequatione innguntur hac 

_£L — rii + **'' ■** 
dt 

itaque 

dxdt - ^*^ ^^-^dtdt^^ ^^^dxdt^"^ *^+ df (n)(a)Vr:w'l dt +'^*' dtJ 

Si haec aeqaatio per c^ multiplicator, emergit, facili reductione fi|cta, haee 

33* 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



+ dFL^S-J+lfe?-*^ l--dFJ+ 4 rfF^^^Lrfi-J+Ol^'^^ L dFJ+«**=-t 

lam si atumadvertiinus esse -^ = 1 «^ vtO ' ^^^ ^^ ^^^^ ^^ praecedentes ^ 
aequationes in aequatione (1} substituerimuSy naqciscimur ad functionem X* 
deiermin^andam aequaitionem hanc 

cuius integrale est Xzizf^^ denotante / functionem arbitrariam. In art. 6- 

Sect. III. vero demonstratnm est, aequationis pro j-^ integrali respectu t 

loco constantis arbitrariae functionem 1 — '•b'\-ji(l — &3|-j-etc. addendam 
esse, quare nanciscimur sive f^ sive X — 1 — b-^-^^^i — 6)1+ etc. 
Quum vero fV in aequatione (1) contenta integratione alia eruenda sit, in- 
teger ipsius X modo inventus valor in duas partes, quarum altera ad in- 
tegraie modo inventum, altera ad integrale, quod ipsam W suppeditatu- 
rum sit, pertineat, ad lubitum distribui potest. Sit igitur X = 1 ea ipsius 
X pars, quae integrali praecedenti adiicitur: binc, si aequationem 

dt 
respexeris, aequatio (3} subministrat hanc 

i=i+»'+itobr^'f"+(»-«-^^*: --(5) 



et Mqoatio (4} hanc 

■Jf = «1-^ +- ^' -OZ7 "d^*^ J 

dr 

quae rigorosae aequationes sunt, quarum termini usque ad quartum ordinem 
in Sectione tertia evoluti sunt. lam reliquis in Sectione tertia explica- 
tb computationibu»^ quibus opus est, peractis, nanciscimur aequationes ri- 
gorosas has 



(6) 



Digitized by 



Google 






ID= C+ 



Xc 1 

2« 2 



ubi linea ipsi fV et quotientibus eius differentialibus superposita, ir in f 
sive 7 in ^ mutandain esse, denotat. Praeterea statim ex Sectione tertia 
habemus 

(8)...... «+. = ,„+ , j|+^;;^^Qgi:+^_^^„^.]j • 

ubi l denotat logarithmum hyperbolicum. 

Restat ut aequatio differentialis pro fV obtineatur. Quum q nec non 
Q^ sit functio solins yariabilis f, habetur per theorema Taylorianum. 

hinc emergit 

lam si loco serierum infinitarum et in praecedentibus aequationibus et in 
aequationibus (2}, (^5} atque (6} contentarum, quae omnes secundum ean- 

dem legem procedunt, ponuntur signa [Y]^ [^]> 1-7" |9 [(?)*] ^^^^® 

— — ^l^ hae quantitates pro furictionibu^ solius yariabilis f habfendae 

erunt, quae, posita r ioco g;, resp. in T, fF, ^, (9)? atqiie ^^^ tttlnfe* 
eunt. Quibus positis, aequatio (2) abit in 

dr 

et (5) atque (6) in 






2^c? ' ^ 
dz 



Digitized by 



Gobgle 



qtaram prior !n aieqoatiotM ■— 1=3 c^'^ *~fP snbstitata snppeditat • 

Substitutis his aequationibus in (9} emergit 

^ptae aequatio praeter coiistantes et - quantitatem S^ quae nec t nec ^ conn 
tinet, non nisi functionibus constat , • qiiae functiones solius v^abilis ^ cen- 
seri possunt, itaque secundum theorema^ Tayiorianum evoluta suppeditare 
debet 

+^ («)(a)w. ^f^ ^g^^-^- 

jonde seqoitur 

Substituto hoc ipsius F valore, nec non valor^ ipsius (Z) ex praeceden- 
tibus desumendo in aequatione — = (Z) — Y^ hanciscimur aequationem 
rigorosam hanc 

ubi brevitatis caussa a, n, e, q, X loco (a), (n), (c), (?)» (^ scripsi. 
In hac igitur aequatione quantitates a, n, e, (A) pro constantibus , q at- 
t|lie .X pfp limctidnibus ipsius c sim / et iUanim cOm^tantium , et t;^, r, A, 
nec non quantitates reliquae in Si contentaa pra ynriabilibus et quidempr^ 



Digitized by 



Google 



264 



fdnctioiiibHs ipsias f , qaae et explicite et implicite in iis conti^etiir, ha- 
bendae sunt. Perfacile praeterea perspicitur, partem dextram praecedentis 
aequationis, si terminos in ultima Dnea positos excipis, esse quantitatem in 



Sectione tertia -r- nominatanL 

dt 



lam per se manifestum est, aequationes differentiales Sectionis secun- 
dae longitudinem mediam perturbatam et logarithmum radii vectoris sup- 
peditantes ad quatuor corpora extendi, si termini ipsius £i ad quartum 
corpus spectantes restituuntur, siye si ponis 

(11)...... ^___|_+____j+__j_+ — — I 

quamobrem aequationes praecedentes , substituto hoc ipsius H Talore, ad 
problema quatuor corporum pertinent , et mutatis mutandis aequationes 
analogas ad corpora m' atque m" spectantes subministrant. 



3. 

Ad integrationem aequationis (10} sublevandam animadverto in Se^. Vv 
art. 6. inductione demonstratum esse, ipsam JV in omnibus ad eius verum 
valorem obtinendum instituendis approximationibus theoremati art. 9. Sect. IV. 
subiectam esse, unde sequitur fV induere debere formam hanc 

W :=z S-|.r(]-?-cos9)+f e) + 9^|-sin9 

ubi ^, T et V functiones sunt ab ipsa t liberae, et (p anomaliam veram 
pure ellipticam adiumento ipsius t computandam denotat. Habemus ig^tur 

dW ^ ^^" y I m ^^^ y -^ g 



dy V l-e» * Vl-e» 

Substitutis his valoribus in aequatione (10), nandscimiff post.con^ 
paratos terminos eiusdem fbrmae < : 



Digitized by 



Google 



26S 

e quibus, mutatis mutandis, simiies aequationes pro ^, — -) -^ -^, etc. 

nanciscimur, e quarum integratione perturbationes longitudinis mediae et lo- 
garithmi radii Tectoris pendent. Itaque quum praecedens ipsius fV expres- 
810 aequationi (10} revera satisfaciat, demonstratnm est, ipsam fV theo- 
remati Sect: IV. art. 9. demonstrato rigorose subiectam esse. Istas auteni 
qnantitates P, 9^, S^ quas, ut iam di]d, ad sublevandam tantum aequatio- 

num pro — , -^— , -r— integrationem introduximus , integralibus inveniis, 

eliminabuntur, ita ,ut statim ipsarum fF,, FF', fV" expressiones habeantur. 
Integrationibus his persequendis inserviunt aequationes (7} et (8} nec non 
aequationes anaiogae ad corpora m' et m" spectantes tanquam aequationes 
auxiliares. 

4. 

Ad perturbationes latitudinis versus plaivum fimdamentale, cuius sitos 
in hoc quoque problemate prorsus arbitrarius supponiturj et reductiohis lon- 
gitudinis ad idem planum investigandas ^asdem aequationes (33} jSect. I(. 
et earum similes pro corporibus m' atque m" habemus, si in iis expressio 
(11} ipsius i3 nec non analogae ipsarum Sif atque Si" expressiones substi- 
tnuntur. Ut in his formulis mutuae orbitarum corporum m^m'^ atque m'V 
inciinationes longitudinesque nodorum his respondentes introducantur, quo 
forma ipsarum iJ2, Si[ atque Si" computationesque omnes simpliciores r^d- 
dantur, idem adhibendus est calculus, quem in Sect, II. artt. 22. seqq. 
respectu generalis trium corporum problematis exppsuimus. Quum verO' 
orbitae tres trium corporum m, m', m" trla forment in 9pa^io triangula 
sphaerica, necesse est quantitates J, C&, ??, g?, -0^ prout ad hoc vel il- 
lad triangiflum pertl^eant, eo modo, quem in art. 1. designavimus , a se 

34 



(12) 



Digitized by 



Google 



266 

inTicem discernantar. Erit igitur nobis I^ inciinatio mataa orbitamm m 

atqae ni , I inclinatio mntaa orbitarnm m atque m* et T inclinatio ma- 

toa orbitarum m' atqne m", quae inclinationes etiam resp. p^r t ^ F , JT/. 

denotari possunt; erunt ponro 

jt, X..J. (anodoascendentihu-) > (usque ad nodnmaKcen-) ^ (cum planofnnda-) 

*' "«««•'•bitae m | i„8 orbiUe cum orbita } "* | dentem orbitae { "* | mentaliiediena, | 

^,f 

*'„ 

*' 

*" 

«," 






m 

m' 

ni 

m" 

m" 

m' 



m 
m 
m 
m 
m 



/ (anodo descendentihu- 
ias orbitae Gum orbita 



f m tn 

• • m 

. • m 

. • m 

. . ni 



m 

n{ 

ni 

ni' 

tn 



m 

m' 

m' 

m" 

m" 

m' 

m 
m 
m 
m 
m' 



(13). 



(14). 



demqne 

% = ^,+Z — o , %= ^I+Z'— o' , «P' = $ -l-jj'' — ©" 
^, =^,+z'-o', <=9^,+z'-«'", ^"=»^'+z-o 
<P„=^.,-\-X-'^^ ^>'=^-{-X'~o'y q;=^'^f—c" 

t. = ^„+r-«", ^' = ^'+z -« , < = ^:+z'-«>' 

lam quum nodus ascendens orbitae m in orbita m' ab eiusdem orbitae 
nodo descendente in orbita m' arcu 180 graduum semper distet, et eadem 
relatio inter reliquos nodos locum habeat, habemus aequationes conditiona^ 
les has 

q,—^=l80\ <jp;_^;z=180% 9)"— '0,^=180- , 
9>,~^-180-, y'— ^,= 180% 9; — ^;= 180- 

Quibus statutb , aequationes (41} Sect. II. abeunt in * 

^dl = smcp. — ^+coscp^— ^. — smw -^ — cosi^ — ^ 



C08I 



(15)~..~W ==cotgI,jco8 9,,^.-8ing>,^.)-co8ecJJco8^,-^-8m^,^,j 
Vt = cosecJ,jco8«)p, -^^-sin,,,^.)- cotg J, jco8i»,^-,ini>, ^j 



Digitized by 



Google 



e 
et 



qo 



nii 



Hi 



et 



Su 

9. 

nb 
coi 
ese 



Digitized by 



Google 



unde emargit 

Itaque quum inter duodeViginti quantitates P, ^ et £ hae novem aeqna- 
tiones conditionales adsint, in computationibus subsequentibns' non idd no- 
vem harum quantitatum considerentur oportet, et quidem has novem 

p„ 9„ K„ p;, p:, Jt;, p , 9% k 

eligemus. 

6. 

Compntatio in art. 25» Sect II. peracta suppeditat, posita a loco 
(n)a et ri^ loco (n^i^, 

f = «P, + §cosiJcos(iV,-.,) + (^+f )BinXJ,8ia(iV,-0 

dt~ ^' '^y.dt' dtJ 

unde, substitutis aequationibus (15), elicitur 

^ =z-ap,-cosf jJco8H,-^,-8inH, -^-cosG -^+sinG -^{ 
dt *^' * '( 'cosidt ' cost dt 'co^fdt 'cosfdt) 

^= „P+cosfJJsinfl,-%+cosH-^-8inG-%--cosG--^| 
dt ' ' '^ '{ 'coatdt 'coaidt 'coafdt 'coafdt) 

Air i [ft««8^,+^,8infl]-^-[Osinfl-Pcosfl]-i?5-j 

""■■ "^" in ■T" •»• sec A \ 

"^ ' "" J+[OcosG+PsinG]--^-[psin(?-PcosG]-^ 

\ ■■^' ' ' '^coifdt "-«' / / .'^cosfii^^ 

ubi bTevitatis oaussa 

(18) H=<p,+N-v,, G=^,+JV,-.r, 

soi^si, et e quibus mntatis mutandis nanciscimur has 



Digitized by 



Google 



?i!!= «•+isecJ/{ .„ ■ ^. i 

«= .-p'+.o.ir|.i.fl-^^+c.jrJl,-.i«<r^...G-^j 

,„, ( [p-«»H-+P-.taHl^-[e-.u.H--i'c<»H1jj^ 

Quae aequationes monstrant, noTem quantitatfis P^ ^^, K^^ P^^ etc. e sex 
quantitatilSus p, g, p', etc. pendere, quamobrem inter illas quantitates tre» 
aeqoationes conditionales existere debent. Quas eruamus ante omnia opor- 
tei Multiplicata prima aequatione praecedente per factorem indeterminatum 
a^8ec|J, secunda per 6 sec^J, tertia per^c^cosf J , quartaper a^^sec^l^^, 
quinta per 6'sec^ J|, sexta per 4c'cos^J^',, septima per a sec^J, 
oct^a per V sec ^ J' et nona per 4c' cos ^ J', 6nmia producta addantur et 
cocfficientes ipsarum -^,, -^„ -^,, etc. singuU cifrae aequaleg sta- 

*^ COSldt' COSKW' C08I di ^ 

tuantur. Quibus factis, nanciscimur septem aequationes has 

+<^W)«cxr+6'C^-«'p')secir+4o'(;^-Oc.,xr.) 

(n=^-a^ cosH, +6 Aa H +c, [9, cosH, +P sin Hl+o'cosG'-6' sinG'+c'[^'co8G'+P' sinG'] 
0= a sinH +6 cosH -c f O sinH -P cosH]-a'siaG'-5'cosG'-c'[9'sinG'-PcosG'] 
0— a, cosG, -5 sin G, +c; [9, cosG, +P sin G,]-a>BH;+6>infl;,+c;[9>sH;+P;sinH] 
o=:-o, 8inG,-6,cosG -c, [9, sinG,-P, cosG,]+o;sinH+6;;cosH-<[9;sinH;-P;cosH] 
0= o^cosG^-ft^inG^+iJ^^^p^osG^+PsinG^j-a^cosH^+fsinH+c^^p^cosH^+PsinH^ 
o^-c^inG-ft^cosG^-ciO^sittG^-PcosGl+o^ainH^+A^cosfl^-c^^^Biiifl^-PcosHl 



Digitized by 



Google 



Quodsi sex quantitates indetermiaatae ex. gr. a, 6^, a, b'^^ a y h\ eliitli^ 
natione functiones reliquanini triuni e , c', c ex ultimis sex harum aeqna- 
tionum factae in prima aequatione substituuntur, htec forBMHI iiiduitb^ 

= ^c, + Bc;^+ Cc' 
et propter indeterminatas c , c'^ , c statim suppeditat 

ji =i o y JBmo, C=i 

^uae requisitae sunt aequationes conditionales. Eiiminatione instituta, facili 
opera inyeni 

a,8ini(G +G'„ + G'-H-H'„-H') z=c,P cosf (G, + G'„ + G'-H.fl'„-fl') 

-c'„[g^„8mf(G'„-G, + G'+H-fl,.H')-P'„co8KC^'„-G, + G'+H,-H,-H')] 
'+c'[g'8ini(G,.G'+G'„+H-H--H;) + P'cosi(G-G'+G'„ + if-H'-H;3] 

6 8ini(G,+ G'„+G'-H -H'„-H') = c,p,co8^(G,+G„+G'-H-H'„-H') 

+<,[Q'„co8i(G'„-G'+G'+H'„-H,-H')+P'„8inX(G'„-G, + G' + H'„-H,-H')l 

+c'[Q' co8i(G,-G'+G„+H,-H'-H'„)-P^ 8in|(G,-G'+G'„+H,-H'-H'Jl 

e quibus mutatis mut^ndis analogi ipsainm i/^^ b\^^ a\ 6^^ yalores emergiuit. 

Si habita ratione aequationum (t^3 ^^ C^^}) ^^ ipsarum a^ 6^, </,.^, 

etc. valores in aequatione (l^) substituuntur, et breyitatis caussa sta^ 

tuerimus 

iCG'-G\,+G, +^--^'„-^0 = («'„-a'-,^, )«+»,'„-/ +K, =. L, 
f (G, -G' +G'„+H, -H' -H„) = («' -«, -0+"' -n +«'.= ^'. 
f (G'„-G, +G' + ff^-H. -H') r:. (a, -«',,-1^' )«+»», -».'„+ JT = L' 

unde 

f (G,+ G'„+G'-H,-H'„-H') = K,+Jl'„+jr-(i?,+V„+i^')* = J&j+r^+r 

aeqoationem nanciscimur hanc 

. " = * i^- '«'1«»^ »^' ML+L'„+L')+\P, ^ +p,f J8eci/,co8(Ji,+l,'„+r) 

-|^.^-Q.^-«i^A+Q,Q'Jl«ec|r,>ji' 

^Pf-^+^^-^+-'iP.9'-9r]\^^-iI'oo,L',, 
+i^'T-<^'^'«'t^'^+«'«lH*^"^*« 



Digitized by 



Google 



m 

pt praeierea daas alias aequatioifes, qoas, qaum mutatis mutandis ex hac 
inTeniri possint, adscribere non est optis. 

^ae tres aequationes a se invicem independentes requisitae sunt. An- 
notandum est eas reUtiones pure geometricas inter quantitates P, Q^^ K^ 
f^, etc. constituere et locum habere, quibuscunque relationibus ' mechanicis 
hae quantitates subiiciantur. 

7. 

' Computatio, qua in Sect. II. artt. 33. et 29. p atque q primum in 
functiones ipsarum J, q) atque '^, et deinde in functiones ipsarutn P, Q 
atque K convertimus, in quatuor quoque corporum problemate adhiberi 
potest, unde statim habemus 

*= ""'v^lC^)-^*^-* Cf )4i5i7,H[''-'''-'''-t'''-''M* 

+-'v=lC-f)-i''-GfDj^!-[«-'-«'-f«'-^M* 

+-'v=s!Gt)-^^"- aBi^}'" ["-vK.-cvOi* 
'^=:-"v==!C5l)-H-C-S)4-^H['-v«,-c«,-»,M'« 



e qv 
dp'zz 



Digitized by 



Google 



— •v^iC^)-.i^:-C^)4-^.i-K-:-K-(«:-^'M 

+«-''v^JC^)-'i^>C;^Dfi5k'i"'"f^-*--*--f''"-''-''J* 

e quibus etiam mutatis mutandis aequationes pro dp" atque dq" deiiFaii 
possunt. Substitutis his ipsarum dp^ dq^ dp atque dq yaloribus in aeqya- 
tionibus art. praec. valores ipsarum dP^^ dQ^ atque dK^ per illas quaatita- 
tes exprimentibus , elicitur 

dP, ^ an ifdSl ^ TT X r ^^'^ P* ) TT 

-7§7JC^)-»i^.+ C^)4^,Hi^-t(W+^J'+',W«J 

-?=!C^)- «.- C^)4i^H«™ttw.+'»>+'.-.+«.-«J 
-vis(C£)-i^;+C;^)4-i^.i«?"«-K«-«:^'+i>+'-'':+*'-« 






*9'_ „ pj._°«_(r'^^"^ ,. i r r '^'** "^ Q' 1 II 

+?S^!C^)-sX/-(^)^_J|_}cosXJcos[(«^^^^^^^^ 
"7i?lC^)-t^«+C^34l5k^'*^^^'"*'-«^^^^^^^^^^ 

+v^!C^)- t^';-C^|^)4Jfc!-H-t(^^^^^^ 
=ilCf^)- i v+C^)4-d&!^-i^'»^(''->^'+'?>^^^^ 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



m 

Qnae aequationes statim monstrant S esse quantitatem secwidi ordinis, iidem 
enim termini ipsius ^ in — per e flrrisi continentiir. Qaom igitor eToln- 

iae quantitatis^'cos9-|-^e maximas terminus sit cos y et eToiatae qnan- 

• ' ' . '"'.i* *;"'' ' :"i "'."•■■ v: . ' < . ' 

titatis -^'sincp maximus terminas sinv. habemas, si non nisi temunos pri- 

nu ordinis respicimua> « 



porro 



-'■ ^ \ : n: 



nam otenes reliquos a^qaatibnam (7}'et (8} temunos ad minimnm secnn- 
di ordii^ nebeaitario ^se debere',~ex praecedentibns taicUe reperitor. Ex- 
pressio 'praecedens ipiias W 8niJpedit«£ > ' (^ ' 

W= Tcosg-i-Vaing 






hinc 






r{Vj i 



TdT fdW 

Sj^ f^cile .p|Bn||icitar, terou^p^^ harpmt expressionum sub aigno integratio- 
nis contentos ordinis massamm esse, itaque omitti ddbera , Habemus ^jtiU^ 
in hoc calculp 



fUffi ;= Tmkg — Wcosgy w = — *f JPcosg^-j— ^ ^f&^g 

ipe 
d^^faiteirilui' 



quarum ope nequatio iS^e^^u^+^ suppeditat S^+azz o, et eodem mo- 



, n'«ar = r sin/ -^ #* cos jj' „ to' :;= — | IT cpsg' — f ST wng', 

qui valorea^ ai^u^ti^pilbw pcfjOcedetitibM ^*9^ ^ slibstituendi 

tunt 



^ w i , ^ . ■ 



Digitized by 



Google 



m 



%Qnc seovitur. i2 In seriem }nfInit^Tn ^ttl^ 'tibsfi^: 'cuims t«rmmus ire- 



Digitized by 



Google 



:^<iir_-L^.:z:l)iyb; >'ljv"d.i*'^i...:. A .. J" 



nbi '-■ ( ^ "•)• " • ■• 

\i,t%r,i"l = fc,4-*,^*+V+*4«n'i'<+iisC*+fc6e"c"'4-etc 
vH^lt^ l^y let^ fnnadone^ iant iioiiiasdiim^ maiovvtti a atque c^ ettindio 
»^ i^^ ete.^ AiV A,, 'O^c^ vero fonotionQS seanaxiwn nmiorum a atqae a' iat 
faidkiifli' J, {^9 et<&^J ><kt ambigaa eocponenlMD» si^na semper ita «nmenda 
stfAt, tti expjmens -^iradat posititva. ' Quae ezpreesiones ante omnia moni' 
iib»lt^«qiH4iente8» diffbrmtiaks ipdm J^vespecta P, Q^^eie, ad minimam 
per sin^i multiplicatos , itaque primi ovdlnis ^e, quare ,et qoam dPj^ 
dO «;«etc*4p^e sjnt priipi ordinis, sequitor tenninos aequatiQnunji £20} JfPf 
dl'^,., etc. mi^tiplicatos termijnos primi ordinis proferre non posse, itaqae 
r^iiciendok ^sse. 
H'^ iam t^yertahiar ii|d pnipo» oeqiat&MU^ hos 

Qamnt faaecottxfflressao per edivisia^^iel>illa:tespecta edifferentiata sit^ l|9miini 
Moindt i?^rdinb ^ JfiM, ^ iJ2i terminoff ptimi ittrcBn^ i ia hb expresaionibas piOr} 
dnamt^ iliida poBoie.^siamqs >> ]) m« • ' <* 

SeA ^^ttum^t^nmim ini^agandi at> ipiis J^, g' .^t g** liberi^ esse debeant, ne- 
ce^ya^o J^&e^^^deb^l^ I =^ o aique r=: o, [imde sequitur' aequatibnes praece- 
dentes ona exbtere non posse,'^ itaque ialem tenmnumin Si locum hon 
habere. Hinc conclitfitmr( nii^ jteimiidB-onmibaS' ^ndagandis esse ddbere 

r = o, onde sequitar aat, ... 

I — t zi: O, t +f = O 



ant 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



281 

- 4aii • a -^^^^^'8ing+4€m|i50,o^o^^^8iBy 
+ 4an • a ^ ^ " c6sg'lian\\ ,o,b,o|^^co8g 



nec terminos -^(^^1 ^^^^ i^CdO ^ coefficientibus ipsius w contentos 
ad quaesitos terminos quidquam addere posse , facile perspicitur. Eodem 
qiMo » s^i^ra.^mpdQ. cpi|clu4it}ir i^ ^^^uati^num. (20): coefficientibus ifiy^airuin 
vlds! atque w' ante omnia esse debere i = o atque S —^l^ jqpiati^|^8,.ajd 
priorem ipsius i2 partem^pertineant, poipro 

unde i^^zzrpl sequitur, ita ut i" — ^i borresp^nd^t' ipsl l^= +^1, it 
»•= + 1 ipsi i:=2r^i. Hinc elicitur 



(Qrr 2e|o,i,-.i,o|^co8 [g'— (y-^'--2i2> + 2*] 



et 



s 

^^^0^^) = ""^^ fo,i^-i,o$.8in[g'.(y^'.2i2,)«+2*] 

\ 
quibus coefficientes ipsarum niz atque w' planc; similes sqnt. Hi suiit 

termini quaesiti,^ r^liqui ^utem aequationum (20) termini altioris ordinis^ 
genensye ahus sunt. , vj ^ . . .f, — 

36 



Digitized by 



Google 



11. ^ 

)flLnt^iiaiii coeffidentimn in art- praec. inTeqtiinim Takpits tn aet^nfMllo* 
nibus (203 substituimus, ex re est relationes, quae inter hos coefficdentes 
exist^re debaant^ ImreBtigare. Habemns 



p« cf)-?0+^<^ 



et maximt alque aid propositum noflninispectentes termini ipMdrnm ^ et -^r* 
sunt hi 

Quodsi ponimus 

CdSir\ d|o,^o,of, 

el euiidem terminum in' dexlMl aeqiiatlmiis praeeedeiitts ttiendbro tcqprodlr 
cere Vofatnlms, ponenda tisi 

Si = ^o,o,o,of^+ae^i,D,o,o|^oosg' 

alio enim modo terminns iUe~ reproduci nequit fiubstftutis yero hla teIo- 

ribua in aeqnatiwe (Zt}^ naociscimur 

d\o,o,o,o], _ x^g dloyO,o^l, ^ ^ ^|i,o,o,o|/ 
de ^ da da 

Posita porro 

Cd^) = 2|i,o,o,o|^cos^ 

quae non minus quam illae conTenit cnm generali Ipsins Si forma supra ^ 
aUata, eaedem aequaliones praecedentei submlnistrant 

^c ) d\o^QiS>^\, 

3|i,o,o,o|^=^a ^ - ^ 
unde 

- <^,0,0,o|, t 9 • d\l^Op;fi\, 

^ -''••••• {et eodem modo inyeidtur * 



Digitized by 



Google 



Aequaticmi (21) gimilis ert haec 

qoare^ si ponimas 

(^ = 2e^o,o,i,of,c(»[Cy-y-H>+»J 

qnae cun generali ipsius Sl forma conTenit, in dextro aeqaatioms prae- 
cedentis membro ponendae sant hae 

a - 2c|o,i,— i,o|,co8[g'— Cy— y^— 2i2,)«+2iJ 

at ilie lehiiiitts t^eprodaci possit, qai alio liiodo oHiiiiiio «eprodaei uttftAL 
Sttbstitatb yero his aequatioiiibas inTenitnr 

|o,o,i,o|, =^^o,,,-.,o| ~i^^^' 
eodemqae modo 

>o,i,ot=^lo,,,-i,ot-i««^l^^^^ , 



(23) 



lam substitatis co^cieatiofli in art praeo. eTolatonim nec non ipsa- 
nun ndzy w, etc Taloribns in aequationibas (20), omissbqae post sub- 
stiitationem tenminia per gitt 2gi cos 2^, sin 3^^, «tc. moltipficatis, qoia 
alias generis sunt quam quaesiti, nandscimur propter aequationes conditio- 
nales (22) et (23) 

^= ilf-9rP„) ^ +tf,(9^+2«^)syi[(y-y^»9,)f+2* l-a^^P^MCa^y-iiyJf+^*,] 

+d,Xr'+^e>in[(y-a^''-2u,)f+a*;,]- tf,,4''cos[(y-y''-2t)«+2ifc„] ^^^^ 

dV K^*> 

^=Myi«r(*.)(We)+<J,(r'+2*')cos[(j^3^-2.2jf+2*J+<J,!P'sin[(yy-2i?,);+2tJ 

2an ^o,o,i,o|, = <J, , 2an |o,o,o,of ^, = tf,, ' 

Ex his aeqoationibus nanciscimar, mutatis matandis, aequationes pro -^, etc. 

36* 



■ - \ ,- : - 



Dlgitized by 



Google^" 



i ■ '.^"^ ■ 'm , / *«• x" ' ,' -^' \ 

ReTertainur ad aequationes art. 7. pro -^, etc. Primo oculorum ob- 
tutu perspicitur -^ esse ordinis secundi, itaque in hoc calculo omittenaan:i. 
Quum ipsius iQ qu6tfei^t^s diffete)iitale3 respec^ P , <p/, ^c. e quotienti- 
bus differentiklibus respec.tu ipsarum /, iV etc. p^ndeant, in generali 
ipsms Sl expressione pnmum pommus , « 

I zzitzl, atque • — I — I — o, i-4-t — f — o 
quum vero in terminis quaesitis etiam esse debeat iziio atque i—o^ ae- 
quationibus praecedentibus satisfieri uon potest, unde concluditur t^rminimi 
huius forp^ia io ^^ A0ft)a4^sse. , Bestat ig^tur .fo^ui^odA^^tt^ijp^DAnim . 

nnde ,« i ' , 

sive , 

ifi z= «4 «n"^ a J^, + «*c. + 7i4 sin* ^ /, + etc. * " ''' 

quae, quum sint P/ + 9/zz ^sin^^j; et P^^ + p/ = 4sin*|l^^, abit in 
.., . . •r^>-^X7^p- . f;^:V-ii7 O'^*/"— l~iftP ';.....:;.u;!. 

Omi99is^ igUnr teriiuii& seciuitU.et altjo^ordlinfi,. andiB copstantfis.ft,,: i^, 
etc. loco Ky, £., etc,.ponere et coa,^4^, <«tc. onu^tfere nobis licet, aeqoa- 
tiones art. 7. suppeditant .,, , 

l^p ■■ • ' ■•' ' '■ ■■'■ ^- ■' ■• ■- ■■•.- , -■'■-■ - ' •' • • ^ (.>;-. V.!---,v' 

ubi breyitatis caussa posi^ 



Digitized by 



Google 



.' >'> ■ > 



Digitized by 



Google 



ipsas /,, iV^t etc. loeo P,, p^, etc. tiifoodacere. ^^nlbus JfacitiB,. Mqmtio- 
nes nostrae conditionale» , postquam prima per ^tois^IJcoa^I^dti Becim- 
da p«r ico»iI coa^ I"dt et tertia pcri^cosf J,OMf IJrfl mqi^lkdBi.es*, 
ita se habent i. ; ^ " 

o==2coBf/,co8irco8^/"8in(i+li>£')(caC,-iiclf)+8in|i,co8|rco8f 

+ 8inf/'co8irco8i/WA'r^.+^0d/>28inf/,8inir^co8i/:'sin(Ai;-itf:+L^^^ 
+ anlIco,irooaircoaiM-M,+Ll)dr-2amil^^^^ 

0=2 co8§/,co8ir cosf r sin^L^+r^+r-^^dK^-ij:!») + cosf / 6in|r co8ir'cos(ii,+ r> £")€«: 

+co8f/,8inirco8i/''co8(3r-AI+r)d/''+2cosfi;8m|r8infrBin(Af>ilf'+i,j^ 

+COB i /. sin i r C08 f rcoaiM-M'^+L')dI - 2 siii i/, sin f r cos ^ r sin (M,- iMT +^')(«^,+«,dO 

o = 2 cos § / cos i /; cos i /' 8in(L,+ r+L^^^dJT-ij'*) + cos f / cos i r sin f r co^ ^1^+ 4+ X') dT 
+co8i/,co8f/>inirco8(iM'^,+X:)d/,+28i|ii/,cw^r8inir8in(iir-M,+L;)(c/ilf,+ «,d#) 
+co8f/,co8ir8infrco8(ilf-iir+L,)dr-2co8i/,8inir8inir8in(ilf-ilf'+X,)(dilf+«>^ 

ubi brevitatis caussa posui ilf, = iV, — v,, etc. MuMpUcata hamm aeqna- 
tionnm prima per tg -J /,'tgf r sin (itf^ — M" ^- L^')^ secunda per 
tgi/,tgir8in(i»f'— 4f.+ iD et tertia per tgf /tgir 8in(itf,— iir+L*), 
evadit, additb productis, aequatio haec 

0=2 cosf /,8in K aair 8in(itf >iir+L,)(dK,- ij^cft) + sinf /, sin Ksinjr^O^ljiir.-iir+L ) d/, 
+28ini/,«wi|/:8infr8iB(ilf'-itf+L:XdK:H?:d0+8iBf/8tefr8liiircdB(ir~il#+X^^ 
+28in§/,dn|rco4r8in(ilf-iir>/i')(dJr-Vdt) + 8iit^/8raf/:rfnfJrco^M-iir>^ 

Quodsi nunc haecce aequatio a praecedentium.jii9%iiii;^ilOB «Midltio^ 
naiium aggregato subtracta erit, nanciscimur propter aequationes has 

dL, = Ca:-<t'-^.)dt+dK, 

^ «l: = («'—« --1^3 tfi4-dK: >. ; 



dL' =i (o — ft^^i^-^dl^-djr 



:ii 



;i- . > ■ ' . - ......;,, iJM, , ^ : '•-: ... t>*4): 



«kf f j^atioaem, hai^c 



,,i.;hi' .;l: . KjfU filjl) 



Digitized by 



Google 



o = 



= 



o = 



Digitized by 



Google 



o = dX,+[co8f/smf/>08frc^-8bf5^I>mfl>m 
( * U.2Bm^Jsmirce8^r8iHC^^ + 

• +[dosi/,cosirsiB^rd/-^^8m^/smir8m 

{ ^^ H-[ciosf/^smfrco8^rdr+coi^rcoBfrsinfr^^ 'i 

( ^ ^ +2wsi/>si/co8irsm(L+L>r>CdK:-i?:€ft+d^ 

^ ' ubi dX^est fnnctio ignota, quae ita detennihanda €^', ; ut liaiec aeqaatio* • 

i^vo^ locnm habeai, aggTegatum'' ex fiac et prima aeqnatione condi- 
tionali formatum per se integrabiie est, et integratum ii|tegrale sup- 
^peditat hoc ' • i ' • 

i ,•...;-•-..-' : ^.. ' i+asin^/cos|r;iinfrco8(iir-if^+x;^*^ 

ubi cpnstantem non :a^eci, qula in. foactione X, cohteii^ q^n^jir;^ piptest. 
Eodem modo siye mutatis mutandis duae reliquae aequationes conditionales 
subihinistrant 

o = X:-2cos^ I cos^r cos^r cosCL+Ir^+i^^+acosl/^sin^/sinlr cos(J^;j-^^ 

+2sinf/ sinfr cos^r cosrM-M'+L') 
or=:X^-2c(isf/cosii:c6sircosi[i,+Jt>Z7+2sinf/co^ 

+2ooB^7sm|ri^rfnfr^s(Jlf:-JM-'+i> 

et 81 aequationes ' conditionales praeter integrale (26) adhuq dup int^g^-^ 
lia reviera habent, functiones d^^^ dX^' atqu^ dX*" necessario qi^rentialia^ 
perfecta esse debent. Combihatis praecedentibus integralibus cum integrsdi 
(,; . (^6),^ aeqiiation^.facile dcriyantur hae/ ; ; * ',r> * : l . i ' -^» i 

i> '^ {^ ( ^' oz=^ X'~2^2.cosf/rinir8ih^r^(M:-Jir+jt^ > ^ 'i^ r 



o — X: — 2 — 2 sin ^ /cos \ T sin^ JT cos (M' 
(27)...... i ' ^ ^ jr-i- 2sin^/^inf J&sirc^^ 

o .= X + X + A — 4 — 2 cos i /cos ^ / cos i r cos (li, ■ 






e quibus emergunt 



Digitized by 



Google 



289 



2cc 
Sul 

0= 



qaii 

dX 

qua 
nan 

= 



qua 



qua 
pro 

der 
pra 
Aet 
clu 
tes 
pra 



Digitized by 



Google 



denotantibus Jl^j AJ^ A' constantes. Substituta hac expressione nec non 
analogis expressionibos pro X/ atque X" in tres posteriores aequationes 

(29), postquam quotientes differentiales -r^^ 'AiT^ "Aik ^^^^ aequati 

sont: elicitur A^inA'^ — A"=ztj unde denique 

X = sin^ii +cos^ir+cos^ir 

Qno ipsius X^ yalore nec non yaloribus analogis ipsarum XJ atque X" 
in aequationibus praecedentibus substitutis, magnum nanciscimur aequatio- 
num numerum, quae tamen non nisi tribus a se inyicem independentibus 
aequiyaient. Eiectis quarta aequatione (27), differentia duarum primarum 
aequationum (28), et secundae tertiaeque aequationum (27) aggregato, 
habemus 

)o=2cosi/cos^/>osircos(L+r + r)-2 + 8in^f7+sin"^i; + sin^^r 
0= cosil 8in^rsin(JII'-M,+i;)-sinir cos^r sin(M,-i»f;+r) 

0= sin ^ / + cos^r sin ^r cos(Ar-ilf +//;)+sin f r cos ^ /" cos (ilf - iW;+L') 

quae sunt integralia simplicissima aequationum conditionalium in huius ar- 
ticuli initio allatarum. Restitutis adiumento aequationum (17) Pp Q^^ P/, 
etc. in praecedentibus aequationibus , emergunt 

(31) 0= 8cosi/cosir cosKcos(L,+/:+r)--8+p;+9;+p;^+p;^+F 

o = ^(p p^+g^ g') sin /; - (P g' - g^ p') cos l} cos| /; , 

--liPPl+gM)^^^^^ 
o=p;+p;+KP,i^+9,9')cos/.:+(P9-9P)sinr|cosfr 

+ K^,^:+ft9:)cosr-(p^9:-9P:)sin/|cosir 

Multiplicatis et harum aequationum secunda per g^ atque tertia per P, 
et secunda per — P^ atque tertia per g^^ emergunt, additis resp. produ- 
ctis, hae 



(32).. 



fo = P^+cos f r P' cos /: + cos f r g^ sin L^ + cos ^P P^ cos L - cos ^P g^ sin L' 
= p^+cos^r g' cos Ll — cos ^rP'' sin L^ + ooi^r gl cos L^+cos ^I' P[ sini* 

quae una cum aequatione (31) rigorosa et simplicissima aequationum con- 
ditionalium art 6* integralia sunt. 



.Digitized by 



Google 



Hae aeqnatiofiea condttitiiiale» ad problema plttiialn corporuin perfa- 
cile extenduntur. Ex forma enim earum art. 6. aequationum, e quibns per 
eliminationem ipsarum dp^ dq^ etc. aequationes conditionales inter differen- 
tialia ipsarum P, Q^^ K^ etc. emergebant, perspicuum est, in problemate 
plurium corporum easdmi aequationes conditionales locum habere et prae- 
terea omnes, quae fieri possint , reiiquas corporum m , m\ etc. temas com- 
binationes simiies aequationes conditionaies suppeditaturas esse, quae tamen 
non omnes a se invicem independentes sint. 

Quibus aequationibus integratis, eadem integralia (31} et (32), nec 
non simiiia ad reliquas corporum m, m\ etc. temas combinationes spe- 
ctantia integraiia habemus, quae etiam non omnia a se inyicem indepen- 
^entia sunt, appiicationem vero faciiiimam admittunt. 



14. 

Difficilis fortasse e^set aequationam (24} et (25) integratio, si i}^, i/^^ et i/' 
a se invicera independentes essent, sed perfacile p^citor, si hoc in usom 
vocatur 

T h e o r e m a: 

Quantaecunque suni iudinationes muiuae^ modo valores earumper* 
turbati periodicae temporis functionea^ UmitAus quibusdam circwnclusae^ 
sive functiones temporis sint^ quae terminis per tempus ipsum multipU'' 
catis careant^ rigorosae aequationes hae 

semper locum hahent. 

Demonstratio 

huius theorematis ut obtineatur, resumo aequationnm (30) primam) qnam' 
ita exhibeo 

2cosi/^cosi/; cosf PcosCL +L; + r) - -l + cos'i/ + co«*^r + cos*ii'' (33) 

Facto cos (L+X»;+Ir") = 1, haec aequatio abit in 

2cosi/cosfjrcosir=— i + cos'f/+cos*fr+cos*jr 

qnae facile reperitut esse perfectum quadratnm, cuins radix est 

37* 



Digitized by 



Google 



aat co^ f /, = cosiildzl') , ant cos^^Il = cos^F^I), wi cosf r=co»|(/±r ) 

qoae aeqoationes in unica continentur aeqnatione hac 

orrJirdzr 

ubi signa superiora et cum superioribus et cum inferioribus reliquis sigiUs 
coniungere licet. Facto cos(L, + L'^ + i*^)=:^l5 emergit 

— 2cosf Jcos^rcosfr'=— l + cos^|/ + cos^jr + cos'jr 

quae 

aut cosf J = - cos^( r^: J"), aut cos^ J^'^ = -cos^( J^rt: J ), aut cos^i" — -cosf ( J±: J' ) 

suppeditat, quae in unica continentur aequatione hac 

180- = iJ+ii:,+fr 

Hinc sequitur, cos ( L^ + L' + L'^) inter valores +1 atque — 1 oscillare, si 
per virium perturbantium efFectus inclinationes mutuae omnes, qui fieri pos- 
sint, yalores deinceps accipiant, itaque arcum i +i'+Jr'' totam peripheriam 
perlusti^are. Sin autem inclinationes mutuae functiones temporis sunt, quae, 
limitibus quibiisdam circumclusae, omnes, qui fieri possunt, valores acci- 
pere nequeunt, eaedem aequationes monstrant, cosinum arcus L^ + L+L" 
inter valores maximos et minimos a + 1 atque — 1 diversos osciliare, unde 
sequitur arcum X + 1/' + Jf*^ totam peripheriam percurrere non posse, sed 
inter. hniites quosdam etiam oscillare debere. Ergo quum 

et t]^^ rj^' atque rf ita determinentur , ut in ipsis K, KJ atque IC termini 
per tempus ipsum multiplicati desint, necessario esse debet 

Q. E. D. 

Praeterea quum indoles quantitatum JL^, KJ atque K" per aequatio- 

nes (16) explicata ex inclinationibus mutuis non pendeat, constantes arbi- 

trariae fe, k^ atque 1i integralibus fdK^^ fdK'„ atque fdK" addendae 

etiam ab inclinationibns mutuis independentes ^sse debent; positis vero 

J — I' 1=. r — o in aequatione (33) sequitur L^ + LJ+ L" rr o, unde 

necessario esse debet 

h+h,; + k^ = o 
Q. E. D. 



Digitized by 



Google 



Qauin quatuor res quatuor admittant tema& combinationes, secundum 
ea, quae in fine articuli praecedentis protulimus, in probiemate quinque 
corporum habemus aequationes has 

% + i„, + n"'=Oi fi\^ + ri'\,^+r);=o 

et quatuor similes inter quantitates h appellatas, utrumque vero harum aequa- 
tioniim systema non nisr tribus a se invicem independentibus aequationibus 
aequivalet. Prima enim aequatione ad tertiam addita, subductaque secunda 
et quarta, aequationem identicam nancisceris. 



15. 

lam ad aequationes (^4) et (25) integrandas snppono inclinationesi 
terminis per tempus ipsum multiplicatis carere, unde aequationes locum 
habent hae 

^+i.+n-^o, *,+*'„+*" = 

Si, integrationibus peractis, tales inclinationum mutuarum valores evadunt^ 
haec suppositio legitima est. Harum nec non aequationum ij^ = — r(, etc, 
k^ = — £', etc. adiumento aequationes (24} earumque similes abeunt in has . 

^= (y-^-f*„) 'P +6Xr^+2e')smiht+2k)-6^^cosiht+2kY 

-C ,(r "+2e") sin ih't+2k') - tf , W cos ih"t+2k) 

^ =- (t,-ii^-iiJiT + 2e)+6iT'+2e')coiiht+2k,)+6,T'smiht+2k,) 

+ ff ,( r '+ 2e") cos ih"t+2k') -, 0„ W sin (fc i +2k') 

dV 

^= (y'-p:-f*') '^ +6:xr'+2e')smih:t+2k:)-6:u^"coaih:t+2k:) 

- 0* ( r +2e ) sin iht+2k)-6f W cos iht +2k) 

-;ir= "^'~f'"f*'^(^+2^'^ + < (r+S/jcos^^^+Sfc^ + c/rsin ih:t+2k:) 

+ (?' ( r + 2e ) cos (A < +2* )-&W sin iht + 2k)\ 
dT" 

— = (y'-ft"-ft;) V +6'iT + 2e)sinih't+2k')-6'Uf cosiJiU + ^k') 

-0;(r+2e')sin(/»> + 2t;)-<'F'cos(A'/ + 2A;,) 

dW 

— £:-(y'-(t'-p;)(r+2e')+o'(r+2e )cos(A'l+2*')+a' 'Fsin ih't + 2k') 

+ o;(r + 2e') cos (ft;« +2*;) -< *f' sin iht + 2*;) 



(34) 



Digitized by 



Google 



(35). 



(36). 



294 

ubi bEeTitatig. caassa scripsi 

y'—y — H. = K 

e quibus prodit h +h' + h' = o. 

Quibus positis, facili substitutione manifestatnr , his aequationibus dif- 
ferentialibus Talores variabiiium satisfacere hos 

T + 7e = 2e|co8 D +2e'8cos(A<+2fc,-I>'.) + 2c'/cos(A'*+2*' + D') 

V = 2e| sin D -2e'ssin (/i,l + 2*-iy) + 2e'/ sin(A'* + 2*'+D') 
T'+ 2e'= 7e'^'cosD'+2e'a'cosih'j+2k;-D')+2ef'cosiht+2h +D) 

V =z 2e |'8in L^ ~2c'»'8in (A>+2*;-l>')+2e/'8in iht+2k +D ) 
T" + 2e"= 2e'i' cos D + 2e »'cos ih't +2k'-D)+ 2e'/'cos ihj + 2*; + IX ) 

V = ^e^tsinD^-^e ssiaih^t+^k' -D) + 2e'f smih't+2k[+Dr) 

si coefiBcientes |, «, /, etc. et y, t/ atque jf' ex aequationibus determi- 
nantur his 

o = (y _2i?,-p', -ft')/'-6 ^-e',,»' 

= (jy-\-2ff—ll' — ti')8—6'f'~6'i 

o = (j^-f', -f*')r-o'»-</' 

(37)......( o = (jy'-2t^lL'-i()f-6'J'-6S 

\ = (y'+2.?,-ft,-(*„)«-c/'— c r 

= (y'_(*'_^;)|-_6^»'_6-y 

= (y'-2ii'— ft,— fij/— 6,r — 0«' 

= Cy'4-2V„-f*'„-K')«'-d'/-<,r 

Constantes sex c, c, e", D, JO' atque 1>" arbitrariae remanent, unde 
aequationes praecedentes integra aequationum nostrarum differentialium in- 
tegralia «unt. Constantes rero D, U atque D* cifrae aequales ponere no- 
bis licet, quia constantibus , quae periheliorum longitudines denotant, se 
aggregant. Habemus igitnr 



Digitized by 



Google 



295 



r = 2eX^-i}+2€Wcos(h:j+2k;) + 2efcoH(ht+2h;) 
^= -2eVsin(fc>+2*5 + 2c/sin(/i) + 2*) 

r^^^eX^A^ + ^escosllCt+^h^^ + ^eJ^^cosihlt + ^kS 
^= -2e8s\n(Kt+2K} + 2efsm(h]t+2li;) 

aequationibus tamen (36) infra ntemvr. 

Eiiminatis 8" atque /' inter tres priores aequationes (37), | sua sponte 
evanescit et aequatio tertii gradus pro y emergit; eiiminatis porro 8 atque 
/' inter tres medias aequationes (37), l' sua sponte evanescit, et aequa- 
tio*tertii gradus pro y ^ alio atque illa modo composita, elicitur; eliminatis 
denique f atque 8' inter tres posteriores aequationes (37), ^" sua sponte 
evanescit, et aequationem t^tii gradus pro y aliter quam illas composi- 
tam nanciscimur, unde quantitates cunctae y^ y' atque y novem valores 
habere videntur, qui quidem loco trium in expressionibus ipsarum T^ ^, 
etc. introductorum angulorum novem angulos efficerent. Hanc vero con- 
ditionem secus se habere ita dempnstratur. Sint x, x atque x" quantita- 
tes novae aequationibus determinandae his 

y = ^ —2rf 
y= af^^2t 
y = X 

quibus in aequationibus (37) substitutis, emergunt adiumentp theoremalis 
art. 14. hae 



o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 
o 



(x— 2iy'— fi^. 

(^+2,:-,!:- 

(X —^k- 

(j?' — ft'- 

(ar — 2i^— fi^- 

(^ m 

X — fl - 

(jr'— 2r/— f»,- 



V)/'-o'l~<.«' 

-(0«'-</'-«^'l 
-fO/-<^'-«^'« 

-(*„)» -0,/—«,^ 

-ft„)/-«,r-<?,»' 
-(»')*'-o'/-<r 



(38) 



(39) 



,.....(40) 



Digitized by 



Google 



296 

Ex his aequationibus primo ocalonim obtutu patet, tres priores post 
8 atque /^ eliminatas aequationem tertii gradns pro x, tres medias ean- 
dem pro x' et deniljue tres posteriores eandem pro j^' sugpedituras esse, 
unde concluditur x^ x' atque x" csse radices tres unius aequationis ter- % 
tii gradus, itaque ipsas T', ^, 3^, etc. tres tantum angulos diversos con- 
tinere. Substitutis enim aequationibus (39) in (35) , nanciscimur 

h zz j?— j? . h — X -^x , h — X —X 

Quantitates (t^, fi^^, fi', etc. atque 0, <?^^, o^ etc. adinmento valorum 
massarum m, m^, m et semiaxium maiorum a, a, a', qui secundum ter- 
tiam legem Kepplerianam ex motibus mediis computari possunt, compu|an- 
tur; quomodo autem ij^, )j'^, ^q computandae sint, infra monstrabitur. 

Excentricitates e, e', e"^ observationibus ^eterminandae sunt, quantita- 
tes vero |, |', 1*^, quae prorsus indeterminatae remanent, ad lubitum deter- 
minari possunt. Faciie tamen perspicitur, sive hunc sive illum valorem ipsb 
I, §', ^" attribueris, effici, ut observationes alios excentricitatum valores 
proditurae sint. Quum ^, |', |' arbitrariae sint, ^ =i ^' =:^" = 1 statuere 
optimo iure liceret, unde termini 2e(| — 1), 2e'(|' — 1), 2e{^' — 1) ex 
ipsarum T^ T^ ^ T' expressionibus evauescerent, sed rei accommodatius est, 
quantitates ^, ^', ^' ita determinare, ut longitudines mediae perturbatae 
715, n's', nz terminos formae ^sing*, ^sin^', ^sing'' non contineant, 
sicut iam in praecedentibus in Lunae theoria fecimus. Hinc factum est, ut 
^, ^', l'^ sint quantitates, quae ab unitate quantitatibus ordinis massarum 
perturbantium tantum diversae sunt, et in prima approximatione unitati 
aequal^ poni possunt. 

Facile denique' perspicitur c(| — 1) identicam esse cum quantitate | 
in art. 13. Sect. 11. in Lunae motu introducta* 



16. 

Adiumento aequationum per theorema art. 14. suppeditatarum et aequa- 
tionum conditionalium harum 

«=a, etc. i^^ = -i^', etc. v — v'=180% etc. fer=-fe', etc. 

aequationes (25) et earum similes transeunt in has 



Digitized by 



Google 



-^ = -(«-«-«')g,-<9:cos(n+r)-<r:i^,sm(rm>« 9'cos(r«+^^^ 

^r^-^^-ff^-^jp^-^Vcos^i^t+A^^KsKa+AJ-Jt^p^cos^n+AO+Jr^P^sMn+i')! 
^= ia-al-x')P„--xg'ainiU+X;)+xI^coailt+X,)+^ 

^ = -(«•-« -*)9'-«,9,co8(r<+A:)-«,p, MKt+K)-^:9:M¥+\)+<P:Mht+K)\ 

^ = (cW-«X-*,9,8m(i;:i+A>frt,P cos(ri+A:)+<9:sin(?,l+A )+«:J^,co<^^ 
«bi breTitatis caussa feci 

a—a — «' = r , v'— v +*' = X' }......(42) 

e quibus prodeunt i,-|-'',»4"'' — ^ 9 ^/"f"^',r4"^' — ® 

lam facili substitutione facta, repeiitur his aequationibus diflferenliali* 
bus satisfacere yalores yariabilium hos 

P, = C, sin D, - 6, Csin (rt + r-D^^+Xr sin (Ij+Xl+D') 
Q, = C,co8D, + 6, C^cos (ri + r-D:)+/,C' cos(rf+A:+I>') 



(43) 



P = C^sin D- bl C sin (a+A -D')+/:C, sin (n+A'+I>,) 
Q: r= Ccos 1?:+ ftV cos(U+A, -D')+f\C cos (r<+i'+D,) 
P" = C^ sin D''- 6' C, sin (H+A: - D,)+f C sin («,< + A, + D3 ^ 
Q' = r cosD' + 6' C, cos {Vfk +X[- D, ) +/ C cos (Z *+ A, +D:) 

si coefficientes b,, f, 6'„, etc atqne «,, a'„, «' ex aeqoationibiu compn- 
tantnr his 

= «, — «, — Jt'-f-«',/',,4-*,6' 

o = (« _,"_<-0/„+«"6"+«' 

= (/,—<— <'4-«"/'4-«'6 

o - (<-i-«"-«jr+*,^+<' ^......(44) 

o = («'„+ij"-*,-*')6,+<,+«X 
o = ^'_^'--«„-|.«/,+«;'y 

« = C«"-V -« -«')/+<,6'„+^„ 

o = («"+,,,-< -06'.+«^'+«'X 

38 



Digitized by 



Google 



i45). 



Cqnstantes sex C,^ CJ , C, D^, D',,, D' ubitrariae remanent, unde ae- 
quationes praecedentes integra aequationum nostranim differentialinm inte- 
gralia sunt. Constantes vero JD^, IX^^, D' , qnae constantibas v,, v,, , v 
se aggregant, cifrae aequales ponere nobb licet, unde 

q,= c,+6c:cos(ri+;L-)+/,c-cos(r<+A3 
p:=z -6:c'sin(u+i,)+/;c,8in(re+r) 

q: = c:+6:ccosa,<4.A,)4./:c cos(n+r) 

P^= — 6'C,8in(r;4-A^-f/'C:sin(«/-i-A,) 

Q'= c+ft-qcosO^+r^+rrcos^n+A) 

aequationibus tamen (43) infra utemur. Quum in his ipsarum P, ^^, P^/, 
etc. Taloribus termini per tempus ipsum multiplicati desint, manifestum est, 
«theorema art. 14. ad minimum usque ad secundam apprbximationem revera 
locum habere. 

Eadem ratione qua in art. praec. inductus hoc loco pono 

^uarom ope ex aequationibus (44} elicitur , 

= 0, +*k -<-<}/„+«" &" +«' 
o = (e^ — «"—rfJ6-^+rt, +</'„ 

= e',-|-iif, — «'„ — «: +*"/"'+"*'^, 
(46)......; • = 0'" -«"-«)/'+*,*,+< 

o = O',-'^'»-*,-*')* +< +*„/" 
o = e" — «" — jr^ 4**,/, +*'^'» 
= (e--,,'„-«^-«'V,+<.6'.,+^.'. " 
= 0''+'l-<,-<)6'.+«" +«'/ 
e quibus perspicuunf est, e^, t\^^ t esse diversas nnias aequationis tertii 
gradns radices. Substitutis valorHms ipsarum a, etc. per e^, etc. expres- 
sis in (42), emergunt 



Digitized by 



Google 



quibus valores ipaannn P^, 9/9 ^,,^ ®*^- ^nctiones ipsarnm «^, ^'„1. «' reddi 
possunt. Positis in tribus uitimis aequationum (46) et /=o et ri^—r[^^—ri—o^ 
habetur 

= -(»"+«) -1-*,/, +<6'.. 

quibus additis, nanciscimur 

quae est aequatio identica. Hinc sequitur unam radicum e^ e'^, a' cifirae 
aequaiem fore, si ij^, )]'^ , ri essent cifrae aequales. Itaque quum faae quan- 
titates cifrae non sint aequales, una radicum €^, e'^^, e' eiusdem ordinis esse 
debet ac quantitates i^^, i^'^, i^'. 

Aequationes niemoratu digrias praeterea appono has 

quae facili opera ex (46) derivantur. Quum quantitates ij,, ij',,, rj[ ^ uti 
mox patebit, sint ordinis secundi respectu ipsarum C^^ C', C, et duae 
radicum €^, e' , £" ordinis o^^ respectu harum quantitatum, tertia vero radix 
eiusdem ordinis quam illae, aequationes praecedentes monstrant duas quan- 
,titatum 14.6"+/;, 14-6+/, l+6;4-X secundi ordinis, reU- 
quam vero finitam esse, et si e" sit radix eiusdem ordinis quam ij^, 1/^, r^y 
14" ^'„4"*/*/ ^s^® hanc quantitatem finitam. 

Superest ut expressiones ipsarum ij , rl^^y r^ investigentur. Quem in 

finem, substitutis in aequatione pro ipsa -p art. 7. valoribus quotientium 

^fferentiaUum ipsius £i respectu P, 9^, P/, etc. in art. 12. invenlis, nan- 
ciscimur 

-X(Jr,J',+Q:Q^)co<ri+A>K(P:Q,-Q:P>in(n+r) 
38* 



(47) 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



si non nisi ad constantes arbitrarias in ipsis £ , U ^^ atqne V contentas 
respicitnr. lam si aeqnationum C^2) priorem per cosL'^ et posteriorem 
per sin L" multiplicaverimus , emergit additis productis propter aequatio- 
nem praecedentem 

o = cos^i^P^+PcosL^ + Q^sinZr^ + cosf J'P'cosZr^ — cosf i^Q^sini^ 

si porro priorem per — sin L''^ et posteriorem per cos L' mnitiplicaTeri- 
mus, fit additis productis 

o = cos^/''Q/ + Q^cosL'' — Psini^+cos^JQ^cosi+cosJJP^sinL 

quae aequationes ad constantes arbitrarias in ipsis P, Q^^ J^^, etc. con- 
tentas restringendae sunt. Hae autem aequationes cum aequationibus (48) 
una existere nequeunt, nisi cosinus inclinationum mutuarum deleantur. Hinc 
concluditur, positis loco £, L', L" solummodo cotistantibus arbitrariis, 
quae in earum yaloribus continentur, aequationes has 

ozzP^ + P''cosA; + Q''sinr+P;cosA''-Q;8inr 
o = QAQ"cosr-P"sinr + Q'cosr + l»'siny 

esse reliqnas duas aequationes conditionales inter constantes nostras arbitra- 
rias, si in iis loco P, Q^ 1^^, etc. solummodo constantes arbitrariae in 
valoribus earum contentae substituantur. fiubstitutifii yaloribus ipsarum P, 
Q^j P^^^ etc. ex aequationibus (45)^ postqnam tempus cifrae aequatum 
est, petendis, nanciscimur 

o = c;(i+ 6, +/')8m i--cr (i +6;+/)«» r 
*=c;(i+a.+/")cosr+cr(i+6'+X)cosr+cr(i+6"+/;) 

quae una cum 

aequationes conditionales inter constantes arbiirarias novem C, C^, (T, 
V, 1^^^, v\ fe , fc'^, h' sunt. Eyidens est has aequationes Iribus inter sex 
trianguU cuiuscmique plani partes locum .habentibus aequationibus plane 
similes esse, et si aequationum differentialiimi (34) et (41) significationem 
in problemate quatuor corporum non respexeris, duo nova aequationum 
differentiafium finearium cum coefficientibus irariabifibns systemata inventa 
esse, qnae rigcmse integrari pvssint. , 



m 



Digitized by 



Google 



Qiiiiini statata / radice secuadi ordioid^ aeqmtiaaes (47} mowtreM, 
l4-6'+/'rf ^^V^^ l"l"^r't'/' ^^ quantitatci secuiidi drdiius, l + ^'„'f"X 
vero quantitatem finitam: aecjpiationes (49} constatitem C^ qaaniitatem ter- 
tii ordinis esse debere probant. 



§. m. Perfecta aequationum differentialium paragraphi 

primae integratio. 

18. 

Sint dextra aequatioaiuil (12} memhra reBp. per C, D atque E f\Gr 
notata, und^ habetur 

ir-^' ir-'^' ir-^ 

Secundum praecedentia C atque D quantitates sunt piimi, et E quantitas 
secundi ordinis, termini vero primi ordinis omnes, qui in ipsis C atque D 
continentar, in paragrapho praecedenti eiicuimus et in aequationibus vel 
(24} vel (34} exposuimus. Hinc sequitur, positis 

F- C-(y-ri^-ft,} V -uXr+2e'}sin(V+2O+<?,9^c08(/k;+2fe} 

G = D+(j,'li^-liXT+2e)^6Xr + 2e':ico,(ht^^ 

-cr/r+2Ocos(Vf+2*') + '^''sin (h^t+^k'^ 

esse 

- , (r'+2e") sin CA"<+2r)- 0, ^'cos(h"t+2k"^ + F 

^=-Cy-^,-^,)Cr+2e) + <?, Cr + 26*) co8CA< + 2*.)+ ^ ^ «nCA^ + ^AJ 

+ tf„C^'+20 cos CA"<+2*") - tf , T" BinCA"#+2ft") + G 

aeqaationes rig;orosas, in quibus F et G quantitates secandi ordinis sint, 
et sinules aequationes pro — , etc. obtineri. Quibus po^is, cx ipsanw 
r, 9^, r', etc. in praecedenti paragrapho emtb vldoiibiia, qui termiBOs 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



2*) 
2fc') 

2*,) 
2*') 

-20 
•2*) 

-20 
■2*,) 

1-2*:) 

h2*') 

fs*:) 



Digitized by 



Google 



Si hae ateqtiationeg post -~, -t^, etc. loco c,, e,, etc. et F, G, jF*, etc. 

loco (r-t-2e), 3', (l^+ac*), etc substitutas integrantor, et integrata 
in praecedentibas substitaantor, obtinentur temiini, qui ad expressiones (38) • 
ipsarum 2^, ^, IT', etc. additi perfecta aequationum (12) integraiia sub- 
ministrant. Aeqaationes hoc modo eiicitae sab hac fadle rediguntur forma 

r =r 2e (I- 1) + 2e'8 cos (A «+ 2i;) + 2ey cos (h't + 2*") +/I?d# 

- h '^^-^8f\sm[ht-hXt)lfPdt + cos [ht-hit)]/Gdt\ dt 

- h" ^^"^'"f j}am [h^t-h^t^lfFdt - cos [h't^h'it)]fGdt\ dt 
-h/-^^^i/\sm[ht+2h] fFdt-cos[ht+n} fG'dt\dt 

+ h 'J^^ff\Hm[.h:t+h'Xt)+hXt)+2hXrF'dt-cos[-h'j^^^^^ dt 

_ h' ^^-^d\&m(h"t+2h^fF''dt+coi(h''t+2h'')fG"dt\ dt 

+ h:i£^8fAn[-h'j+h'Xt)+hit)+2h']fF''dt+cos[-h'j+h'Xt^^^^ 
»P =-2e'«sin(V+2*)+2c'/8in(fc'<+2ifc )+/Gdf 

+ b,'^^^^^8f\cos[ht-h,it)]fFdt-8m[hJ-hXt)lfGdt\dt 

- h'^^^^^j^ffcos[h't-h'(t)]fFdt+sm[h't-h\t)]fGdt\ dt 
-hffl^^fcos[ht+2h] fFdt+sm[ht+2h] fG'dt\dt 

+ K^^^^ffcos[-h'j+h'St)+hXt)+2hXfFdt + sm[-h'j+h'Xf)+hXt)+2hl/G^ 

+ h' "''^^ if cos [h't + 2h1fFdt - sin [h't + 2h']fG'dt\ dt 
-hJ^^^8fcos[-h'j+h'Xt)+h'it)+2h']fF'dt-sm[-h'j+h'Xt)+h'(t)+2h'^^^^ 

ad qaas accedit . , / 

S = —b+fEdt ^ 

denotante — 6 constantem arbitrariwi huio inte^U additain. , De pvaede- 
dentibua a^q^ationibos annotandum est, ipsam (0 in kitegrationibus^ con- ^ 
stantem tractandam, et post integrationes peractas in t mutandam esae. 

39 



Digitized by 



Google 



Mutatk muiandis nancisciiniir aequatianes sintiles pto T'j 'P^, 3'j T% Vj S'^. 
Quum E sit quantitas secundi ordinis, termini primi ordinis ipsarum ndz, 
w , P, etc. in praecedentibus inventi , postquam in ipsa E snbstituti ierunt, 
* ^fficiunt, ut haec functio usque ad quantitates tertii ordinis accurata solius 
variabilis t evadat, quam in seriem infinitam evolutam statim integrare no- 
bis liceat. 



20. 

Quum ad na at^e w computandas non ipsis T, ? atque S, sed 
loco earum solummodo W sit opus, praestat hanc ex ilUs componere. Si 
expressionem 

W = r(-?-cosg)+fe)+ 'P^sincp+S 

in seriem evolvimus, habemus primum 

Fr= — ^ rcosy— ^yr^ 'Psiny + g 

et reliqui huius expredsionis termini ope theorematis art. 9* Sect. IV. com- 
putari pQgsuiit, postquam loco l^ et ^ earum evolutiones in series substi- 

tutae erunt. Quum vero maxunus tenmnus et m ~- etm — — ^y^i^e' 

sit unitas ipsa, loco expressionis praecedentis ponere licet 

(50) W = r cos y + ^P sin y + S 

. . . w^ ^ dR^^"^ 
si termmos omnes m ipsis F atque C per -p^ , et terminos onmes in 

' »(i) 

ipsis G atque D contentos per ^ Y^i^c^ multiplicatos esse animo con- 

^ cipimus. Quo enim facto, reliqui expressionis quoque (50} termini adiu- 

mento theorematis excitati computari possunt , postquam loco r* et ^ evo- 
tationes earum in series substitutae emnt. 

SttbstitatiB aequationibus art praec. in expressione (50), nan- 
ciBcfanar 



Digitized by 



Google 



m 



fr=-6+2c(i-l) cos Y+2e'8C08 (y+A <+2fc ) + 2c'/cos (y - fc'<-2fe') +y|Fcos y + G siny + 1;| eft 
-h'—f^8f[sin [hf - A (0] /[Fcosy + G sin y]d« - cos[A «-A (0]/[F8iny-G cosy]d«}dt 

-h'^^^^^j^fj\sm [h't- A'(0]/[Fcesy + G siny]d« + cos[V«-V(0]/[Fsiny-Gcosy]d<jdl 

_A-&ill|/jsi„[A< + 2*] /[Fcosy + G'siny]d< + cos[^,«+2*] /[F8hiy-G'cosy]d«|dl ^ 



Sit 
sit ] 

Ccos^y-^-Dsiny-^-E = L 

tum formulae art 18. suppeditant» i .v 

Fcosy+Gsiny + lSrr /^ + Cy — f*, — ^,) [(!^+2e)siny— -«^cosy] 
-0 [(r + 2e )cosy+ y[^siny]sin(A/ + 2t ) 
-0 [(r + 2e') siny- 'l^cosyjcos^fcl+St ) 
+ (yJ(r'+2e')cosy+ 9^siny]siii(ft7+2ifc0 
-^J(r+2e') siny- .9^'cosy]cos(A't+iijfc') 

sed quoties termini, in quibus x maior est quam z*z |, omittuntur, quantitas 
l^sin^ — 'Fcosy aequalis est ipsi — — , ^Tcos y -j- ^siny aequaUs 
ipsi — .-^ , . 2^ sm y — V cos y aequalis ipsi -^. -jt- in qua y m y mutata 
est, itl quod ita ^ denotabimus, iT^cosy-f- ^siny aequalis ipsi— --7-^, 

et sic porro. Si igitur denotamus jF cos y. 4" ® ^i" / "4" -^ pcr. ilf, 
habemus 

39 * 



Digitized by 



Google 



306 

.c.,,^sin(fc'l+20 + <^/-^'cos(^ 
+ 2e(y-(i,-jijsiny— 2e(J^sin(y + fcf+2*) — 2e'cJ^,sin(y-*'l-2r) 
et praeterea 

JFsiny — Gcosy^i — -j- , Fcos y-+G smy =— -^-^ 

formula i^tur praecedens abit in 
/ W^ ^6+2<M) cos y + 2e'5 cos (y+* <+2fe ) + 2ey cos (y - A^l- 2*0 +/itf cft 
+*^^^'yjsin[^l-ft(0]/^d»- 

(51)| +*^^l/|sin[A f+2*] f^dt + co.[ht+n]f^d^ 

+h'J!JL^ifs\n [h't + 2k^f^dt^cos[h't+2k^]f^^ 



-fc 



//- 



i^.y|sin[-fc:f+A;X0+fcX0+2r]^ 



r 

et simiies expressiones obtinentur pro fF" atque W" j quae computationi 
harum quaniitatum inseryittnt. Qnem in finem necesse est L habeatnr, 
sed quum L sit dextrum aequationis (10) membrum, et in art. 7. Sect. III. 
expressio ipsius JV in seriem evoluta data sit, habetur L expressioni ipsius 
Z 1. c. datae aequaiis, si in ea signa / atque dt deieta, et termini e cor- 
pore m" pendentes, qui terminis e corpore m' pendentibus analogi sunt, 
additi erunt. Ex analysi in praecedentibus exposita sequitur, M esse quan- 
titat^, quae terminos primi ordinis non continet, nec non ft^-j-f^/, P^' 2e 
diTisum coefficientem termini in expressione eyoluta ipsius (T) per sin y 
multipiicati , 6^ per 2e' divisum coefficientem termini eiusdem ^xpres- 
sionis per sin (y 4- ht -+ 2*^ multiplicati , et cJ ^ per 2 e" divisum coef- 
ficientem termini eiusd^m expressionis per sin (y — h"t — 2*") multiplicati. 
Constans b ita determinanda est, ut in expressione ipsius W terminus con^ 
stans, et I ita, ut in W terminus per sing* multiplicatus non adsit. 



Digitized by 



Google 



iremifei — ft+2e(S— l>cosy praecedkifis ipsias W expres^onitf 
coi^tantem integrali, qirod in art. 2. ~ suppeditavit, addendam explet, 
quia iliic loco integrae constantis numerum 1 addidimus. Termini quidem 

per (^ 1)^, etc. in expressione praecedenti expiicite non adsunt, sed in 

approximationibus subsequentibus sua sponte nascuntur. 

Compiectamur breviter praecepta ad ipsius lus, w^ nV, etc. compu- 
tahdas in praecedentibus exposita. Termims tantum primis aequatioms 
praecedentis receptis, habetur 

W^:zz— 64-26(1- l^cosy+^e^dcos^y+V+^fc^+^^/^^^Cy-*'*^ 
unde 

F=— 6+2e(|-l)cosg'+2e^dcos(g^+J47+2*) + 2eycos(g'-ft'^f-2*') 
hinc, reiectis terminis ordinis superioris, nanciscimur per aequationes (7) 

«« = ^--iifil+2e(|-l>8iBy+-^8in(ff+V+^J+-^ 
w= — e(|- l)cosg^- .J^os(js+ht+2k;) - -?X.cos (g-fc>-2r) 

n » 

quantitates vero b atque ^ quum ita determinandae sint, ut ex expressione 
ipsius ns^ evanescant, statim reiici possunt, et quum praeterea e (5 — 1) 
semper sit parvulus coefficiens ordini .altiori adnumeraadus quam reliqui 
coefficientes , idem ex hac quoque ipsius w expressione deleri potest. Ha- 
bemus igitur 



itfc = r-sm 



(g-\-kt^7k).\-^nin(g~h-t-2k'y 



H, ~ . . - .- . ^_^ 

n n 

w = ^cos(^4-V+2*;) ^cos(g-Vt-20 

1-H— 1 

n «^ . 

et iisdem rationibus^ 

W = 2e'scos(y+ V+2*)+V/cos(y— A"^f— 2*0 
quibus sfamles expressiones pra n*a', w\ W\ etc. sunt. Substitutis his 
valoribus nec non valoribus analogis ipsarum P^, Q^, etc. in praecedenti- 
bus datis in expressione ipsius L siTe ^ in art. 7. Sect. UL data, et tom 



Digitized by 



Google 



in expre^sione praecede&ti ipsiits M, dnm eemper tennini 'm , qflibus x 
maior e^t quam db 1 omittuntur , ipsa M erit f unctio $olins yariabilis f , 
quae terminis primi ordinis, quorum argumenta ipsas g^ g et g'' non con« 
tinent, caret, et usque ad quantitates 4ertii ordinis accutata est- Substitufo 
hoc valore ipsins M in expressione (51) , post integrationes peractas W 
usque ad quantitates tertii ordinis accuratam habebis, et, theoremate artO^ 
Sect. IV. in usum Tocato, adiumento formuiarum (T) nSz atque w usqUe 
ad quantitates tertii ordinis accuratas computabis ^}. His accuratioribus va- 
loribus et adiumento valoris ipsius S+e per aequationem (8} computan^ 
idem calculus repetitur, quo ad valores ipsarum nz^ w^ etc. pervenies us- 
que ad quantitates quarti ordinis accuratos, et sic porro. 

Loco compuiationis modo descriptae.^etiam methodus coefficientium in- 
determinatorum , quae ad analyticas perturbationum coefficientium expres- 
siones perducet, in usum vocari potest. Quem in finem necesse est, ut in 
calcuii initio perturbatiomui^ omnium, quae vkn Jkabent, aur|^mieHl^ nota 
sint. Sit horum argumentorum unum quodque per A cos(xy+ai+ p) de- 
notatum, unde pones 

W = 2j4 cos (xy + at+l3) 

ubi argumenta omnia, quae vim habebunt, explicite apponenda sunt. Qui- 
bus , praemissis , per aequationes (7) ipsarum (w)s, w, (nyz% w\ etc. ex- 
pressiones anaiyticae tanquam functiones coeflicientium ^, et, his valori- 
bus substitutis, ilia ipsius M in art. 7. Sect. III. data expressio, nec non 
analogae ipsarum M' atque M" expressiones tanquam functiones eorundem 
coefficientium et quantitatum cognitarum exhiberi possunt. QuibHs valori* 
bus, nec non praecedente ip^ius JV valore in aequatione (51) substitutis, 
aequationem identicam nancisceris, qua singulorum coefficientium A expres- 
siones analyticas invenire poteris. llla tamen methodus plerumque huic 
praeferenda videtur. 



*) Si praecisioneni Tnaximam breTissimo calcblo asseqni Tis, in hac eccimda approximatiooe 
termioi tertti oriini«, querum ar^umenia ipsai g, ^ atqne g^' non cMtiimt^ fk qoi la hac 
approximatione eruti sunt, omitti debent, si perparTuli non ennt. 



Digitized by 



Google 



Slt 

••: ... . . ■ ,-. .,• .21. '' . •■ • ■ ■ 

Calcolus in art. praec. expositos ad expressiones ipsarom ndz^ u;, n6z\ 
et<9 perduc^ tenninorum per t^pus ipdum, multiplicatorum expertes, si 
ipsae M, M! atque ^' in evolutioue earum terminos non continerent, hu- 
ius formae ' 
" Jlf = e^ ^ny-f^d sinO+ft t4-2fe)4-e'i^ sin(y--y<— 2*0 ) 

My = e'^ siny 4-e'd' 8in(y + fc> 4-2*3+6 v sm(y—ht — 2* ) [ (52) 

ubi coef&cientes ^, d, v^ ^, etc. constantes sunt, et nbi e, e', e" apposui, 
^ota termim hi, si acbuiit, Qeoei»saiio per has exeentricitates multiplicati 
esBp debent Snbstituti^ Tero his terminis in expres|sione (Sl), perfacile 
reperies, terminos per tempus ipsum multiplicatos in ipsa fV orituros esse. 
TenniBi praeoedentes revera existunt, nam in paragrapho gecunda maidmas 
tantum horum terminorum partes excerpsimus, et praeterea. combinatio ar- 
gumentorum perturbationum in quaque approximatione terminos taies gignit. 
Termini vero praecedentes iliis multo minotes sunt, et inaximi eorum tettii 
ordinis, qua conditione methodus eorum toliendorum fundata est, quatn 
confest|m jexplicabo, et qi^ae ilii in art 30. Sect U. expbsitae plane simi- 
lis est Substitutione expressionis 

W = 2e(|— l)cos y+2e'«cos(y4-Al+2*)+2eyco»(y~V«— 2t') 
et similium facile con^rmatur identicas esse 

M = 6^ sin y+e'd sin (y+A^+^^J+eV sin (y-r-Vl— 2*') 
atque i 

+ (D^^sin ih't+2k') -a ^cos ih^t+Qk-) 
- 2e%i\viy+2^v%miji+\t+2k^-\^2e'vi&s^iy-h:t-2k') 
si qaantitates 3e,-v atque o per aequatibnes detemunantur has 

^«x+^rw + ayo = « \ (53) 

2/« + 2»' tr 4^ 2^0» = 1» 



/ 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



813 

Ergo, postquam in approximatione s^cmlda per evoiutionem ipsarum 
M, M atque M" coefficientes j3, tf, v, ^, etc; noti fuerint, computentur 
primum x, i;, o, x% etc. ex aequationibus (53) et similibus, sive aequa- 
tionibus his 

et similibus, quae aequationes (53} resolutae sunt, in quo caiculo. vaiores 
ipsarum i^ f, s, ^', etc. ex approximatione prima noti adhibendi snnt; 
deinde ope aequationum (54} computentur ralores accuratiores ipsarum x, 
Sy f^ oc^ etc. et denique, deletis terminis (52} ex expressionibus ipsanun 
M, M\ M\ expressio (51) et eius similes ipsarum W ^ W\ JV" suppe- 
ditant valores , quibus tepnini per tempus ipsum multiplicati non insunt. Non 
modo in approximatione secunda sed etiam in approximationibus omni- 
bus subsequentibuB idem calculus ad finem propositum perducit. 
Tennini 

fl sin (— y4.A/4.2*) + A sin (y+.r«+2r) 

in ilf, et temiini similes in ipsis M' atque M" existentes, quorum maxi- 
mae partes tertii ordinis sunt, primo aspectu etiam terminos- per tempus 
ipsum multipiicatos in W^ W atque W" procreare videntur, sed substitu- 
tione in aequatione (51) facta, facile reperies, terminos pure periodi- 
ros solummodo ex iis nasci posse. * 

22. 

Qttum perfectam aequationum pro T^ V^ etc. integrationem in prae- 
cedentibus copiose tractaverimus , integrationem aequationum pro P , Q , 
etc. , quae iilis plane simiies sunt, brevius exponere licet. Quum aequatio- 
nes (36) et (38), positis resp. Q,, P, 1, C, D, 6, C , l\ X\ D[,f, 
C\ r, r, D\ etc. loco r+2e, 9^, i, 2e, D, s, 2e\ A , 2*, IX,/, 
26", /t", 2fc", D\ etc. in (43) et (45) abeant, his mutationibus factis, 
inlegraiia perfecta statim adscribi possunt haec 

40 



Digitized by 



Google 



314 

+ r ^Ji^^zIiL bJ\cos[ri - t{t)\fv, dt - sin [rt - rit)]fR, dt\ at 
-«:-^^^^//jcos[r«-r(o)/i/:«tt+sin[r;-r^^^^ 

- r -^^^ f\cos[rt+x"[ fu;dt + un [ rt + x']fRyt\ dt 

+ 1, ^^^^/yjcos[-a+/xo+r(o+Ai/f^:rf<+8in[-i,t+«,(o+''(o+n/i«:rf'!* 

+ ^. *>*>/-/> . yjcog [rt+ r ] / ir d« - sin [ r* + r ] /ii' d«| d« 

- i/-^Uf^ 6^cos[-a+uo+ao+^:]/'^«''-sin[-'/+«(o+i:(o+^:]/«'«*'|* 

P,= c,+6,c:cos(r*+i')+/,c-cos(n+A3+/t/;* 

_ r *"'*^-^"' 6y[sin[r«-r(0]/r,«ft+cos[ri-r(o]/Brf<( d« 

- r"^^^^/yjsin[r«-r(o]/r*-cos[«:;-r(o]/fldtj * 

- «* ^^^=^^ yJ8in[r«+A"] / jj[di -- ow[r#+ ;i'] /ii:<i<) dt 

+ ', ^^^^/yjsin[-/H«,(o+r(0+n/«^:««-cos[-n+uo+«'(0+A']/iJ:*jd' 

+ 1, ^^^^^6yjsin[-?;+ixo+«:(o+A:]/t^d*+cos[-i«+i(o+r(o+^:]/«'*!* 

" * . r^ ^bf,-i}-(bb-.f)h-(f:f-b')i 

et 

ii,=H,+(«-«,-«')p,+«:p:cos(rH-A')+<j^.8in(r<+A')+«p'cos(f:«+o-ff„j^8in(ri+A:^ 
^,=^;-(«r«r«')^,+*:9:sin(*'«+A')-«:p:,co8(r/+A'j-« 9'»in itjt+xynpcoBitt+x:) 

denotantibus H^ atque iV, resp. dextra aequationum art. 7. pro -^ atque -^ 
membra, ita ut habeatur rigorose 

dt -"'' dt -^' 
et similes aequationes pro reliqins P, Q denotatis qaantititlbw. Ex ra* 



Digitized by 



Google 



315 

IkmibM in pmeeedtBlHimi tradifife maaifesAuiii est, jR,^ V^^ R^^ etc. esse 
p06t eTolDtioiies eannn qmantitateB secmidi ordinis^ imde oomp«taitio MffOUi^ 
tionum in hoc articuio expoditaruro^ si ea, quae ad ipsam y spectant, etd- 
pis, eodem modo perficitur, quo compntatio aeqvatioms pro W* Pfa^^r^ 
quum termini roaximi in £ contenti sint quantitates secundi ordinis, aequa^ 
tioart 7. pro -j^ post eius evolutionem iminediate integrari potest. De- 
notante igitur F^dextrum huius aequationis eToiutum membrum, habetur 

ubi V est functio solius variabilis t^ et simiies aequationes nancbcimur pro 
K' atque K\ in quibus resp. rj^^ i}', rj^ ita determinandae sunt, ut termini 
per tempus ipsum multiplicati eTanescant. 

23. 

£x rationibus iisdem in praecedentibus respectn ipsins ilf explicatis 
ipsae ilp {T, if^, etc. terminos continent hos 

R, = «C^cosCri + AO + c CcosO^+A^ + g-^C, 
U, = hC sin (ft+X^+uCsin (0+ A^ 

«: = «:cfcosG,/+A)+c:c, coscri+AO+^:^: 

Ul= hCtm CII+A)+«:C, siD C^ft+X') 

jr = a'C,co8(i:«+lj+c'C:cos(fl + A) + gr'Cr 

U- = *'C,sin(«:i+0 + tt'C;sin(il + A) 

quarnm maximae partes tertii ordinis sunt', et quae in expressionibos ipsa- 
rum P atque Q, in ar(. pntec. datis termilios per tempus ipsum multipli- 
catos procreant, quos methodo eadem in praecedentibus adhibita toUere li- 
cet. Redactis aequationibus praecedentibus snb forma hac 

E, = f (« +fc)C:cos(ri+A')+f (c -«.^Ccoscri+o+^^c 

+i(«,-^)c:cos(ri+x')+i(c,+u;|rcos(ri+A3 

U,= i(a,+AJC:sin(ri+A')-f(c,-tt,)CsinG:i+A3 
-i(a-*,)C:sin(ri+A')+4(c,+tt,)C"Biu(ri+A^ 
etc. =: etc. 

substitntisque ultimis per |^(a~A,) ^tqne iC^z+^/) multiplicatis termims, 

40* 



Digitized by 



Google 



(55). 



816 

nec non analogis quantitatuni i{', 17^, A*, U" ternuAis in integraUbss art. 
praec., facile comperitur hos terminos ipsarum A , 17, etc. terminos p^ 
tempus ipsum multipiicatos in ipsis P, Q^ etc. producere non posse. Su- 
persunt igitur termini ipsarum R^ 17, etc hi 

R, = iC^.+^^c^lcoscrf+AO+iCc-u^rcoscri+o+ff.c, 

U = i(« +^)C:sin(ri + r)«X(e ^^)C'sin itt+O 
etc. , =r etc. 

e quibus soiummodo termini per tempus ipsom multipiicati in valoribus 
ipsarum P^, Q^, etc, nasci possunt. Ad hos terminos toiiendos animad- 
verto, substitutis valoribus ipsarum P, Q^, etc. ex (45) desumendis, resp. 
identicas esse aequationes has 

• «,= ^,9,+n9:cos(rmO+yP>in(n+A>fl,9'cos(n+Aj-flKsm(ri+A^ 

etc. = etc. 

et (55), dummodo coefficientes fi^y y^, 0^, etc. ex aequationibu» his 

(56)...... f,P, + Kr, + fl, = i(c,-«,) 

et earnin similibus compatentar. finbstitutb his ipsarum R^, C/, etc. va- 
loribus in aequatiombus differentialibus rigorosis his 

■^=-{a-x-:^)g-st'g'cQairt+X')--}c'PA^^ 

-fi-=(«-«>)p-<9>(n+r)+«;;p:co8(rf+A>«^,9'8in(n+r^^^^^ 

etc. etc. ^ 

eadem integralia (45) obtinebimus, siquidcni «^, 6^, X> *.,' ^^^- ^^^ ^ 
aequationibus (46), sed ex his , 

o= ^-i-fi-fc-ie +(«;_yj/:4.(,,_iij6" 

« = [*.+^. -ft:-«:-«ni:,+(«^'-06"+ ^ -«: 
■»=[^ _^'_^_«j6"4.«,_y" +«-n/: 

o= i-\-ri-P'-K-^: +(«^'-^/'+(«'-06, 
(57) ^ «» = [< -r-»"-*J/'+(*,-/)6,+ <-«" 



Digitized by 



Google 



817 

o = [e-i/l-ft-* -»']X+«-y,^6:+ « -«, 

o = [a'+%-^:-<-«n^:+ '^'-ri +(«^-0/ 

computentur. Habita igitur reliquorum ipsarum A , l/, jR]|, etc. termino- 
rum ratione, integralia perfecta art. praec. semper locum habent, et in iis 
termihi per tempus ipsum muUipilcati subiati erunt, si valores accuratiores 
ipsarum «^, ^,y f,^ ^l^ ®^' ^^ C57) computati^ et termini (55) ipsarum 
A^, {7, H', etc. deieti fuerint. Aequationes C^6} resoiutae suppeditant 
ad ipsas ^ , y^j 6^ computandas aequationes ha^ 

^' = -^(«,+^)+4^(<'-«,)+^ff/ 

i = ^'(a,+A)+£^(c-«) + ^g, 

et similes pro ipsis P:, }»:, 0:, ^', etc. EToiutipnes ipsarnm i2, ^J^', Si' 
respectu ipsamm P^, ^^, K^, P, etc. eodem mocto perflchmtur, quo in 
art. 12. Sect. III. pro theoria Lanae absolutae sunt. Substitutis enim ab 
initio in igsis iJ2, i2', ifi', resp. C, C^,, C ioco 2sinf /, ^sinf/,, 
2 sin^/', et v^, v^, v loco N^, N^, iV', habetur 

dP = _ bC sin (n4-A')4-/C sin («:«-}- A^^ + etc. 
d9 = 6,C:c08(r<4-A')-fXCco3(n+O-f.«tc. 
etc. ;;= etc. 

atqtfe 

KdP,J-~K, dv, J C, ' ^dQ,J ~ y.dC,J' ^dir,J ~^dk,J 

etc. etc. 

■d*£l 



y-iF^o - 1^ dv,'Jc,- + V-rfc^ ' vjn°:dQ,^~Ui;;:d^^ "■ trfv, Jc," 



(57) 



Digitized by 



Google 



818 



24. 



Si ipsae «», «V, nV, t€^, ti)', fi>", P, ^^, Kp P', etc. alqae i^+f, 
5'+€', iS' + e'' per hanc methodum compiitatae et iit qaantitatibus art. 8- 
f%^ q)t^ft^ etc. nominatis substitutae erunt, hae quantitates functiones so- 
lius yariabiiis t factae sunt, et aequationes differentiales eiusdem articuli 
pro Pq, 9q, u, |Ioq, etc. adiumento aequationum (64} Sect. U., quae in 
artt. 2. seqq. Sect. VI. evolutae sunt, integrari possunt, quaeciinque est 
anguli r per has integrationes introducti magmtudo. Quantitatibus p^, g^, 
p^, etc. sive loco earum jp^^, gr^^, jp^^, etc. sive loco earum jp^^, y^j^, 
1^000 9 etc. hoc modo computatis, iatitudo corporum versus planum funda- 
mentaie et reductio longitudinis ad idem pianunl eodem modo, qui in 
Sectt. 11. et VI. explicatus est, computantur, fj[uo facto, problema perfecte 
soiutum est. 



§. lY. De significatione determinationeque amsUfntium 

arbitrariarum in integralilm^ praecedeniibm 

introdiictanm. 

25. 

Integrationes ad p^^ q^ et u obfSnendas institueitdae duag introducunt 
constantes arbitrarias, quas, ut analogiam perfectam persequar, V^ atque S^ 
nominabo, item integrationes ad p\^ 9^, u obtinendas introducunt con- 
stantes r^ atque 0^, integrationes ad p^^^ q^^ atque u obtinendas con- 
stantes F^^ atque 0^^ et sic porro, integrationes quoque eaedem mtrodu- 
"^ .^» cnnt angulos determinatos resp. x^t^ x'j^ ar^f, jr^^*, etc. denotandos. Qui- 

bus positis, si inclinationes mutuas evanescere ponimus, necessario esse 
debent u — u=u, ei teftia aequatio f64) Sect. II., si ad 6mn*s ipsa- 
rum cfu, du' et duj in art. 8. huius Sectionis explicatas aefjaationea re^ 
lata faerit, suppeditabit 



Digitized by 



Google 



S19 



n 



8 r^ = cos r; — cos r; == cos i\^ — cos r;^ = etc. 



a :::: u = M rr: cos j 
praeterea prima aequatio (64) Sect. U. subministrat 

p/^nsiar, MftU^ ), jp; =sinr; Mp^yK ), j^; -A^, sinCal-©: ) 

i^oo = sinr,, sin(«v©,;) , f^, = sinr;, sin(a *-©;, ) , p;, =suir;, M^^:t'&l ) 

|i^^^=sinr^oogin(«>®^^J, Jp;oo=wnJ^ooo««»(«''-®ooo) ^ P^oo^ei^^^oosHa^-^^oo) 

e qoibus aequationes pro q^^ ^;, etc. nanciscaris, si sinus arpuum « f— @^, 
al-@;, etc. in eorum codnus mutaTeris. Porro, statutis semper adhuc 
Inclinationibus mutuis cifrae aequalibus, expressiones finitae ipsarum p^^ ^o^ 
jp;, etc. art. 8- suppeditant 

s}n\x-(o-n^'+v+k' + at] 

sin[x-aj-rr'+v -* +af], 
Poo=»in/ 

— 9miwilx-eh^+p'-1i+i+af], p'^^^=sini 



p^ nsinisinb-cD-flJ+v +* +af], p^ =sin 

pI =sin 

p^^ ^zmiisinlx-m-st+v-k^+a^tlj jp^^, =sin 



sin[jc-o-.«"+r>t;+a;i] 
sin [;{ '♦€wr'+v'-t +fc'+a'l] , 



p;,,= sinisin [t-o-*"+i^,-*l+t'+« <] 

e quibus ralores analogos ipsarum q^^ ^;, etc. nancisceris, si sinus arcuum 
X — G) — it+v^ + k^ + at^ etc. in eorum cosinus mutayeris, Denique rationi- 
bus iisdem uti in art. 31* Sect. 11. ex aequationibus (16) in casu, quem 
nunc tractamus, eliciuntur hae 

vi^k = s^—i;, v—i^ = ic—js, v;— r^-i =5r— JET 

J^i = ii'—'E\ i—K = %—E', i—k^i^=^—'E' 

designantibus £, E atque 'E' tres arcu» constantes et indeterminatos. Com- 
paratb his aequationibus omnibus, facili opera emergunt 

r =r* ^T' = r —r' =v" =r =r' — r" 

o *o ■'o *oo "'oo 00 * ooo ■* ooo — ■• OOO 

®o = ^'oo = ®ooo 5 ^^0=^00= ^ooo 5 ®o = ®oo = ^'ooo 

Cop9t«iile« igitiir duodeyiginii F atque S denotatae per liaa aequationei ad 
qualuor ind^eBdentes reductae sunt 



Digitized by 



Google 



26. 

Si terminus ipsarum /^^, q^t^fj atqoe (f^t^ qui terminos primi ordi- 
nis respectu ipsarum C, C^, C" et o** ordihis respectu massarum proferre 
potesl, 8olummodo consideratur^ habetur 

f-t = it,g, , q>t = »r,P, , fj = n,Sf , %* = « P; 

in quibus ralores C^^} ipsarum P, ^^, etc. snbstituendi sunt. Quibus^ 
faetis, adiumento aequationum* (62) Sect, II. eliciuntur 

c r= (ff,- jr„6')C, , H = * K*A - «,/") C* : cos( W')+(«/, - ff„) r cos(0+a:)^ « 
^^-^(^r^ft-^/OC^in^n+A-^-^^rX-ffJtrsinin+r)^» 
M=: l(:r6,-«,/")C:,cos(r<+r)+(«/,-«„)rcos(n+A:)|;,„ 

-{('^A - ^J") c„ sin (n+r )-(«/, - «„) c- «in itt+x-;^] ,„ 

lam applicatis evolutionibus integraUum (64) Sect. II. in art. 2. Sect. VI. 
datis ad hos ipsarum c, jEf, JL atque M valores, neglectisque ooefficien- 
tioni termiiiis, qui secundi et altims ordinis respectu ipsarum C^ C^ at- 
que C sunt, emergunt 

ji^ = sinrsin(ar,f-®J +cosr '''^'"''^^'^^^ C>in(r<+r> 

-cosr '''^'-''" rsin(rf+A:) 

9„ = sin rco^{x,t - J + cos r ''~""^'^ C,+ cos T "^lhzpllL C cos (rt+A') 

+ cos i ^ '''f'-'" c cos (r<+i') 

a =cosi^-8inr^^i^CcosC.V-0J-sinr-^^^^^'c:cos[(r-xJI+r+©J 

\ > -^mi^^^4;;fi^ccos[(r+;rj«+i:-0j 

e quibus mutatis mutandis expressiones analogae ipsarum p^, 9'^, u , p^, 
9^ ttque u emergunt Idetn calcpius, adhibitis aequatibnibus condilionaii- 
bus inter constantes T^ etc. atque @^ etc in art. praec. inventis, suppeAtat 



Digitized by 



Google 



»1 

-co8r *'*':*"-^" c>iii(n+A,) 
9„„ ^8iarcos(x„,i-e:)+co.rMJ^cr+co8r *-^"*'^ c,co8(i>+o 

+ C08 r »'»'-«"/" C.COS (l,f+A ) 

« ^^cosr-sinr^i^^C-cos^ar^.t-e^-sinrJ^i^l^C^co^Kr-O^+^^^ 

. ,i^M^' c cos [G, + x„ jf +x - ©;] 

;,^„=r8inr8in(*,,.f-0'J +co8r5-^C'8in(<,f + A,) 

_ cos r *'-*"*" c sin (rf + n 

9.„„ = 8inr>:o<x„,.f-6»'J + co8r^!^i*J^C +co8r*^C'co8(«^ 

^ If »* ■ * 

+ co8 r *' -*" '^' c C08 (rf +r) 

« =co8r-8inr^^^^:^Cco8(x„„.f-e'J-8inr.5^C'cosK^^^^^ 

-8i„i£cf-«:c, co8[(r+*,,Jf+A"- ©'J 

e quibus mutatis nmtandis expressiones analogae ipsanini p^^^ q\^y u\ p^^y 
8^00» ^"^ P^ooo 9 0009 ^'^ Pooo^ 9ooo9 «^" eUciuntur. Si supponitur, t" esse ra- 
dicem aequationum (37} eam, quae secundi ordinis est, secundum art. 17. 
constans C tertii ordinis est, coeflicientes Tero terminorum expressionum 
praecedentinm, qui per C" muitiplicati sunt, propter divisorem a" primi 
ordinis esse videntur. Quum aequationes tamen (46) fatcili calculo mon- 
strent, in hoc casu numeratorem nj^^ — :t^^ necessario secnndi ordinis esse 
debere, termini ipsarum p^j q^^ etc. per C muitiplicati tertii ordinis sunt, 
et in hoc caiculo, ubi terminos primi tantum ordinis respicimus, omitti po- 
tttissent. Ratio vero, cur non omissi sint, est, quod mutatis mutandis in 
expressionibus ipsarum p\^ q\ etc terminos per (7 atque Cf^ muUiplica- 
tos proferunt', qui primi ordinis sunt. 

Aequationes finitae ipsarum jpo, 9o, p^^^ etc. art. 8. suppeditant 

41 



Digitized by 



Google 



322 

9o = 9ooCOs(r*+A::)+j>ooSin(r*+A3 = 9„„„cos(r<+A')-PoooS»n(rt+X') 

Substitutis yaloribus praecedentibus ipsarum p^, q^^ p^^^ etc. in his aequa- 
tionibvs, emergunt aequationes conditionales hae 

•*'o •*^oo * // — '*'ooo 1*5 ^o — ^O I - // — ^ o 

quae mutatis mutandis subministrant 

<=<o-r=*',oo4-i, , 0'o = e>o4.r=r0;-A, 

, <=*;o-',=*:oo+C' ®;=^o+A, = ®o— i', 

quanim ope expressiones tres praecedentes ipsius ti, quae divei^ae indolis 
esse yidentur, congruunt. Eaedem aequationes praeterea suppeditant 

0'o=®o+^"> ®;=®o-^'„ 

unde constantes arbitrariae F atque @, quarum numerus ab initio duodeyi- 
ginti erat, ad duas constantes F^ atque &^ independentes reductae sunt. 

Eodem denique modo, quo in art. 33. Sect. II. usi sumus, demon- 
stratur integrationes , quas reductio longitudinis corporum m, ni atque m" 
postulat, unam tantimi constantem ibidem il denotatam introducere, qnae 
Ipngitudinem nodi ascendentis plani, ad quod F spectat, cum plano fiin- 
damentaii denotat. 



2t. 

Ad significationem ipsamm F et 9^ indagandam eligamiis escpressio^ 
nes ipsarum p^, p\^^ Pooo» 5^o> ^^- ^ articulo praecedente. Quae, omis- 
^ sis terminis tertu ordinis per C" multipiicatis, factoque tempore cifrae ae- 

quali, sunt 

'^ ^ p, - — sinrsine. + cosr "^*^^*"'^^^ C>inA- 



p'„„ = - .inr.iii ®, +008 r "^"-/^' C>n A" 

p;,^= --sinrsme.+cosr^^^^A^c;^ 



Digitized by 



Google 



323 

o„ - 8in Fcos 0„ 4- C08 T ''' ' "" *" C + cos f "' *' 'f"^' C„ cos^l' 

9'„,^ sinrco80„4.cosr '''>^^|-"' c,+cosr "^"-^^' c^cosr 
g;„„r. 8inrco80,+co8r '^'*''7'"-^" c,+co8r '^'-^':*" c„cosA" 

u = C08 r— 8inr ^^-^^^^" c C08 0— sinr '''^'''^"^'' C^.cosG^^ + ^J 

„' = C08 r— siiir ^"-^^^'-^ c cos e — sinr ^^>"j^*^ c cosrr +ei 

ii"c:= cos r— sinr^^^^^^^=?^'C cos — sinT '^'fj'^'' C^^cosfr + ©J 

Eliminatis C atque C^^ ex his expressionibus , nanciscimur 

-sinFsin©, = ^Po + Woo-^-Cplo 1 

sinrcos®, = ^9o + B9'oo + C?:oo (58) 

COSr = JU +Bl£' +^11' ) 

ubi A^ B^ C coef&cientes noti sunt, qui per eliminationem duarum quan- 
titatum ex tribus aequationibus primi gradus prodeunt. Si yero aequatio- 
nes has 0=1-^6' +/„ ? ^ — ^ + ^^ +/% V^^ omissis quantitatibus secimdl 
ordinis respectu quantitatum finitarum ft'', etc, ex (47} deriyatae sunt, et 
aequationem facile confirmandam hanc ^^s^^^st' = ^^'^,, in usum vocave- 
ris, inTenies, eliminatione vevera insftituta, 

~ x'3r"-4-jf,«"H-flr„«" ~ <'«,-♦.«,«'#»-♦•<'«' ' ~ nff'7iff^7i,,7i!'^nf,n;' 
In aequationibus vero art 12. his n = — __. J ^— , /^' etc. 

est ^ huius formae r- D • — -^ huius formae -- — ,D etc ubi D 

constans est ex semiaxibus maioribus a atque a pendens; hinc sequitur, 
denotantibus E^^ E^', E" functiones semiaxium maiorum, haberi 

^. — — 5 — - lit • 7t — ., , — - E m 7t — - E 

■ • tn 1? ' "* T' ^ E^" 

l/VV^l-e'» ' ' uVV^i-e^» "' " aVV^l-e» 

quibus aequationes (58]) transeunt in has 

41 ♦ 



Digitized by 



Google 



924 

^ ^ md^n V^iZT^ . cos i -+• mW V^iZ?"» . cos i' h- m' VV VC^ . cos T 

° iiia*ii v^iTT^ . cos i -t-mW V^iZ^ . cos i' -i-m' V V V^iZJ^ , cos i" 

ubi 0, ^, d*^ longitudines nodonim ascendentium orbitamm m, m', m' cum 
plano proiectionis seu fundamentali , tempori t = o respondentes denotant, 
et, secundum art. 8., 

quae quantitates ad minimum usque ad quantitates secundi ordinis in hoc 
calculo ceteroquin omissas, sibi aequales sunt. 

Aequationes praecedentes monstrant, F esse inclinationem plani in- 
variabilis versus planum fundamentale , et S^ arcum plani inyariabilis a 
nodo eius ascendente cum plano fundamentali usqtie ad punctum quoddam 
adhuc determinandum dnctum. 

28. 
Ex expressione latitudinis significationes reliqnamm constantium fiicile 
inyeiuuntur. Habemus ad instar art 33. Sect. II. 

» = 9o "n [7+Cy+« — ^,)*+n+*J —Po c^s [7+0+« — ^,)^-h',+*J 

ubiy denotat anomaliam veram, et ex hac expressioae obtinemiis mutatis 
mutandis expressiones sinuum latitudinum 8 ^ s" corporum m' atque m". 
Substitutis valoribus ipsarum q^^ p^ etc. in praecedentibus datis, emergunt 

+cp3r*i*^'c: smg+(j,+a-ri,+tiy+v:+k-10+ cos r'^Cnin\J+(!f+a'+ri)t+v'-k'\ 
»^=^«nrAn\f+(y'+a^+ri-x\Jt+v-k,+0^]+cosr^^i^^ 

+co»I^^i^Csin\f+Cy'+a-i^y+v;„+k:^^ 
9 = smrsm\f+(i,'+a,+ri'-ii-x:jt+v-k:+k'+e^)+coBr'^^ 

+<:^^r^^^^Csm(f+(y'+a:+r}:)t+v-^^^^^ 

quae expressiones hoc modo deping^tur. 



Digitized by 



Google 



325 

Delineetur triangalum spJhaericiim rectangulimi, cuius hypotenusa re- 
praesentet plani invariabilis pars, et sit amplitudinis Cy+a-^,-^o)*+^/+^/+®oJ 
et cuius catheta altera faciat anguium finitum r cum hypotenusa, ideo 
r^raesentet plani ftmdamentalis pars; si* huius trianguli alterius cathetae 
sinus iS nonunatus fuerit , erit 5 — sin F sin [0/+^,'%' ^o)^ + ^, + *, + ®o)* 
Froduc 8 extra planum inyariabile et duc circulum maximum C^) ^ 
pioducta 8 nsque ad pianum inyariabile extensum, qui sit amplitudinis 
(y+€C^'%)i + v^+^, et faciat angulum primi ordinis — ^'^^** C^ cum pla- 

no invariabili. Produc iterum S^ et duc circulum maximum (B) ab ite- 
rum producta 8 usque ad circulum (i/) ext^nsum, qui ait amplitudinis 

Qf+cc^^-rj^ + Tff^t + v^^-h" +k^ et faciat angulum primi ordinis = ^' '" /* C^ 

cum circulo (^. Denique produc denuo 8^ et duc circulum maximum 
(C} a denuo producta 8 usque ad circulum (B) extensum, qui sit ampli- 
tudims {jl + ^ +y\)X+v -li et faciat angulum tertii ordinis — ^Jf-^t/ (f 

cum circulo (E). Quibus factis, intersectio circuii (C} cum S erit locus 
perihelii corporis m pro tempore t, nec non — ^o'+®o ^urcus plani in- 
variabilis a nodo eius ascendenti cum plano fundamentali usque ad nodum 
eius cum ciirculo maximo siye plano (A)^ extensus, C"/-«„-^")^+v,-v,^+*^ 
siye rt + X' arcus plani (j£) a hoc nodo nsque ad nodum plani (B) cum (A) 
extensus, («,-"*~^/)*+^.r"^^"*/ ^^^® h^^^K arcus plani (fi) a hocnodousque 
ad nodum plani (C) cum (B) extensus,- et denique (y+a +ff)t+v''-'k'' arcus 
plani (C) a hoc nodo usque ad perihelii corporis m locum, qui non minus qnam 
hic planorum (^y (B)^ (C) situs tempori I correspondet, extensus. 

Fac ut trianguli iUius sphaerici rectanguU hypotenusa sit ampUtudinis 
Cy' + a +i^^-a?'j,j^)*+v -fc +0^j et lege eadem qua supra duc circulos maxi- 
mos (/^), C^)) (C), quorum quisque resp. inclmationem cum*priore ha- 

arcus plani (C) a nodo huius plani cum plano (JS') usque ad locum peri- 
heUi corporis m^ tempori t respondentem extensus, et arcus — •a?'^o*+®o» 
fl+X\ It + X^ ad planum inyariabile et plana (-^, (•B')? (C) eandem 
rationem insistunt, ut supra ad planum inyariabUe et plana (A)^ (B)y (C). 
Porro fac ut eiusdem trianguU sphacrici rectanguU hj^otenusa sitam- 
pUtudmis (t/^+a^ + tjf-ff^xl^Jt+v^-k^^ + k^+e^^ et duc circulos maximos 



^, 



Digitized by 



Google 



326 

(^}, (£*}, C^'}) qnoram qaisqoe cnni priore inelinatioiiem resp. habeat 
^''''-ff-C,, '^J^C[, !?-l5;-^'C, tum erit 0'+«'-^} <+*''+*' ar^ 
cus plani (CT} a nodo eius cum plano (fi'} usque ad locum perihelli cor- 
poris rn tempori t respondentem extensns, et arcus — "^ooo+^oJ ^^ + ^? 
It+X iterum ad planum invariabile et plana (^), (^3 9 (^O eandem 
rationem insistunt quam illi. 

Denique animadvertendum est, nodos hos planorum (^A)^ (^O^ (-^} 
cum plano inyariabili, planOrom (B), (JB'), (B^) resp. cum (^, (u/), (-rf*) 
et planorum (C), (C), (C) resp. cum (B), (B'), (B*) esse asceDden- 
tes, quoties inclinatio re«pectiva ^*^ . ^" C^ ^h^jZ^al—C,^ etc. e:»t posi- 
tiva, descendentes vero, quoties inclinatio est negativa quantitas. 

Si in his figuris statueris ^ = 0, significationem constautium C^, v^^ A:^,, 
C , etc. habes, et delineatione analoga significatio constantium^e, e', e'\ 
quae quasi excentricitates veluti C^ C', C" quasi inclinationes mntaae 
sunt, explicari potest. 

Congeramus constantes arbitrarias independentes omnes, quae in for- 
mulis huHis Sectionis continentur. 

Independentes sunt rationes massarum m, m\ m* ad massam M 3 

Forro motus medii n, n', n", e quibus tertia Keppleri lege semi- 
axes maiores a, a , a pendent 3 

Porro quasi excentricitates c, e', e" ' 3 , 

Pt)nro independentes (o), (c), (c '), quae in anomalii» mediis con- 
tinentur et anomalias medias tempori t = o respondentes denotant • . 3 

Quum inter novem constantes C . C . C\ v . v' v'\ 1: . k' ^ fc" 
tres in praecedentibus explicatae aequationes conditionales adsint, hae 
constantes sex independentifeus aequiparant 6 

Denique independcntes sunt F, 0^ atque JI, quarum priores modo 
explicatae sunt, et quarum tertia longitudinem nodi ascendentis plani 
invariabilis cum plano fundamentali denotat 3 

Quarum omnium est numerus .21 

sive ter septem, quarum ter sex elementorum ellipticorum trium corporum 
m , m' atque ml' vice funguntur. " ' 



Digitized by 



Google 



m 



29. 

Ad constantes arbitrarias obseryationibas astronomicis determinandas 
recipiantur in primo calculo solummodo termini primi ordinis tum in coef- 
ficientibus cum in periurbationum periodis. Quo facto, habemus seoundum 
praecedentia 

nz = g+2e'8sm[g + (i,-jfy+n] +2ey sin[g^-(y-y)'+2fc+2*:i 
n'z' = g'+2e8'An[g'+(f,''yy+2k] +2e/sin[^'.(y -y>-2* 1 

nV=g+2e8An[g''+Cy--y:it^2k^2k;] + 2e'f^^^ 

w = —efs cos[g +(y -y)«+2* ] — e'/ cos^g-O/^-yy+^k+^k'} 
w = —escos[g'+(tf'-yy+2k;} — e/cos[g^'-(y -y>-2fcj 
w = — e «'cos[^>(y^-y>-.2t -2*;] — e/cos[g^'-(y'-y>-2fe:] 

/ — ii«+^,8iniia + -^sin2ii«+etc. , / = ii'fi'+^isinii'j&' + etc. , 

/' = nz" + j4\ sin nz' + etc. 
lr=la+w+B^+B^co$nz+B^cos2nz+eic. , lf^= la+w+B'^+B[ cos nz + etc, 

17^= ld'+w'+Bl+ff^,cosnz"+ etc. 

quae, denotantibus ^,, A^^ etc. ^, etc. ^ etc. coefBcientes notos aequa- 
tionis centri et B^, B, etc. B^^, etc. B^, etc. coefBcientes notos evoluti 
logaiithmi radii veetoris, resp. ope excentricitatum e, e' atque e" compu- 
tandos, anomalias yeras fyfjf atque logarithmos radiornm vectonun 
tj r', r" suppeditant Porr<> ' 

4^ = 8inrsinC/'+y^+i;^ + * +©j + cosr.^^^:J^ 

+ cos r *<*>>-*» f c^ sin[7 +0 + Ot-H^l+S* +*:] 
«' rr sin rdn(/+y H i' -* + 0J + cos r i^^^^=^l^ C sm[7+(y'+ a )^^^ 

+cosr '"'-'f ^^ c:,8in[7+cy+«>+<+fei 
/=:8inrsi»(/+y''i^^_ft-2ifc:+©,)+co8r^^Z:^'c,«hi[7+(y+«^^ 

+ cos r "^'^'j*'" c:sin[/'+cy-+«>+i>:-t:] 



^ i% 



Digitized by 



Google 



quae sinus latUudiniuii s, « , s" versus planum fundamentale subministraht. 
Denique, denotantibus 2, 2% t' longitudines ad planum fundamentale re- 
ductaS) habemus per aequationem (10) Sect. VI. 

ubi primus ipsarum «, «', s" terminus resp, per sin B, sinfi', sinB", re- 
liqui yero eamm termini per 68 y 6sy ds" repraesentati sunt, et praeterea 
habentur 



tgB:= 

tgB 



i-»-tg*frco82(7-+-y^-«-v,-Hir,-»-0,) 
|g»ir8iii2(/-i-y7-i-y,-^-H0,) 



_ tg^fr8in2(r-+-^7-4-y,-2V-*,-H0J 



lam si massae m^ ni ^ nl' et semiaxes maiores orbitarum noti sunt, quan- 
titates (f, (i% (i'% 6^ (fy d\ st^j li ^ ii' ^ etc. computari possont, «t tum ad- 
iumento aequationum (40) et (46), omissis i},, t\^^ i/', coef&cientium 
«, s% s'\fy etc, 6,,/^ etc. nec non periodorum y, j/ ^ tj' ^ a, «^^ yalo* 
res approximati eliciuntur. Quibus factis, aequationes praecedentes con- 
stantes arbitrarias independentes duodeyiginti n, n, n", (c), (c), (c"), 
e, c', e", C , C^, v^, V , fc , fe' , r, 0Q, H continent, quae, electo plano 
fondamentali ad libitum, per methodos notas observationibus astoonomicis 
determinandae sunt; et quo maior est observationum ad hanc determinatio* 
nem adhibitarum nhmertis et quanto longius temporis intervalium complecti- 
tur, tanto accuratiores constantium valores eiiciuntur, quia eo magis reli- 
quarum minorum perturbationum periodicarum effectus destruitur. Cdnstan- 
tibus his determinatis, aequs^tio H' — —h^ — V ^^ suppeditat ipsam H' et 
aequationes hae 



Digitized by 



Google ' 



ipsas C atqae v''. lam nnnc ope fonniilanun in hac Secfione expo^itar 
rum non modo tj^y tj\^ ri' \^ sed etiam reliqui aequationom (54) et (57) 
termini, nec non pertnrbationes reliquae magna cum praecisione computari 
possunt, quo facto valores constantium arbitrariarum obserrationibus nan- 
cbcimur accuratiores, quibus computatio perturbationum repetitur, et sic 
porro. Plerumque tamen constantium illarum ex primo calculo eruti va'- 
lores ad perturbationes omnes, quae vim habent,,8atb accurate compu- 
tuidas strfficiunt, quin etiam in casibus quibusdam specialibus formulis in 
huius ^articuli initio expositis statim perturbationum reliquarum maiores ter- 
minos aggjegare nobis licet. 

In hac expositione semiaxium maiorum et massarum ab initio valores 
approximatos esse notos supposuimus, et quidem illi, qui ex motibus pen- 
dent mediis, quos e^c obsenrationibus longum temporis intervallum com- 
plectentibus simplicissimo calculo eruere possumus, semper noti haberipos- 
sunt Verum emm vero si massae perturbantes ignotae sunt, periodorum 
y^ y 9 ift ^,9 ^„ valores observationibus eliciendi sunt, quibus adiumento 
aequationum (37) vel (44) approximati massarum valores computari pos- 
sunt. 

Haec sunt, quae generaliter de constantium arbitrariarum determioa- 
tione statuere licet, in casibus vero specialibus haec vel illa syitematis 
quatuor corporum conditio determinationem hanc sublevabit atque simplifi- 
cabit 



30. 

Abscissis aequationum in praecedentibus evolutarum terminis, qui ad 
quartum coipus ni' pertinent, P, p atque jK eaedem evadunt, uti in 
pniecedenti Lunae theoria. Fiunt enim 

P,=fR,dti g,=c;+fv,dt4 M,=k,+fr,A, «,=ff,+*+«r 

42 



y 



\ 



Digitized by 



Google 



qaae, substitatis dextromm m^mbrorum valonbns balc casui r^spe^dentibus, 
cum illis plane pongruont, Porro nanciscimnr ex formulis huios Sectionis 
formnlas ad probl^ma trinm corponm^ spectantes has 

»" = —6+26(1- l)co8y + 2e'«cos (y + V+2*,) +/Afctt 
y \ -h0^n[ht+^h^^^^^^ 

4*i,r=*/~ir et , , „ 

o = (y-2ri^-*'-li':)f-ia/+(f)i, = (y'+2i/,-«-f*>-(i»+O^' 
quae cum formulis pro motu Lwiae inv^stigando supra datis hatud plane 
congruunt. Cuius rd caussa in eo po^ita est, quod thebiia liunae nbti 
nisi casus specialis problematis trium corporum e^.^ Signiflcatio ipsarum 
(«,, 6^^ etc. in art. 20. explicata monstrat esse in theotia Lnnae* 

denotautibns »?»^'% etc. quantitates in art. 11. Sect. IV. introdu^tas; ex in- 
dpLe vero harum quantitatum in eadem Sectione allata pc^tpt, propter par- 
TUlam Liinae a Terra dista^tiam esse hunc ipsius (T^ yalcfi^em perparvulum 
et qjuidem ad ^rtium ordiineip referenduix^ si bic valor ipsius fi, primi ordi- 
nis liabetur. Porro quqm z-^-fi atque cp'4"^ ^^ mptan^-l^olis pert^entes 
per Lunae massam multiplicatae sint, hae illis adhuc multo minores snnt, 
«t respectu illarum negligi possunt. Quamobrep^ aequationes praec^entes 
i/ ~^% f'^0 atque 9 nequalem esse qu^ntit^ secundi ordims siyipedita^t, 
ciiius ratlcmem separatim habere non est opusi JS^vgo^ habepf^us piro theqria 
Lunae 

»"=— 6+2e(|— l)cosy4-/Mcf*; y = ^c+f* 
^^ quae cum formulis Sectionum praecedentium plane congruunt. 

Formulae in hac Sectione evolutae monstrant, dummodo radices ae- 
quatibnum (54) et (57) omnes reales et inieqnales sint, in motu syste- 
matis quatiibr corporum, quod consideraTihius , terminos per teitfpus ipsiun 
multiplicatos non adesse, etiamsi, plnrimis deinceps approiiiiiatiohibtis iii^ 
stitutis, qnendibet pra^iaonis gradum altingere velis. ' lam diiiii ^eMon- 



Digitized by 



Google 



331 

stratmn est, aequationam earum, qnae neglectis quantitatibas i}^, i}^, ri ex 
(37) et (44) prodeant, radices omnes reales et inaeqnales esse, si directio mo- 
taom corporam omniam eadem est, qaa re et quam termini, qaibus aeqaa- 
tiones (54) et (57) ab aeqaationibas (37) et (44) differunt, parvali sint, 
qaoties massae pertarbantes, excentricitates et inclinationes mataae parvalae 
sant, concladere licet, radices qaoqae aeqaationnm (54) et (57) omnes 
reales et inaeqaales esse, qaoties corporam motaam eadem directio est, et 
massae pertarbantes , excentricitates et inclinationes mataae adeo parvalae 
sant, at series infinitae, in qaas formalae nostrae eyolvendae sant, conyer- 
gant. Quae quum ita sint, systema quatuor corporum, quod consideravi- 
mus, nec non idem plurium corporum systema stabiie esse, sequitur. Casus 
duarum aut plurium radicum aequalium pcr se quidem minime probabilis 
est, sed si forte acciderit, ut quantitas 

pro quibusdam indicum t, i^ i"y etc. yaloribus yaide parvula foret, per- 
magnae et omnem limitem superantes perturbationes oriri posse yidentur, 
quia haec quantitas in perturbationum coefficientium denominatoribus aderit. 
Theorema vero demonstrari potest, inclyto ab ill. Laplace de motunm 
commensurabilitate detecto theoremati simile, quo .terminum permagnum 
ab illo parvulo divisore ortum limitem quendam snperare non posse pro- 
batur, et quoties ille denominator in corporum motus initio tam parvulus 
fuerit, ut maiorem coefficientem efficiat, mutuam corporum attractionem 
sufficere ad gum rigorose cifrae aequalem reddendum, quo factum fuerit, 
ut motus commensurabiles evadant, et tales remaneant. Quae vero ad cor- 
porum, quorum motus commensurabiles sunt, perturbationes spectant, nec 
non plura alia, in aliud tempus differre debemus, ne hoo volumen nimis 
crescat 



42 ♦ 



-x 



Digitized by 



Google 



C O R R 1 G E N D A- 




Png. 5. lin. 8. a v. loco ^''"^^^ lcge "^"'"^^ 
° 2 2 

— 8. — 2. a c. — dm — dm' 

— 10. - 10. a T. - (y— 2^) - Of-^)* 

— 46. — 4. a c. — 1/it — iij,t 

— 56. — 4. a c. — r^dv,^ — dr^-i-r^di?,^ 

— 81. — 1. a T. ^ V — «' 

— 85. — 12. a c. — triangnlos — triangnlimi. 

— 96. ultimae aeqnationi nomenu (53) eet apponendos. 

— 108. lin.l.] 

-— — 2 f 

\ a Y. loco 4-(ii)(a— i; — i)t lege —(ii)(a — ?? — «)( 

— 110. —13. a Y. loco — yi?^ L-h,.. lege ^ [^^^3^-^ .,, 

— 119. — 8. a c. — triangului — triangnlum. 

— — — 7. a c. — sphaericus rectangulns — iphaericum rectangulnm. 

— — — 6. a c. — formatus — formatum. 

— 131. — olt. ultimo termino ad dextram appone signum \ 

— 136. — 10. a Y. loco ^|l?(fl)aS lege ^^{n)Bz 

— 144. - 8. a V. ^fl— ^ J^^iU 

— 203. ^ 8. a c. — ip' — 9' 

— 220. — 21. a V. — colonmia — columna. 

-29.-4.... - -i^^..f^,eg.-i-ljSl.„f?r) 
VT^ dg^ K.dY J ^ VT^ dg^ J "^y.dyJ 

-234. ^ 4. aY. ~ ^lege ^ 
dK ^ dK 

— 239. - 9. a c. — (/i*-l) lege (ft*-i-l) 

— 240. — 8. a c. — ^ — ^ 

dt dv 

— 255.— olt — Y— a-f-i7=:2v lege T--tt-4-97=:2i7 
-j 256. — 6. a c. — habita — habito 

— 281. — 6. a c. — <^to>i,— i>o|, _ d|o,i,-i,oi , 

da d4/ 

— 289. - 1. aY. - (Af'-M,-^L'J - sm (Af ' - Af, 4- L',,) 
3. aT. -. (M,-AI',,-f.L") — 8m(Af,.Af,,-f.L") 

— — ubique — dV^tidh" — diC',, et wp. W. 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google' 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google 



Digitized by 



Google